大學(xué)計算機基礎(chǔ)第二章

Chapter2

數(shù)據(jù)表示及邏輯基礎(chǔ)CS,ZJU2023年1月31日Overview概述數(shù)制數(shù)制轉(zhuǎn)換計算機中的數(shù)的表示編碼與文本多媒體數(shù)據(jù)邏輯運算和門電路邏輯設(shè)計基礎(chǔ)概述計算機要處理現(xiàn)實世界中各種“數(shù)據(jù)”現(xiàn)實中：不同應(yīng)用需要的數(shù)據(jù)類型有不同傳統(tǒng)的數(shù)字圖形、圖像、文本、視頻、音頻等計算機內(nèi)部的數(shù)據(jù)處理形式是二進制，原因：易于用硬件實現(xiàn)2種情況：數(shù)值化的碼制（可以計算的，如定點數(shù)等），非數(shù)值化碼制（編碼集，不需要計算的）為什么采用二進制？二進制數(shù)在物理上最容易實現(xiàn)可以用高、低兩個電平表示"1"和"0"，也可以用脈沖的有無或者脈沖的正負極性表示它們。二進制數(shù)用來表示的二進制數(shù)的編碼、計數(shù)、加減運算規(guī)則簡單。二進制數(shù)的兩個符號"1"和"0"正好與邏輯命題的兩個值"是"和"否"或稱"真"和"假"相對應(yīng)，為計算機實現(xiàn)邏輯運算和程序中的邏輯判斷提供了便利的條件。2.2 數(shù)制NumberSystem“計數(shù)（或記數(shù)）體制”多位數(shù)中每一位的構(gòu)成方法以及實現(xiàn)從低位到高位的進位規(guī)則，也叫做進制數(shù)學(xué)家們研究數(shù)制的規(guī)則和規(guī)律計算機科學(xué)中將數(shù)制規(guī)則和規(guī)律通過電路實現(xiàn)常用進制二、十、八、十六數(shù)制：

常用進制R進制R個數(shù)碼，數(shù)碼從0到R-1數(shù)的大?。好课粩?shù)碼和該位的權(quán)系數(shù)的乘積相加，多項式記數(shù)，例如：5102+6101+7100+110-1

權(quán)系數(shù)也叫做冪次或叫做權(quán)重（PowerWeight），n：整數(shù)位；m：小數(shù)位；

A：數(shù)碼0，1，......N-1； R為基數(shù)；Ri權(quán)系數(shù)逢R進1計數(shù)規(guī)則十進制

DecimalSystem0～9，逢十進一二進制BinarySystem位(比特，bit）是計算機處理的最小單位0和1兩個數(shù)碼，被組合成各種序列以適應(yīng)計算機的運算和處理的數(shù)據(jù)類型選擇二進制的一個最簡單也是最實際的理由是它容易被物理器件實現(xiàn)二進制起源于中國——八卦多項式表示一個二進制數(shù)（表示時后綴為B,如1101B）

：101011012=1×27+0×26+1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20八進制and十六進制OctalSystem（表示時后綴為Q,如67Q）八個數(shù)碼：0、1、2、3、4、5、6、78=23

一位八進制對應(yīng)于三位二進制HexadecimalSystem（表示時后綴為H，如8FH）16個數(shù)碼：09，A、B、C、D、E、F字節(jié)（Byte，8個二進制位）=兩位十六進制16=24：4位二進制和1位十六進制對應(yīng)二進制的基本運算規(guī)則二進制加法0+0=00+1=11+0=11+1=10 HereCarry二進制乘法00=001=010=011=1二進制和十進制轉(zhuǎn)換1．二進制轉(zhuǎn)換為十進制(其它數(shù)制轉(zhuǎn)為10進制方法也類似)被轉(zhuǎn)換的二進制數(shù)按冪次展開，然后相加1101.012=123+122+021+120+02-1+12-2

=8+4+0+1+0+0.25

=13.25102.十進制轉(zhuǎn)換為二進制整數(shù):除2取余小數(shù)：乘2取整十進制整數(shù)轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)17310=101011012十進制小數(shù)轉(zhuǎn)換為二進制，0.812510=0.11012二進制與八進制轉(zhuǎn)換二進制與八進制存在對應(yīng)的關(guān)系：3位2進制對應(yīng)1位8進制BinaryOctol257.0648=010101111.0001101002二進制、十六進數(shù)轉(zhuǎn)換：

