高三數(shù)學總復習第3章 第8講

第8講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例[知識梳理]1．仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線________的角叫仰角，在水平線________的角叫俯角(如圖①)．上方下方2．方位角從正_______方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的角(如圖②，B點的方位角為α)．北3．方向角相對于某一正方向的角(如圖③)(1)北偏東α：指從正北方向順時針旋轉(zhuǎn)α到達目標方向．(2)東北方向：指北偏東45°.(3)其他方向角類似．[要點整合]1．辨明兩個易誤點(1)易混淆方位角與方向角概念：方位角是指正北方向與目標方向線(按順時針)之間的夾角，而方向角是正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角．(2)解三角形時，為避免誤差的積累，應(yīng)盡可能用已知的數(shù)據(jù)(原始數(shù)據(jù))，少用間接求出的量．2．解三角形應(yīng)用題的一般步驟[考點自測]1．若點A在點C的北偏東30°，點B在點C的南偏東60°，且AC＝BC，則點A在點B的(

)A．北偏東15°

B．北偏西15°C．北偏東10° D．北偏西10°解析：

如圖所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴點A在點B的北偏西15°.答案：

B答案：

A答案：

C4．如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的________方向．解析：

由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°.∴燈塔A位于燈塔B的北偏西10°.答案：

北偏西10°5．江岸邊有一炮臺高30m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距________m.測量距離 某單位在抗雪救災(zāi)中，需要在A，B兩地之間架設(shè)高壓電線，測量人員在相距6km的C，D兩地測得∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，∠BDC＝15°，∠BCD＝30°(如圖，其中A，B，C，D在同一平面上)，假如考慮到電線的自然下垂和施工損耗等原因，實際所需電線長度大約應(yīng)該是A，B之間距離的1.2倍，問施工單位至少應(yīng)該準備多長的電線？自主練透型[歸納升華]距離問題的類型及解法1．測量距離問題分為三種類型：兩點間不可達又不可視、兩點間可視但不可達、兩點都不可達．2．選擇合適的輔助測量點，構(gòu)造三角形，將問題轉(zhuǎn)化為求某個三角形的邊長問題，從而利用正余弦定理求解．

(2015·湖北卷)如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝________m.測量高度多維探究型2．(2015·吉安模擬)要測量底部不能到達的電視塔AB的高度，在C點測得塔頂A的仰角是45°，在D點測得塔頂A的仰角是30°，并測得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，則電視塔的高度為________m.解析：

如圖，設(shè)電視塔AB高為xm，答案：

40[歸納升華]求解高度問題的注意事項1．在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)，視線與水平線的夾角；2．準確理解題意，分清已知條件與所求，畫出示意圖；3．運用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解問題的答案，注意方程思想的運用． 在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，相距12nmile的水面上，有藍方一艘小艇正以每小時10nmile的速度沿南偏東75°方向前進，若紅方偵察艇以每小時14nmile的速度，沿北偏東45°＋α方向攔截藍方的小艇，若要在最短的時間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時間和角α的正弦值．測量角度分層深化型2．如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/小時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2小時追上．(1)求漁船甲的速度；(2)求sinα的值．[歸納升華]求解角度問題的注意事項1．明確方位角的含義；2．分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫出示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步；3．將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學方法解決的問題后，注意正、余弦定理的“聯(lián)袂”使用．

某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇．(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)為保證小艇在30分鐘內(nèi)(含30分鐘)能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值．[方法思想]函數(shù)思想在解三角形中的應(yīng)用

[名師點評]

1.解答本題利用了函數(shù)思想，求解時，

把距離和速度分別表示為時間t的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求其最值，第二問應(yīng)注意t的范圍．2．關(guān)于三角形中的最值問題，有時把所求問題表示為關(guān)于角θ的三角函數(shù)，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)來求解．(2014·浙江卷)如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓練．已知點A到墻面的距離為AB，某目標點