第四節(jié)隨機(jī)事件和條件概率

第四節(jié)隨機(jī)事件和條件概率考點(diǎn)梳理考點(diǎn)梳理3．條件概率及其性質(zhì)P(B|A)＋P(C|A)

4.概率

P(B|A)與P(AB)的區(qū)別與聯(lián)系考點(diǎn)梳理一個(gè)關(guān)系助學(xué)微博兩種方法1．頻率與概率有什么區(qū)別與聯(lián)系？【提示】

頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化，概率卻是一個(gè)常數(shù)，它是頻率的科學(xué)抽象．當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來越多時(shí)，頻率向概率靠近，只要次數(shù)足夠多，所得頻率就近似地當(dāng)作隨機(jī)事件的概率．2．互斥事件與對(duì)立事件有什么區(qū)別和聯(lián)系？【提示】

兩個(gè)事件互斥，它們未必對(duì)立；反之，兩個(gè)事件對(duì)立，它們一定互斥．也就是說，兩個(gè)事件對(duì)立是這兩個(gè)事件互斥的充分而不必要條件．

3．P(B|A)＝P(B)在什么條件下成立？【提示】

若事件A、B是相互獨(dú)立事件，則P(B|A)＝P(B)．4．若事件A、B互斥，則P(B|A)是多少？提示：A與B互斥，即A、B不同時(shí)發(fā)生．∴P(AB)＝0，∴P(B|A)＝0.1．(2012·梅州模擬)擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察所得的點(diǎn)數(shù)a，設(shè)事件A＝“a為3”，B＝“a為4”，C＝“a為奇數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是()A．A與B為互斥事件B．A與B為對(duì)立事件C．A與C為對(duì)立事件D．A與C為互斥事件【解析】

事件A與B不可能同時(shí)發(fā)生，A、B互斥，但不是對(duì)立事件，顯然A與C不是互斥事件，更不是對(duì)立事件．A2．(2012·揭陽調(diào)研)從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件，設(shè)事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事件“抽到的不是一等品”的概率為()A．0.7B．0.65

C．0.35D．0.5【解析】

“抽到的不是一等品”與事件A是對(duì)立事件，∴所求概率P＝1－P(A)＝0.35.C3．從一副混合后的撲克牌(52張)中，隨機(jī)抽取1張，事件A為“抽得紅桃K”，事件B為“抽得黑桃”，則概率P(A∪B)＝________.(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示)4、一個(gè)盒子中有6個(gè)白球、4個(gè)黑球，每次從中不放回地任取1個(gè)，連取兩次，求第一次取到白球的條件下，第二次取到黑球的概率．方法二：【思維總結(jié)】求P(B|A)，實(shí)際上就是把B發(fā)生的樣本空間縮小為A所包含的基本事件．4、一個(gè)盒子中有6個(gè)白球、4個(gè)黑球，每次從中不放回地任取1個(gè)，連取兩次，求第一次取到白球的條件下，第二次取到黑球的概率．某城市有甲、乙兩種報(bào)紙供居民們訂閱，記事件A為“只訂甲報(bào)紙”，事件B為“至少訂一種報(bào)紙”，事件C為“至多訂一種報(bào)紙”，事件D為“不訂甲報(bào)紙”，事件E為“一種報(bào)紙也不訂”．判斷下列每對(duì)事件是不是互斥事件，如果是，再判斷它們是不是對(duì)立事件．(1)A與C；(2)B與E；(3)B與C.【思路點(diǎn)撥】

首先明確居民訂甲、乙兩種報(bào)紙的所有可能情況，然后根據(jù)各事件包含的各種可能結(jié)果來判斷各事件的關(guān)系．【解】

(1)由于事件C“至多訂一種報(bào)紙”中有可能“只訂甲報(bào)紙”，即事件A與事件C有可能同時(shí)發(fā)生，故A與C不是互斥事件．(2)事件B“至少訂一種報(bào)紙”與事件E“一種報(bào)紙也不訂”是不可能同時(shí)發(fā)生的，故B與E是互斥事件．由于事件B發(fā)生可導(dǎo)致事件E一定不發(fā)生，且事件E發(fā)生會(huì)導(dǎo)致事件B一定不發(fā)生，故B與E還是對(duì)立事件．(3)事件B“至少訂一種報(bào)紙”中有這些可能：“只訂甲報(bào)紙”、“只訂乙報(bào)紙”、“訂甲、乙兩種報(bào)紙”．事件C“至多訂一種報(bào)紙”中有這些可能：“什么報(bào)紙也不訂”、“只訂甲報(bào)紙”、“只訂乙報(bào)紙”．由于這兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生，故B與C不是互斥事件．(2011·陜西高考)如圖10－1－1，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到達(dá)火車站的人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：