4位2進制對應(yīng)1位16進制

16=2410110101.001012=B5.2816SeeTable2-1計算機中的數(shù)正負：符號位，0表示正數(shù)，1表示負數(shù)+1011 01011-1011 11011真值機器數(shù)(計算機中的數(shù)的表示形式) 運算的數(shù)定義：原碼（OriginalCode）反碼（One’sComplement）補碼（Two’sComplement）不同的運算使用不同的碼和不同的運算方法設(shè)計運算器原碼原碼即上述的機器數(shù)——n位二進制數(shù)，最高位被設(shè)置為符號位，其后的n-1位表示真值。注意：計算機中使用定長格式的數(shù)據(jù)例如：+661或-661的機器16位原碼表示為：+661：0000001010010101

-661：1000001010010101原碼的特點：簡單直觀用原碼可以比較方便地進行乘法運算：尾數(shù)相乘，符號位簡單相加法就可以得到乘積但用原碼進行減法運算復(fù)雜，所以常采用補碼表示反碼反碼的定義是：一個正數(shù)的反碼就是它的原碼，負數(shù)的反碼其最高位（符號位）為1，其余各位按位求反例如，+1010010

反碼為01010010

-

1010010

反碼為10101101例如，16位有符號數(shù)661：0000001010010101=+661

反碼

1111110101101010=-661反碼和原數(shù)相加：結(jié)果為所有位都是1補碼

補碼的定義是：正數(shù)的補碼等于它的原碼，負數(shù)的補碼等于它的反碼加1（最低位加1，進位不改變符號位）例如，+1010010的補碼為01010010 -

1010010的補碼為10101110如數(shù)-661取補，先取反

1

111110101101010 再+1

1

111110101101011（符號位保持不變，如果最高位進位則丟失）補碼一個有意思的特性是：補碼的補碼將還原為原碼存儲用補碼形式，將符號位與其他位可以統(tǒng)一處理,補碼用于簡化減法運算補碼實現(xiàn)減法運算（減法變加法）

01011a原碼，符號位為0+ 10110 b補碼，符號位為11

00001 產(chǎn)生的進位，丟掉Example：十進制的a=11和b=-10，用5位二進制

a補=a原=01011b原=11010，b反=10101，b補=10110使用補碼計算a和b之和定點數(shù)和浮點數(shù)數(shù)的表示——兩種格式：定點數(shù)和浮點數(shù)計算機中的定點數(shù)二進制形式固定長度定點數(shù)：16位或32位小數(shù)點固定在某一個位置定點純小數(shù)、定點純整數(shù)浮點數(shù)——小數(shù)點位置是浮動的,類似科學(xué)計數(shù)法，表示數(shù)范圍更大定點數(shù)定點純小數(shù)格式數(shù)的范圍：（m+1）位定點小數(shù)格式的數(shù)N：｜N｜≤1－2-m

比例因子——原數(shù)據(jù)按比例縮小，計算結(jié)果再按該比例擴大得到實際的結(jié)果

定點純整數(shù)格式數(shù)的范圍：（m+1）位定點整數(shù)格式的數(shù)N ｜N｜≤2m

－1，

絕對值大于該范圍的數(shù)，使用比例因子調(diào)整浮點數(shù)思想來源于科學(xué)計數(shù)法（指數(shù)）容許的數(shù)值范圍大，處理硬件復(fù)雜浮點數(shù)分階碼和尾數(shù)階碼：小數(shù)點位置——帶符號的整數(shù)——類似于數(shù)學(xué)中數(shù)的指數(shù)部分尾數(shù)表示數(shù)的有效數(shù)值：純小數(shù)如-34500=-0.1000011011000100

