2面波勘探的基本原理

其次節(jié)瑞雷面波法自1887年英國(guó)學(xué)者瑞雷從理論上證明白瑞雷面波的存在以來(lái)，功能。盡管其應(yīng)用已經(jīng)如此廣泛，但瑞雷面波勘探的理論問(wèn)題、儀器勘探在技術(shù)及理論方面還有大量的工作要做?！?－1均勻半空間瑞雷面波的形成一種的、能量很強(qiáng)且主要集中在地表四周的波動(dòng)。由于這種波是1887年由瑞雷從數(shù)學(xué)上證明其存在的，故稱(chēng)為瑞雷面波。關(guān)于瑞雷波的推導(dǎo)如下：和，密度為xyz軸垂直向下。設(shè)瑞雷波速為VRzox平面內(nèi)沿xy軸方向的振幅和相位完全一樣，及只爭(zhēng)論平面二維狀況。令其勢(shì)函數(shù)為：f(z)ei(kxt)R f(z)ei(kxt)R 和分別滿(mǎn)足以下波動(dòng)方程：1 22V2P

22

1 V2 t2S將、代入上式，可得：d2fdz2

(k2R

k2)f0Pd2gdz2

(k2R

k2)g0SkP

，kV P

，kV S

。VRk2k2k2R P

fAezCezgBezDezk2kk2k2R S由邊界條件：,于是有：

z

0C0D0。RAezei(kxt)R 在自由界面，其邊界條件是正應(yīng)力和切應(yīng)力為零。即：2 (Dx

Dz)2 Z0zzz

x z Z (Dx

z)0xzz0

z x其中，D 、D是位移重量：x zD x D z z

zx彈性常數(shù)、與介質(zhì)密度及縱、橫波的關(guān)系分別為：(V2PV2S

S將這些代入邊界條件方程,通過(guò)簡(jiǎn)化可得： 2V222V2( ) 0P S

z02 2

0 xz

x2

z0將和代入上兩式化簡(jiǎn)可得：P R S R Rik

R R依據(jù)、的定義，最終得到：(2k2R

k2)A2ikS

k2k2B0R S2ik2R

A(2k2kk2k2R P

k2)B0S假設(shè)要A、B不為零，則上式的系數(shù)行列式應(yīng)為零，即：(2k2R

k2)2S

4k2 0kk2k2RPk2k2R S上式即為瑞雷方程。令：3k2;

k2 V2

x Rk2S

m P Sk2 V2S Pxxm x10

(2x1)24x16(1m)x38(2m3)x28x10令x1，上式左邊＝－1＜0，令x，則上式左邊。因此，該方程在(1,之間至少有一個(gè)x得實(shí)根。也就是：Rx＞1kS或： k2＞k2R S亦即：V ＜V 。由此可見(jiàn)，面波速度V 既小于縱波速度V ,也小R S R P于橫波速度V 。S0.25，此時(shí)，V23V2，m

1，代入上方程有：

P S 332x356x224x30或：(4x1)(8x212x3)0x1

1/4；x 2

；x 3 33 33 3這3個(gè)根中，只有x才滿(mǎn)足x＞1的要求，其它兩個(gè)根應(yīng)舍去。33 3由x3 3443 3k2 3 3R 4 S或： k 1.087kR SV 0.9194VR S就是面波。瑞雷面波的傳播特征1、瑞雷面波的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)將式〔〕代入式〔〕并利用式〔〕消去B可得：2 D ikx R

2k2R

S

ez)ei(kRxt) D k

A(

ez

2k2

S

ez

)ei(k

xt)取其實(shí)部：

z R kR

2kR

R D Ak

(ez

2

ez)sin(tkx)x R R

k2 RSDAk

(

ez

S

ez)cos(tkx)z R kR

2k RR上式為瑞雷面波的位移表達(dá)式。當(dāng)z時(shí)，D 0，D 0，x z即在x和z當(dāng)介質(zhì)為泊松體(0.25時(shí)，將式〔〕代入〔〕得：D Akx R

(e0.8475kz0.5773e0.3933kz)sin(tkx)R R D Akz R

(0.8475e0.8475kz1.4679e0.3933kz)cos(tkx)R R z0時(shí)，即在自由外表上：5D 0.42Dsin(tkx)xz0 RDzz0