圖10－1－1(1)試估計(jì)40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率；(2)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，試通過計(jì)算說明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑．【解】

(1)由已知共調(diào)查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，∴用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率為0.44.(2)設(shè)A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時(shí)，在40分鐘內(nèi)趕到火車站；B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時(shí)，在50分鐘內(nèi)趕到火車站．由頻數(shù)分布表知，40分鐘趕往火車站，選擇不同路徑L1，L2的頻率分別為(6＋12＋18)÷60＝0.6，(4＋16)÷40＝0.5.∴估計(jì)P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.5，則P(A1)＞P(A2)，因此，甲應(yīng)該選擇路徑L1，同理，50分鐘趕到火車站，選擇路徑L1，L2的頻率分別為48÷60＝0.8,36÷40＝0.9，∴估計(jì)P(B1)＝0.8，P(B2)＝0.9，P(B1)＜P(B2)，因此乙應(yīng)該選擇路徑L2.對(duì)一批襯衣進(jìn)行抽樣檢查，結(jié)果如下表：

(1)求次品出現(xiàn)的頻率；(2)記“任取一件襯衣是次品”為事件A，求P(A)；(3)為了保證買到次品的顧客能夠及時(shí)更換，銷售1000件襯衣，至少需進(jìn)貨多少件？條件概率

【思路點(diǎn)撥】

(1)B＝BA1＋BA2＋BA3.

（2）

P(BA1)＝P(B|A1)·P(A1)，P(BA2)＝P(B|A2)·P(A2)，P(BA3)＝P(B|A3)P(A3)．(3)可通過判斷P(A1B)與P(A1)P(B)是否相等來判斷事件B與A1是否相互獨(dú)立．②④【思路點(diǎn)撥】

(3)可通過判斷P(A1B)與P(A1)P(B)是否相等來判斷事件B與A1是否相互獨(dú)立．②④1、(2011·湖南高考)如圖10－8－2，EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形．將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”，則(1)P(A)＝________；(2)P(B|A)＝________.B3、考慮恰有兩個(gè)小孩的家庭.若已知某一家有男孩，求這家有兩個(gè)男孩的概率；若已知某家第一個(gè)是男孩，求這家有兩個(gè)男孩（相當(dāng)于第二個(gè)也是男孩）的概率.（假定生男生女為等可能）Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}解所以有男孩概率

={(男,男),(男,女)}

則Ｂ={(男,男),(男,女),(女,男)}Ａ={(男,男)}，設(shè)Ｂ=“有男孩”，=“第一個(gè)是男孩”Ａ=“有兩個(gè)男孩”，國(guó)家射擊隊(duì)的隊(duì)員為在世界射擊錦標(biāo)賽上取得優(yōu)異成績(jī)，正在加緊備戰(zhàn)，經(jīng)過近期訓(xùn)練，某隊(duì)員射擊一次命中7～10環(huán)的概率如下表所示：

命中環(huán)數(shù)10環(huán)9環(huán)8環(huán)7環(huán)概率0.320.280.180.12求該射擊隊(duì)員射擊一次：(1)射中9環(huán)或10環(huán)的概率；(2)命中不足8環(huán)的概率．【思路點(diǎn)撥】

該射擊隊(duì)員在一次射擊中，命中幾環(huán)不可能同時(shí)發(fā)生，故是彼此互斥事件，利用互斥事件求概率的公式求其概率．另外，當(dāng)直接求解不容易時(shí)，可先求其對(duì)立事件的概率．互斥事件、對(duì)立事件的概率國(guó)家射擊隊(duì)的隊(duì)員為在世界射擊錦標(biāo)賽上取得優(yōu)異成績(jī)，正在加緊備戰(zhàn)，經(jīng)過近期訓(xùn)練，某隊(duì)員射擊一次命中7～10環(huán)的概率如下表所示：

命中環(huán)數(shù)10環(huán)9環(huán)8環(huán)7環(huán)概率0.320.280.180.12求該射擊隊(duì)員射擊一次：(1)射中9環(huán)或10環(huán)的概率；

(2)命中不足8環(huán)的概率．互斥事件、對(duì)立事件的概率國(guó)家射擊隊(duì)的隊(duì)員為在世界射擊錦標(biāo)賽上取得優(yōu)異成績(jī)，正在加緊備戰(zhàn)，經(jīng)過近期訓(xùn)練，某隊(duì)員射擊一次命中7～10環(huán)的概率如下表所示：

命中環(huán)數(shù)10環(huán)9環(huán)8環(huán)7環(huán)概率0.320.280.180.12求該射擊隊(duì)員射擊一次：(1)射中9環(huán)或10環(huán)的概率；

(2)命中不足8環(huán)的概率．D

C

3、(2012·濰坊模擬)拋擲一枚均勻的正方體骰子(各面