216100010000100001101100010000000002.3

編碼和文本數(shù)還有另外一種功用：碼（Code）編碼的目的是為了便于標記特定的對象設(shè)計編碼時需要按照一定的規(guī)則——“碼制（CodeSystem）”重要概念常用編碼：ASCII、漢字編碼、多媒體數(shù)據(jù)位模式用于計算的數(shù)：用二進制位的多位組合表示定點數(shù)、浮點數(shù)更多的數(shù)據(jù)類型，就需要有更多的二進制位的組合規(guī)則——位模式bitpattern用0和1組成的二進制位序列及其規(guī)則是一種數(shù)據(jù)表示方法要由計算機程序去理解它們位模式要求：用戶、程序設(shè)計者按某種規(guī)則形成、存儲和處理數(shù)據(jù)位模式的二進制位序列長度取決于被編碼對象的數(shù)量文本和文檔文本（Text）——編碼來表示文本中的每一個符號包括字母、標點，都以一個唯一的二進制位序列表示在計算機中，文本就是位模式的二進制數(shù)據(jù)長串基礎(chǔ)的文本編碼就是ASCIIAmericanStandardCodeforInformationInterchange基于English文本編碼是計算機進行數(shù)據(jù)交換的基礎(chǔ)文檔是文本格式的擴展，不同軟件有不同的文檔格式ASCII碼ANSI制定，后為ISO646適用于英文，兩種形式：7位碼和8位碼7位二進制ASCII碼單字節(jié)字符編碼方案，基本的文本數(shù)據(jù)8位碼是擴展ASCII碼，SeeAppendixAUnicode編碼通用多文種字符集表示幾乎世界上所有書寫語言的字符編碼標準——統(tǒng)一碼、單一碼、萬國碼可支持超過百萬個字符的編碼Unicode編碼國際標準ISO10646ISO采用的是32位模式用于世界范圍各種語言文字的文本形式的字符集，也收集了漢字三個編碼方案

Uincode-8與ASCII保持一致Unicode-16用兩個字節(jié)表示一個字符Unicode-32使用4個字節(jié)對字符編碼漢字編碼漢字編碼的目的是為了計算機能夠處理、顯示、打印、交換漢字字符國家漢字編碼標準GB2312-1980簡化漢字6763個，7445個字符港澳臺地區(qū)使用繁體漢字BIG5碼1995年的GBK擴展?jié)h字編碼標準GB2312-1980的擴展收錄了2.1萬多個漢字GBK支持ISO10646中的全部中、日、韓漢字2001年GB18030——GBK的升級160萬碼位，目前漢字約為2.6萬個漢字的計算機處理還涉及(不同的環(huán)境下有不同的漢字編碼)：輸入碼，字形碼，交換碼(機內(nèi)碼)等由輸入法程序?qū)⑤斎氪a轉(zhuǎn)換為交換碼0

0111100

01001110由操作系統(tǒng)將交換碼轉(zhuǎn)換為機內(nèi)碼1011110011001110由應(yīng)用程序（如word）將機內(nèi)碼轉(zhuǎn)換為字型碼漢字的存儲與字庫為了輸出漢字，必須存儲漢字的字型(1)矢量化——它由一組指令來描述字符的外形（輪廓）——輪廓字體（TrueType）(2)點陣圖形——將漢字分解為若干個“點”組成的點陣字型方式存儲每個漢字的字型信息需要1616個二進制位，共2*16=32字節(jié)。2.4

多媒體數(shù)據(jù)多媒體文本，圖形、音頻、視頻等多種數(shù)據(jù)表現(xiàn)形式，并使之在邏輯上建立聯(lián)系今天計算機和網(wǎng)絡(luò)都支持多媒體數(shù)據(jù)處理圖形和圖像圖形（Graphics）——幾何線條、幾何符號等形式表示物體的輪廓在數(shù)據(jù)表達上圖形和圖像也被認為是同類例如，Windows的“畫筆”程序，既可以畫幾何圖形，也可以對圖形著色使之成為圖像（Picture，Image）兩種技術(shù)：位圖和矢量圖位圖技術(shù)微軟公司提出的又稱光柵圖（RasterGraphics）使用像素（Pixel）陣列，每一個像素是一個點（Dot），點數(shù)據(jù)的大小取決于分辨率位模式有1、4、8、16、24及32位等灰度圖像——每一個像素需要更多的二進制位彩色圖形、圖像——RGB矢量圖技術(shù)任何圖像、圖形可以分解為曲線和直線的組合直線和曲線度都可以使用數(shù)學(xué)公式表示直線、曲線公式的組合作為圖形數(shù)據(jù)存儲起來，需要顯示或者打印圖形圖像數(shù)據(jù)時畫圖的公式被重新執(zhí)行并根據(jù)給定的大小畫出（重現(xiàn)）圖形圖像矢量圖看上去更加平滑，不會產(chǎn)生紋波誤差音頻音頻（Audio）包含了聲音（Voice）和音樂（Music）計算機音頻就是研究在計算機中表示和處理聲音與音樂數(shù)據(jù)，目前沒有“數(shù)字音頻標準”，即沒有統(tǒng)一的聲音格式音頻的壓縮：MP3，MP4等視頻視頻（Video）是圖像的動態(tài)過程一幅幅（Frame）圖像數(shù)據(jù)連續(xù)播放，就成為了動態(tài)圖像也是一種位模式數(shù)據(jù)壓縮處理后存儲，播放時需要解壓MPEG制定的一系列視頻編碼和壓縮標準音頻/視頻的MPEG-1到MPEG-4MPEG是ISO指定的標準研究組織，它的最新工作是MPEG-21補充:其它的編碼檢錯碼,糾錯碼:用于檢測內(nèi)容是否錯誤奇偶校驗碼海明碼CRC碼壓縮編碼問題：霍夫曼編碼：經(jīng)常出現(xiàn)的字符用較短碼字表示，很少出現(xiàn)的字符用較長碼字表示REL編碼（游程編碼）：常用于圖像編碼，對于連續(xù)出現(xiàn)的像素，只記錄第一個像素的數(shù)據(jù)和連續(xù)出現(xiàn)的數(shù)目。有損壓縮編碼：思想：音、視頻及圖形、圖像數(shù)據(jù)不需要“完整無缺”。如果損失少量的數(shù)據(jù)，在人的視聽范圍內(nèi)，無顯著影響，而能夠換來更高的壓縮效率，是可取的。照片（JPEG）數(shù)據(jù)、MPEG視頻數(shù)據(jù)、MP3音頻數(shù)據(jù)等都是采用了有損壓縮編碼霍夫曼編碼-舉例如有數(shù)據(jù)集，有5個符號，以A～E表示各符號出現(xiàn)次數(shù)見下表字符出現(xiàn)的次數(shù)等長碼的碼位霍夫曼碼字霍夫曼碼碼位A2575025B12361024C92711027D618111124E515111020從上表可知，等長碼每個字符需要3位，所需總碼位171霍夫曼編碼需要的總碼位為120與等長碼相比，壓縮比0.7

