2022年浙江高考數(shù)學(xué)壓軸題答案詳解及解題技巧(含模擬專練)

浙江高考數(shù)學(xué)試卷壓軸真題解讀9．已知，若對(duì)任意，則（

）A． B． C． D．【命題意圖】本題考查絕對(duì)值不等式的解法，作為選擇題，常常采用特值法，排除法等提高解題效率【答案】D【解析】由題意有：對(duì)任意的，有恒成立．設(shè)，，即的圖像恒在的上方（可重合），如下圖所示：由圖可知，，，或，，故選：D．【解后反思】1.用零點(diǎn)分段法解絕對(duì)值不等式的步驟(1)求零點(diǎn)；(2)劃區(qū)間、去絕對(duì)值符號(hào)；(3)分別解去掉絕對(duì)值的不等式；(4)取每個(gè)結(jié)果的并集，注意在分段時(shí)不要遺漏區(qū)間的端點(diǎn)值.2.含絕對(duì)值的函數(shù)本質(zhì)上是分段函數(shù)，絕對(duì)值不等式可利用分段函數(shù)的圖象的幾何直觀性求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.10．已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【命題意圖】本題考查遞推數(shù)列，數(shù)列的單調(diào)性等知識(shí)，對(duì)化簡(jiǎn)變形能力要求較高，考查運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力【答案】B【解析】∵，易得，依次類推可得由題意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；綜上：．故選：B．【解題技巧】1.由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的常用方法(1)已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.(2)已知a1(a1≠0)，且eq\f(an,an－1)＝f(n)，可用“累乘法”求an.2.已知a1且an＋1＝pan＋q(其中p，q均為常數(shù)，pq(p－1)≠0).把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝eq\f(q,1－p)，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.16．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，過F且斜率為的直線交雙曲線于點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于點(diǎn)且．若，則雙曲線的離心率是_________．【命題意圖】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想及運(yùn)算求解能力【答案】【解析】過且斜率為的直線，漸近線，聯(lián)立，得，由，得而點(diǎn)在雙曲線上，于是，解得：，所以離心率.故答案為：．【規(guī)律總結(jié)】求雙曲線離心率或其取值范圍的方法(1)求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)直接求e.(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解．17．設(shè)點(diǎn)P在單位圓的內(nèi)接正八邊形的邊上，則的取值范圍是_______．【命題意圖】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和性質(zhì)，考查了學(xué)生分析問題和轉(zhuǎn)化問題的能力【答案】【解析】以圓心為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：則,，設(shè),于是，因?yàn)椋?，故的取值范圍?故答案為：．【解后反思】1.以平面幾何為載體的向量問題有兩種基本解法：(1)基向量法：恰當(dāng)選擇基底，結(jié)合共線定理、平面向量的基本定理進(jìn)行向量運(yùn)算.(2)坐標(biāo)法：如果圖形比較規(guī)則，可建立平面坐標(biāo)系，把有關(guān)點(diǎn)與向量用坐標(biāo)表示，從而使問題得到解決.2.解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問題，關(guān)鍵是準(zhǔn)確利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)已知條件，將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的有關(guān)問題.21．如圖，已知橢圓．設(shè)A，B是橢圓上異于的兩點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上，直線分別交直線于C，D兩點(diǎn)．(1)求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；(2)求的最小值．【命題意圖】本題考查直線與橢圓的綜合運(yùn)用，涉及了兩點(diǎn)間的距離公式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，弦長公式等基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，考查邏輯推理能力，運(yùn)算求解能力【解析】(1)設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn),,則

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最大值是.(2)設(shè)直線,直線方程與橢圓聯(lián)立,可得,設(shè)，所以，因?yàn)橹本€與直線交于,則,同理可得,.則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.【方法總結(jié)】圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是幾何方法，即通過利用圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是代數(shù)方法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)(些)變量的函數(shù)(解析式)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解．22．設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，曲線上不同的三點(diǎn)處的切線都經(jīng)過點(diǎn)．證明：（?。┤簦瑒t；（ⅱ）若，則．（注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【命題意圖】本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查不等式的證明，考查導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、極值、零點(diǎn)、換元法、構(gòu)造法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力【解析】(1)，當(dāng)，；當(dāng)，，故的減區(qū)間為，的增區(qū)間為.(2)（ⅰ）因?yàn)檫^有三條不同的切線，設(shè)切點(diǎn)為，故，故方程有3個(gè)不同的根，該方程可整理為，設(shè)，則，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，因?yàn)橛?個(gè)不同的零點(diǎn)，故且，故且，整理得到：且，此時(shí)，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，故，故.（ⅱ）當(dāng)時(shí)，同（ⅰ）中討論可得：故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，不妨設(shè)，則，因?yàn)橛?個(gè)不同的零點(diǎn)，故且，故且，整理得到：，因?yàn)?，故，又，設(shè)，，則方程即為：即為，記則為有三個(gè)不同的根，設(shè)，，要證：，即證，即證：，即證：，即證：，而且，故，故，故即證：，即證：即證：，記，則，設(shè)，則即，故在上為增函數(shù)，故，所以，記，則，所以在為增函數(shù)，故，故即，故原不等式得證：【規(guī)律總結(jié)】1.待證不等式的兩邊含有同一個(gè)變量時(shí)，一般地，可以直接構(gòu)造“左減右”或“右減左”的函數(shù)，利用研究其單調(diào)性等相關(guān)函數(shù)性質(zhì)證明不等式.2.某些不等式，直接構(gòu)造不易求最值，可利用條件與不等式性質(zhì)，適當(dāng)放縮后，再構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明.壓軸模擬專練1．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)，，滿足：對(duì)任意都成立，則（

