復(fù)變函數(shù)第一章

復(fù)變函數(shù)

第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第二章解析函數(shù)第三章復(fù)變函數(shù)的積分

第四章解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示法第五章解析函數(shù)的洛朗展式與孤立奇點(diǎn)第六章留數(shù)理論及其應(yīng)用第七章共形變換

目錄

第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第一節(jié)復(fù)數(shù)第二節(jié)復(fù)平面上的點(diǎn)集

第三節(jié)復(fù)變函數(shù)第四節(jié)復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)第一節(jié)復(fù)數(shù)3、復(fù)數(shù)的模與輻角

模:

復(fù)數(shù)可以等同于平面中的向量(從原點(diǎn)到z=x+yi所引向量oz).向量的長(zhǎng)度稱為復(fù)數(shù)的模,定義為：即性質(zhì):(三角不等式)推廣例3:設(shè),試證證明:例4:求復(fù)數(shù)的實(shí)部,虛部和模.解:例5:設(shè),試證證明:例6注:輻角:向量z與實(shí)軸正向之間的夾角稱為復(fù)數(shù)z的輻角，定義為：------主值主輻角:例7:求解:非零復(fù)數(shù)的三角形式與指數(shù)形式為：-----三角形式------指數(shù)形式------代數(shù)形式例8:把復(fù)數(shù)由于例9:將復(fù)數(shù)解:解:所以利用復(fù)數(shù)的指數(shù)形式作乘除法：則注:4、復(fù)數(shù)的乘冪與方根乘冪方根k=0,1,2,…,n-1

可以看到，k=0,1,2,…,n-1時(shí)，可得n個(gè)不同的值，即z有n個(gè)n次方根，其模相同，輻角相差一個(gè)常數(shù)，均勻分布于一個(gè)圓上。注1:注2:例10解方程解：5、復(fù)數(shù)在幾何上的應(yīng)用(1)曲線的復(fù)數(shù)方程例11

試用復(fù)數(shù)表示圓的方程:其中，a,b,c,d是實(shí)常數(shù)。解：利用

1、平面點(diǎn)集的幾個(gè)基本概念2、區(qū)域與約當(dāng)曲線第二節(jié)復(fù)平面上的點(diǎn)集一基本概念:2.聚點(diǎn):孤立點(diǎn):外點(diǎn):內(nèi)點(diǎn):邊界點(diǎn):集E的全部邊界點(diǎn)所組成的集合稱為E的邊界，記為3.開集:所有點(diǎn)為內(nèi)點(diǎn)的集合；閉集:或者沒有聚點(diǎn)，或者所有聚點(diǎn)都屬于它；有界集:例4.聚點(diǎn)(極限點(diǎn))的等價(jià)說法二.區(qū)域與Jordan曲線

如果平面點(diǎn)集D滿足以下兩個(gè)條件,則稱它為一個(gè)區(qū)域.(1)D是一個(gè)開集；(2)D中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于D的一條折線連結(jié)起來.1.區(qū)域區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域,記為

定義1.5定義1.6以上基本概念的圖示區(qū)域鄰域邊界點(diǎn)邊界(1)圓環(huán)域:(2)上半平面:(3)角形域:(4)帶形域:例2、Jordan曲線連續(xù)曲線C:平面曲線的復(fù)數(shù)表示:Jordan曲線(簡(jiǎn)單曲線):沒有重點(diǎn)的連續(xù)曲線C稱為Jordan曲線(簡(jiǎn)單曲線).換句話說,簡(jiǎn)單曲線自身不相交.例解判斷下列曲線是否為簡(jiǎn)單曲線?答案簡(jiǎn)單閉簡(jiǎn)單不閉不簡(jiǎn)單閉不簡(jiǎn)單不閉Jordan定理

任意一條簡(jiǎn)單閉曲線C將復(fù)平面唯一地分成三個(gè)互不相交的點(diǎn)集.內(nèi)部外部邊界(1)彼此不交(2)E(C)是無界區(qū)域(3)I(C)是有界區(qū)域(4)若簡(jiǎn)單折線T的一個(gè)端點(diǎn)屬于I(C),另一端點(diǎn)屬于E(C),則T必與C相交.3.曲線長(zhǎng)度:定義1.8設(shè)連續(xù)弧AB的參數(shù)方程為并且考慮弧AB上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)列4光滑曲線:

由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為按段光滑曲線.注:按段光滑曲線是可求長(zhǎng)的,但簡(jiǎn)單曲線不一定可求長(zhǎng).

復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域D,如果在其中任作一條簡(jiǎn)單閉曲線,而曲線的內(nèi)部總屬于D,就稱為單連通域.一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域,就稱為多連通域.單連通域多連通域5單連通區(qū)域

滿足下列條件的點(diǎn)集是什么,如果是區(qū)域,指出是單連通域還是多連通域?例(1)單連通域.是多連通域.不是區(qū)域.

第三節(jié)復(fù)變函數(shù)

1復(fù)變函數(shù)的概念

2極限與連續(xù)例1解解：這一映射可以看作是下列兩個(gè)映射的復(fù)合：是關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱映射，而映射例2：考慮映射把都作在同一個(gè)復(fù)平面上。顯然，映射把z映射成

,其輻角與z的輻角相同，模為滿足我們把中心在原點(diǎn)、半徑為1的圓稱為單位圓。于是，映射

稱為關(guān)于單位圓的對(duì)稱映射，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)稱為關(guān)于單位圓的互相對(duì)稱點(diǎn)。w=1/z把原點(diǎn)以外的任何點(diǎn)映射為另外一個(gè)點(diǎn)。把z及w表示在不同的擴(kuò)充復(fù)平面，并規(guī)定

則我們得到一個(gè)擴(kuò)充z平面到擴(kuò)充w平面的一個(gè)雙射。定理1.2證明2.復(fù)變函數(shù)極限與其實(shí)部和虛部極限關(guān)系:例3證(一)根據(jù)定理1.2可知,證(二)例4證根據(jù)定理1.2可知,3復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性定理1.3定義1.17例54復(fù)變函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)定理1.7定義1.18

1復(fù)球面2擴(kuò)充復(fù)球面上的幾個(gè)概念第四節(jié)復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)二.擴(kuò)充復(fù)平面上的幾個(gè)概念1無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域:無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域:注2在擴(kuò)充復(fù)平面上單連通區(qū)域:解例1注考慮一個(gè)無界區(qū)域是否為單連通,應(yīng)看在通常的復(fù)平面上還是擴(kuò)充復(fù)平面上3廣義極限與廣義連續(xù)廣義極限廣義連續(xù)例2證明由于典型例題

其幾何意義是三角形任意一邊的長(zhǎng)不小于其它兩邊邊長(zhǎng)之差的絕對(duì)值.解解解例6

滿足下列條件的點(diǎn)組成何種圖形?是不是區(qū)域?若是區(qū)域請(qǐng)指出是單連通區(qū)域還是多連通區(qū)域.解

是實(shí)數(shù)軸,不是區(qū)域.

是以為界的帶形單連通區(qū)域.解

是以為焦點(diǎn),以3為半長(zhǎng)軸的橢圓閉區(qū)域,它不是區(qū)域.