插值matlab計(jì)算方法

第五章插值法

本部分課件主要參考哈工大劉克安老師的課件史曉非大連海事大學(xué)信息工程學(xué)院信號(hào)與圖像處理研究所

--4計(jì)算方法KeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanL1-1問(wèn)題天氣預(yù)報(bào)早中晚夜間8271020C15時(shí)出門怎樣穿衣服？?7=xi4916yi234479164320數(shù)學(xué)模型外延廣闊潛在巨大意義

實(shí)際中，f(x)多樣，復(fù)雜，通常只能觀測(cè)到一些離散數(shù)據(jù)；或者f(x)過(guò)于復(fù)雜而難以運(yùn)算。這時(shí)我們要用近似函數(shù)g(x)來(lái)逼近f(x)。

自然地，希望g(x)通過(guò)所有的離散點(diǎn)。x0x1x2x3x4xg(x)

f(x)f(x)1-2數(shù)學(xué)模型已知：是函數(shù)

的離散點(diǎn)求：曲線插值問(wèn)題插值節(jié)點(diǎn)插值函數(shù)插值條件Interpolate

FittingKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanLKeanL數(shù)學(xué)模型：已知{xi，yi}，求一條光滑曲線滿足φn(xi)=yi。理論問(wèn)題：1數(shù)學(xué)描述；2誤差估計(jì)；3收斂性。目的：通過(guò)已知點(diǎn)求未知點(diǎn)。x0x1x2x3x4xg(x)

f(x)f(x)內(nèi)插x外插1-3求解1）已知曲線方程直線、拋物線等2）未知曲線方程，允許一定的誤差，構(gòu)造多項(xiàng)式方程拉格朗日、牛頓均差法等2已知曲線方程x0x1y0y1xy1)直線令：將插值條件代入上式，得待定系數(shù)法2)拋物線令：將插值條件代入上式，得0xy1y2x0x1xx2yy3)N階多項(xiàng)式只需確定即可AXb這是范德蒙行列式，其插值節(jié)點(diǎn)互異時(shí)，它不等于零，方程組的解存在唯一?？梢杂酶咚瓜シㄇ蠼?，其工作量：是關(guān)于的線性代數(shù)方程組。其系數(shù)行列式是存在唯一性3未知曲線方程，允許一定的誤差，構(gòu)造多項(xiàng)式方程用N階多項(xiàng)式近似：多項(xiàng)式的基多項(xiàng)式的坐標(biāo)余項(xiàng)（p144）問(wèn)題：當(dāng)n很大時(shí)，待定系數(shù)法的工作量太大，是否存在簡(jiǎn)單的構(gòu)造插值項(xiàng)式的方法？?4Lagrange插值方法構(gòu)造？稱為L(zhǎng)agerange插值基例：已知函數(shù)y=f(x)的觀測(cè)數(shù)據(jù)為x1234y0-5-63試求拉格朗日插值多項(xiàng)式。解x1234y0-5-63解x0123y230-1試求拉格朗日插值多項(xiàng)式。并求出x=1.5時(shí)的值已知函數(shù)y=f(x)的觀測(cè)數(shù)據(jù)為x012y123試求拉格朗日插值多項(xiàng)式。解程序：functionyTest=GetLagrange(x,y,xTest)nSampNum=length(x);nTestNum=length(xTest);yTest=zeros(nTestNum,1);fornTIndex=1:nTestNumz=xTest(nTIndex);s=0;fork=1:nSampNump=1;forj=1:nSampNumifj~=kp=p*(z-x(j))/(x(k)-x(j));endends=p*y(k)+s;endyTest(nTIndex)=s;end

5Newton插值

拉格朗日法增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，所有的系數(shù)必須重新計(jì)算能否有一種方法，增加節(jié)點(diǎn)時(shí)，先前的計(jì)算仍然可以利用，只增加很少的工作量就能得到新的高次插值多項(xiàng)式。？做法：求解：依據(jù)：只有教學(xué)意義，為此引入差商（均差）概念稱為k階差商稱為1階差商定義：差商定義給定一個(gè)函數(shù)表只有教學(xué)意義，為此引入差商（均差）概念一般的,f(x)關(guān)于xi,xi+1,…,xi+k的k

階差商記做

f[xi,xi+1,…,xi+k]

，即例：差商示意一階二階n階差商表牛頓插值公式插值余項(xiàng)牛頓插值公式（推導(dǎo)方法選講）

例3構(gòu)造例1中f(x)的牛頓均差插值多項(xiàng)式。作均差表。P3(x)=0+(-5)(x-1)+2(x-1)(x-2)+(x-1)(x-2)(x-3)=x3-4x2+3例已知數(shù)據(jù)表：x12356F(x)0262090試求牛頓均差插值多項(xiàng)式。解作均差表：

首先根據(jù)給定函數(shù)表造出均差表.

給出的函數(shù)表（見(jiàn)），求4次牛頓插值多項(xiàng)式，并由此計(jì)算的近似值.

從均差表看到4階均差近似常數(shù)，5階均差近似為0.

故取4次插值多項(xiàng)式做近似即可.于是

按牛頓插值公式，將數(shù)據(jù)代入

functionD=matdivdif(x,y)

%計(jì)算數(shù)據(jù)的均差表

%x,y為已知數(shù)據(jù)，D返回各階均差

n=length(x);D=zeros(n);D(:,1)=y′;

forj=2:n

fork=j:n

D(k,j)=(D(k,j-1)-D(k-1,j-1))/(x(k)-x(k-j+1));

end

end習(xí)題P155:1,2,7,8,9選作:數(shù)值實(shí)驗(yàn)牛頓法推導(dǎo)選講由插值條件Nn(xi)=f(xi)i=0,1,…,nNewton插值公式的一種解法導(dǎo)出