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文檔簡介
浙江高考數(shù)學(xué)試卷壓軸真題解讀9.已知,若對任意,則(
)A. B. C. D.【命題意圖】本題考查絕對值不等式的解法,作為選擇題,常常采用特值法,排除法等提高解題效率【答案】D【解析】由題意有:對任意的,有恒成立.設(shè),,即的圖像恒在的上方(可重合),如下圖所示:由圖可知,,,或,,故選:D.【解后反思】1.用零點分段法解絕對值不等式的步驟(1)求零點;(2)劃區(qū)間、去絕對值符號;(3)分別解去掉絕對值的不等式;(4)取每個結(jié)果的并集,注意在分段時不要遺漏區(qū)間的端點值.2.含絕對值的函數(shù)本質(zhì)上是分段函數(shù),絕對值不等式可利用分段函數(shù)的圖象的幾何直觀性求解,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.10.已知數(shù)列滿足,則(
)A. B. C. D.【命題意圖】本題考查遞推數(shù)列,數(shù)列的單調(diào)性等知識,對化簡變形能力要求較高,考查運算求解能力,邏輯推理能力【答案】B【解析】∵,易得,依次類推可得由題意,,即,∴,即,,,…,,累加可得,即,∴,即,,又,∴,,,…,,累加可得,∴,即,∴,即;綜上:.故選:B.【解題技巧】1.由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式的常用方法(1)已知a1,且an-an-1=f(n),可用“累加法”求an.(2)已知a1(a1≠0),且eq\f(an,an-1)=f(n),可用“累乘法”求an.2.已知a1且an+1=pan+q(其中p,q均為常數(shù),pq(p-1)≠0).把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an+1-t=p(an-t),其中t=eq\f(q,1-p),再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.16.已知雙曲線的左焦點為F,過F且斜率為的直線交雙曲線于點,交雙曲線的漸近線于點且.若,則雙曲線的離心率是_________.【命題意圖】本題考查雙曲線的性質(zhì),考查數(shù)形結(jié)合思想及運算求解能力【答案】【解析】過且斜率為的直線,漸近線,聯(lián)立,得,由,得而點在雙曲線上,于是,解得:,所以離心率.故答案為:.【規(guī)律總結(jié)】求雙曲線離心率或其取值范圍的方法(1)求a,b,c的值,由eq\f(c2,a2)=eq\f(a2+b2,a2)=1+eq\f(b2,a2)直接求e.(2)列出含有a,b,c的齊次方程(或不等式),借助于b2=c2-a2消去b,然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解.17.設(shè)點P在單位圓的內(nèi)接正八邊形的邊上,則的取值范圍是_______.【命題意圖】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算和性質(zhì),考查了學(xué)生分析問題和轉(zhuǎn)化問題的能力【答案】【解析】以圓心為原點,所在直線為軸,所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示:則,,設(shè),于是,因為,所以,故的取值范圍是.故答案為:.【解后反思】1.以平面幾何為載體的向量問題有兩種基本解法:(1)基向量法:恰當(dāng)選擇基底,結(jié)合共線定理、平面向量的基本定理進(jìn)行向量運算.(2)坐標(biāo)法:如果圖形比較規(guī)則,可建立平面坐標(biāo)系,把有關(guān)點與向量用坐標(biāo)表示,從而使問題得到解決.2.解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問題,關(guān)鍵是準(zhǔn)確利用向量的坐標(biāo)運算化簡已知條件,將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的有關(guān)問題.21.如圖,已知橢圓.設(shè)A,B是橢圓上異于的兩點,且點在線段上,直線分別交直線于C,D兩點.(1)求點P到橢圓上點的距離的最大值;(2)求的最小值.【命題意圖】本題考查直線與橢圓的綜合運用,涉及了兩點間的距離公式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值,弦長公式等基礎(chǔ)知識點,考查邏輯推理能力,運算求解能力【解析】(1)設(shè)是橢圓上任意一點,,則
