恒成立與存在問題解參數(shù)技巧

數(shù)學(xué)恒成立&存在問題解參數(shù)技巧一、分類討論法：例如：函數(shù)fxexax1，若x0,,fx0恒成立，求a的取值范圍。解析：根據(jù)題意，只需求fxmin0時(shí)，a的取值范圍。根據(jù)求導(dǎo)fx，討論a的取值，求出fxmin，并使其滿足fxmin0時(shí)，a的取值即可。此題求得a,1。二、構(gòu)造函數(shù)法：1、構(gòu)造一種函數(shù)法：仍以函數(shù)fxexax1，若x0,,fx0恒成立，求a的取值范圍為例。解析：當(dāng)a0時(shí)，fxex10在x0,恒成立，當(dāng)a0時(shí)，原試可化簡為ex1a恒成立，故可構(gòu)造Fxex1，若使其恒成立，只需Fxmina即可，xx即只需求出Fxmin。此題Fx在x0,上單調(diào)遞增，由極限性得ex1alimx1（洛必達(dá)法則解）。x02、構(gòu)造函數(shù)Fx和Gx，數(shù)形結(jié)合解。（這是一種技巧，解決選擇填空題非?？旖?，由于方法特殊，簡答題不到萬不得已時(shí)建議勿用，但可以用來檢查簡答題的正誤。）這里主要講解該技巧的應(yīng)用。（1）、函數(shù)fxexax1，若x0,,fx0恒成立，求a的取值范圍。解析：將原試寫為ex1ax，構(gòu)造Fxex1，Gxax，則題意等價(jià)于FxGx在x0,時(shí)恒成立。思維轉(zhuǎn)換，可理解為x0,時(shí)，F(xiàn)x的函數(shù)圖像始終在Gx的上方。y=ex1ya=1.00由于F0 G0 0，由右圖圖像知，當(dāng)F x與Gx

3y=a?x21相切時(shí)，a0F01,當(dāng)Gx圖像向上轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，F(xiàn)x與Gx圖像在x0,出現(xiàn)兩個(gè)交點(diǎn)，即Fx的圖

x–5 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5–1–2–3像在此區(qū)間不是始終在 Gx上方，不合題意。當(dāng)圖像向下轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，F(xiàn) x圖像在x 0, ，始終在G x上方，符合題意，故所求 a a0 1。（2）、已知函數(shù) f x lnx 1ax22x，若其在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，求參數(shù) a的2取值范圍。解析：根據(jù)題意知，fx10,ax20在x恒成立。構(gòu)x造Fx12，Gxax，則題意等價(jià)于FxGx在xx0,恒成立，即Fx的函數(shù)圖像始終在Gx的上方。由圖像知，

y321x–5–4–3–2–1O12345–11–2y=x2–3a=–1.00y=a?x當(dāng)Fx與Gx相切時(shí)，F(xiàn)x與Gx只有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)為a0Fx01x0,y0，此時(shí)參數(shù)aa0，則由切線性質(zhì)可得到以下關(guān)系式：x20聯(lián)立12a0x0x0解得x01，a01，故當(dāng)Fx的函數(shù)圖像始終在Gx的上方時(shí)，所求aa01。（3）、設(shè)fxxlnxax2(2a1)x,aR，若fx在x1處取得極大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解析：右圖為 f x在1附近處的大致圖像，由圖知，若fx在x1處取得極大值，則存在1附近的值m,n（m1,n），使得當(dāng)x(m,1)時(shí)，fx0恒成立，1當(dāng)x(1,n)時(shí)，fx0恒成立。

yxmO1n即fxlnx2ax2a0在x(m,1)與fxlnx2ax2a0在x(1,n)時(shí)恒成立。構(gòu)造Fxlnx,Gx2ax2a，則題意轉(zhuǎn)換為：x(m,1)時(shí)，F(xiàn)xGx恒成立，且x(1,n)時(shí)，F(xiàn)xGx恒成立。由圖像知，當(dāng)Fx與Gx相切時(shí)，存在n，使得x(1,n)，F(xiàn)x的圖像在Gx圖像下方，由F1G10知，切點(diǎn)為1,0，設(shè)此時(shí)aa0，則2a0F11，故a01a0時(shí)，不存在m，使得x(m,1)，。當(dāng)所求a2FxGx恒成立，不合題意；當(dāng)將切線向下旋轉(zhuǎn)時(shí)，顯然不符合題意；當(dāng)將Gx圖像向上旋轉(zhuǎn)移動(dòng)時(shí)，存在m，使得當(dāng)x(m,1)，F(xiàn)x的函數(shù)圖像Gx上方，且存在n，使得當(dāng)x(1,n)，使得Fx的函數(shù)圖像在Gx下方。故所求aa01。2a=0.5yy=2?a?x2?a32y=lnx1–5–4–3–2–1O12345x–1–2–3練習(xí)：已知f x ln 2x 1