2.5

邏輯運算和門電路用數(shù)學(xué)的方法研究關(guān)于推理、證明等問題的學(xué)科數(shù)理邏輯，也叫做符號邏輯英國數(shù)學(xué)家布爾——建立了布爾代數(shù)(邏輯代數(shù))——計算機重要的科學(xué)基礎(chǔ)邏輯關(guān)系可以被解釋為因果關(guān)系“因”是條件條件之間的關(guān)系用邏輯連接詞進行組合根據(jù)不同的條件得到“結(jié)果”邏輯運算對應(yīng)的實現(xiàn)電路，叫做門電路基本邏輯(運算)關(guān)系與（AND），或（OR），非（NOT）其它的邏輯運算：異或，同或等邏輯關(guān)系與只有決定結(jié)果的條件全部滿足，結(jié)果才成立，這種邏輯關(guān)系叫做邏輯與表示AANDBA●BAB把變量和邏輯關(guān)系的取值列表，就得出了真值表（TrueTable）ABAB000010100111邏輯或決定結(jié)果的條件中只要任何一個滿足，結(jié)果就成立。這種邏輯關(guān)系叫做邏輯或表示AORBA+B表2-3邏輯或真值表ABA+B000011101111邏輯非。最簡單的描述就是結(jié)果對條件的“否定”表示NotA邏輯非的真值表其它邏輯運算:異或，同或等1001AA邏輯關(guān)系異或與、或、非是基本邏輯關(guān)系

如果一個邏輯函數(shù)有多個基本邏輯關(guān)系，稱為復(fù)合邏輯關(guān)系

異或是復(fù)合邏輯關(guān)系異或的真值表ABAXORB000011101110邏輯代數(shù)通過代數(shù)學(xué)的方法研究邏輯關(guān)系，通過變換、簡化或組合等方法進行邏輯設(shè)計邏輯表達式A+A·BA+AB邏輯函數(shù)F=f（A，B，C，…）AB=A+B反演定律A+BC＝(A+B)(A+C)分配律

A+AB=A+B吸收律門電路實現(xiàn)基本邏輯關(guān)系的電路是邏輯電路中的單元電路——Gate基本的門電路有：與門或門非門異或門門電路的基本特點基本門電路用基本門電路可以組合成多種復(fù)合門電路（a）與門

F=AB（b）或門

F=A+B （c）非門

F=與非門ABF001011101110ABF001010100110或非門異或門邏輯設(shè)計基礎(chǔ)邏輯設(shè)計——根據(jù)問題，由真值表得到邏輯表達式根據(jù)邏輯定律進行必要的化簡、變換，設(shè)計出最優(yōu)的邏輯表達式用邏輯電路實現(xiàn)邏輯分析與設(shè)計相反由電路得到功能設(shè)計加法器用邏輯電路實現(xiàn)加法運算的電