,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,故的最大值是.(2)設(shè)直線,直線方程與橢圓聯(lián)立,可得,設(shè),所以,因為直線與直線交于,則,同理可得,.則,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,故的最小值為.【方法總結(jié)】圓錐曲線中的最值問題類型較多,解法靈活多變,但總體上主要有兩種方法:一是幾何方法,即通過利用圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解;二是代數(shù)方法,即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(些)變量的函數(shù)(解析式),然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解.22.設(shè)函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)已知,曲線上不同的三點處的切線都經(jīng)過點.證明:(ⅰ)若,則;(ⅱ)若,則.(注:是自然對數(shù)的底數(shù))【命題意圖】本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法,考查不等式的證明,考查導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、極值、零點、換元法、構(gòu)造法等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力【解析】(1),當(dāng),;當(dāng),,故的減區(qū)間為,的增區(qū)間為.(2)(ⅰ)因為過有三條不同的切線,設(shè)切點為,故,故方程有3個不同的根,該方程可整理為,設(shè),則,當(dāng)或時,;當(dāng)時,,故在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),因為有3個不同的零點,故且,故且,整理得到:且,此時,設(shè),則,故為上的減函數(shù),故,故.(ⅱ)當(dāng)時,同(?。┲杏懻摽傻茫汗试谏蠟闇p函數(shù),在上為增函數(shù),不妨設(shè),則,因為有3個不同的零點,故且,故且,整理得到:,因為,故,又,設(shè),,則方程即為:即為,記則為有三個不同的根,設(shè),,要證:,即證,即證:,即證:,即證:,而且,故,故,故即證:,即證:即證:,記,則,設(shè),則即,故在上為增函數(shù),故,所以,記,則,所以在為增函數(shù),故,故即,故原不等式得證:【規(guī)律總結(jié)】1.待證不等式的兩邊含有同一個變量時,一般地,可以直接構(gòu)造“左減右”或“右減左”的函數(shù),利用研究其單調(diào)性等相關(guān)函數(shù)性質(zhì)證明不等式.2.某些不等式,直接構(gòu)造不易求最值,可利用條件與不等式性質(zhì),適當(dāng)放縮后,再構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明.壓軸模擬專練1.(2022·浙江·模擬預(yù)測)已知實數(shù),,滿足:對任意都成立,則(
).A. B.C. D.【答案】D【解析】因為,,,所以,當(dāng)恒成立時,,則,,所以,,故選:D.2.(2022·浙江省新昌中學(xué)模擬預(yù)測)設(shè),若的最大值是5,則的最大值是(
)A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】當(dāng)時,,所以是可能的,故B、C錯誤;將點分別代入,得,又,因為的最大值為5,所以恒成立,即,解得,當(dāng)時,,無解,故A錯誤,D正確.故選:D.3.(2022·浙江·三模)設(shè)數(shù)列滿足,記數(shù)列的前n項的和為,則(
)A. B.存在,使C. D.?dāng)?shù)列不具有單調(diào)性【答案】C【解析】由于,則,又由,則與同號.又由,則,可得,所以數(shù)列單調(diào)遞增,故B、D錯誤;又因為,由數(shù)列單調(diào)遞增,且,所以,所以,累加得,所以,故A錯誤;由可得,因為,所以,故C正確.故選:C.4.(2022·浙江·效實中學(xué)模擬預(yù)測)已知數(shù)列滿足,,其中是自然對數(shù)的底數(shù),則(
)A. B.C. D.【答案】B【解析】∵(當(dāng)時等號成立),∴,當(dāng)時,,即,則,,整理得,即,即,,,,將個不等式相加得,即,,令,則,當(dāng)時,,當(dāng)時,,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,即在出取得最大值,,所以(當(dāng)時等號成立),當(dāng)時,(當(dāng)時等號成立),即當(dāng)時,,,,,,即,同理利用累加法可得,即,所以,則,故選:.5.(2015·浙江·二模(文))已知,分別為雙曲線的左、右焦點,為雙曲線右支上任意一點,若的最小值為,則該雙曲線的離心率的取值范圍是______.