）.A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，，所以，?dāng)恒成立時(shí)，，則，，所以，，故選：D.2．（2022·浙江省新昌中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，若的最大值是5，則的最大值是（

）A． B． C．2 D．4【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，所以是可能的，故B、C錯(cuò)誤；將點(diǎn)分別代入，得，又，因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以恒成立，即，解得，當(dāng)時(shí)，，無解，故A錯(cuò)誤，D正確.故選：D.3．（2022·浙江·三模）設(shè)數(shù)列滿足，記數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，則（

）A． B．存在，使C． D．?dāng)?shù)列不具有單調(diào)性【答案】C【解析】由于，則，又由，則與同號(hào)．又由，則，可得，所以數(shù)列單調(diào)遞增，故B、D錯(cuò)誤；又因?yàn)?，由?shù)列單調(diào)遞增，且，所以，所以，累加得，所以，故A錯(cuò)誤；由可得，因?yàn)?，所以，故C正確．故選：C．4．（2022·浙江·效實(shí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵（當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），∴，當(dāng)時(shí)，，即，則，，整理得，即，即，，，，將個(gè)不等式相加得，即，，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即在出取得最大值，，所以（當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），當(dāng)時(shí)，（當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），即當(dāng)時(shí)，，，，，，即，同理利用累加法可得，即，所以，則，故選：.5．（2015·浙江·二模（文））已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，若的最小值為，則該雙曲線的離心率的取值范圍是______．【答案】【解析】設(shè)，則，由雙曲線的定義知，，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，∴當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r(shí)，，，此時(shí)，解得，又，∴，6．（2022·浙江·金華市曙光學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）過雙曲線的左焦點(diǎn)的直線，在第一象限交雙曲線的漸近線于點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn).若，則離心率的值為________.【答案】【解析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，在中，是的一個(gè)外角，設(shè)，，則，因?yàn)橹本€與圓相切于點(diǎn)，所以,在中，，所以，因?yàn)?，所以，所以在直角中，，在直角中，，因?yàn)椋?，因?yàn)闉橹本€的傾斜角，直線為雙曲線的漸近線，所以,所以，所以，所以，所以離心率為，7．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知點(diǎn)O，A，B，C（順時(shí)針排列）在半徑為2的圓E上，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，則的最大值為_________．【答案】16【解析】如圖，作于G，于H，由題可得，∴．當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號(hào)成立，8．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形中，，，依次為邊的四等分點(diǎn)，，，依次為邊的四等分點(diǎn)，若，，則__________．【答案】【解析】因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危?，，所以，，，所以，所以，設(shè)，，則，又，，所以.9．（2022·浙江·杭師大附中模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓與拋物線有一個(gè)相同的焦點(diǎn)，橢圓的長軸長為．(1)記橢圓于拋物線的公共弦為，求；(2)P為拋物線上一點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，直線與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，求的最大值．【解析】(1)根據(jù)題意得：，∴拋物線方程：，橢圓方程：聯(lián)立拋物線與橢圓：，整理得：（舍）∴∴(2)設(shè)聯(lián)立與橢圓：，整理得：所以弦長公式：聯(lián)立與拋物線：，整理得：所以弦長公式：聯(lián)立與，∴P在拋物線上：，整理得：，即∴∴的最大值為，當(dāng)時(shí)取到最大值．10．（2022·浙江·海寧中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為是該橢圓C的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，且，若該橢圓的離心率為(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)若直線與直線的傾斜角互補(bǔ)，求的面積的最大值.【解析】(1)由題可得，，所以

因?yàn)闄E圓的離心率為所以，結(jié)合橢圓中可知，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)，設(shè)因?yàn)橹本€與直線的傾斜角互補(bǔ)，所以可知，即，化簡(jiǎn)得設(shè)直線，將代入上式，整理可得且由消元化簡(jiǎn)可得，所以，代入上式由，解得所以因?yàn)辄c(diǎn)到直線PQ的距離，且所以令，則所以，.當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào).所以的面積的最大值為11．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖像記為曲線．(1)過點(diǎn)作曲線的切線，這樣的切線有且僅有兩條．（?。┣蟮闹?；（ⅱ）若點(diǎn)在曲線上，對(duì)任意的，求證：．(2)若對(duì)恒成立，求的最大值．【解析】(1)（?。撸嘣O(shè)切點(diǎn)為，則所以切線方程為，將點(diǎn)代入得可化為設(shè)∵，令令即，解得或；令即，解得；所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.∴的極值點(diǎn)0和，∵過點(diǎn)作曲線的切線．這樣的切線有且僅有兩條∴或，∴或；所以的值為或.（ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，當(dāng)時(shí)，左邊令函數(shù)，∵.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)即時(shí)，由得;由得;∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增∴；當(dāng)時(shí)，左邊令函數(shù)∵，由得;由得;當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增令函數(shù)設(shè)在上單調(diào)遞增∴即證.(2)由得對(duì)恒成立，顯然．若，則，若，則，設(shè)函數(shù)，令即，解得；令即，解得；所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增∴設(shè)，∵令，即，解得；令，即，解得；∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.∴，即的最大值為，此時(shí)12．（2022·浙江·效實(shí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，其中.(1)若，討論的單調(diào)性；(2)若，設(shè)為的極值點(diǎn).（i）求取值范圍：