【答案】【解析】設(shè),則,由雙曲線的定義知,,∴,∴,當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立,∴當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r,,,此時,解得,又,∴,6.(2022·浙江·金華市曙光學(xué)校模擬預(yù)測)過雙曲線的左焦點的直線,在第一象限交雙曲線的漸近線于點,與圓相切于點.若,則離心率的值為________.【答案】【解析】設(shè)雙曲線的右焦點為,在中,是的一個外角,設(shè),,則,因為直線與圓相切于點,所以,在中,,所以,因為,所以,所以在直角中,,在直角中,,因為,所以,因為為直線的傾斜角,直線為雙曲線的漸近線,所以,所以,所以,所以,所以離心率為,7.(2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測)如圖,已知點O,A,B,C(順時針排列)在半徑為2的圓E上,將順時針旋轉(zhuǎn),得到,則的最大值為_________.【答案】16【解析】如圖,作于G,于H,由題可得,∴.當(dāng)且僅當(dāng)且時等號成立,8.(2022·浙江紹興·模擬預(yù)測)如圖,在平行四邊形中,,,依次為邊的四等分點,,,依次為邊的四等分點,若,,則__________.【答案】【解析】因為四邊形是平行四邊形,所以,,所以,,,所以,所以,設(shè),,則,又,,所以.9.(2022·浙江·杭師大附中模擬預(yù)測)已知橢圓與拋物線有一個相同的焦點,橢圓的長軸長為.(1)記橢圓于拋物線的公共弦為,求;(2)P為拋物線上一點,為橢圓的左焦點,直線交橢圓于A,B兩點,直線與拋物線交于P,Q兩點,求的最大值.【解析】(1)根據(jù)題意得:,∴拋物線方程:,橢圓方程:聯(lián)立拋物線與橢圓:,整理得:(舍)∴∴(2)設(shè)聯(lián)立與橢圓:,整理得:所以弦長公式:聯(lián)立與拋物線:,整理得:所以弦長公式:聯(lián)立與,∴P在拋物線上:,整理得:,即∴∴的最大值為,當(dāng)時取到最大值.10.(2022·浙江·海寧中學(xué)模擬預(yù)測)設(shè)橢圓的左右焦點分別為是該橢圓C的右頂點和上頂點,且,若該橢圓的離心率為(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)直線l與橢圓C交于兩點,且與x軸交于點若直線與直線的傾斜角互補,求的面積的最大值.【解析】(1)由題可得,,所以
因為橢圓的離心率為所以,結(jié)合橢圓中可知,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2),設(shè)因為直線與直線的傾斜角互補,所以可知,即,化簡得設(shè)直線,將代入上式,整理可得且由消元化簡可得,所以,代入上式由,解得所以因為點到直線PQ的距離,且所以令,則所以,.當(dāng)且僅當(dāng),時取等號.所以的面積的最大值為11.(2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測)已知函數(shù)的圖像記為曲線.(1)過點作曲線的切線,這樣的切線有且僅有兩條.(?。┣蟮闹担唬áⅲ┤酎c在曲線上,對任意的,求證:.(2)若對恒成立,求的最大值.【解析】(1)(ⅰ)∵,∴設(shè)切點為,則所以切線方程為,將點代入得可化為設(shè)∵,令令即,解得或;令即,解得;所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.∴的極值點0和,∵過點作曲線的切線.這樣的切線有且僅有兩條∴或,∴或;所以的值為或.(ⅱ)因為點在曲線上,所以,當(dāng)時,左邊令函數(shù),∵.當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,當(dāng)即時,由得;由得;∴函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增∴;當(dāng)時,左邊令函數(shù)∵,由得;由得;當(dāng)時,即時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增令函數(shù)設(shè)在上單調(diào)遞增∴即證.(2)由得對恒成立,顯然.若,則,若,則,設(shè)函數(shù),令即,解得;令即,解得;所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增∴設(shè),∵令,即,解得;令,即,解得;∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.∴,即的最大值為,此時12.(2022·浙江·效實中學(xué)模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù),其中.(1)若,討論的單調(diào)性;(2)若,設(shè)為的極值點.(i)求取值范圍:
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