0.62Dcos(tkx)RDAk。將上兩式平方后相加并整理得：RD D( x )2(

)22(tk

x)cos2(tk

x)10.42D 0.62D R R約為23，且質(zhì)點(diǎn)的垂直位移比水平位移相位超前。20.25可以計(jì)算出水平位移D和xDz

的振幅隨深度的變化，如圖〔6－1〕所示。從圖中可以R看出，當(dāng)Rz

＜0.193D和Dx z

的振幅的符號(hào)一樣，兩者合成之后R形成的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為一逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)的橢圓；當(dāng) ＞0.193時(shí)，Rz振幅隨單位波長(zhǎng)深度的變化規(guī)律如圖〔6－2〕所示。2、瑞雷面波穿透深度與波長(zhǎng)的關(guān)系6圖〔6－3〕為依據(jù)式〔〕計(jì)算出的面波質(zhì)點(diǎn)水平位移和垂直位移的振幅隨深度變化的曲線(xiàn)。從圖中可以看到，當(dāng)泊松比從0.1增大到0.5時(shí)，水平和垂直位量就越多；對(duì)于不同的介質(zhì)，隨著深度的增大，面波的水平和垂直位Rz

＜1的深度范圍內(nèi)。由此認(rèn)為，面波的穿透深度約為一個(gè)波長(zhǎng)。從圖〔6－3〕還可以看到，當(dāng)深度z為波長(zhǎng)R

的一半時(shí)，面波的能量較強(qiáng)，當(dāng)z與R

相當(dāng)時(shí)，其能量快速衰減。因此，某一波長(zhǎng)的面波速度主要與深度小于R

波長(zhǎng)。3、瑞雷面波與橫波速度和泊松比的關(guān)系式〔〕可以寫(xiě)為：7k2 k2 k2(2或：

R)2k2S

4 1 Pk2R

1 S 0k2RV2 V2 V2(2 R)2V2S

4 1 RV2P

1 R 0V2S橫波和縱波的速度比為：V2 S V2 2(1)P代入上式整理得：1V

2 V 1( R)68VS

(VR)4S

1

(VR)2S

10據(jù)此式可解出在均勻各向同性介質(zhì)中傳播的面波速度V 橫波速R度V 與泊松比之間的關(guān)系為：SV VR 1 S當(dāng)泊松比變化時(shí)，橫波速度與面波速度之間的關(guān)系見(jiàn)下表，縱波速度、橫波速度隨泊松比的變化如圖〔6－4〕所示。8從圖〔6－4〕中可以看出，隨接近0.5，V 與V 趨于同一值。R S一般來(lái)說(shuō)，固結(jié)巖石的為0.25，土層的為0.45～0.49之間。因此對(duì)于土體而言可認(rèn)為V 與V 大致相等從這一點(diǎn)動(dòng)身在進(jìn)展土體R S勘探時(shí)，可依據(jù)面波速度得到橫波速度，兩者的誤差約為5％左右。4、瑞雷面波的衰減距離r按1r

1衰減要小得多。r2另外，爭(zhēng)論證明，在彈性半空間外表上，通過(guò)圓形墊向下加一個(gè)2/3的能量會(huì)轉(zhuǎn)化為瑞雷波，1/3的能量由體波攜帶，這是利用面波進(jìn)展勘探的有利條件。層狀介質(zhì)中的瑞雷面波9zox平面內(nèi)傳播。在這樣的條件下，在自由外表上，仍有兩個(gè)邊界條件：垂直應(yīng)力和水位移連續(xù)，垂直應(yīng)力和水平應(yīng)力重量也連續(xù)，因此有四個(gè)邊界條件。多于n4n24n2個(gè)齊次聯(lián)立方程。為簡(jiǎn)潔計(jì)，現(xiàn)以一個(gè)簡(jiǎn)潔的兩層半空間問(wèn)題為例。同樣，取勢(shì)函數(shù)為：Aezei(kRxt) 可以無(wú)視，坐標(biāo)取法如圖〔6－5〕所示。在這樣的條件下，由于掩蓋

2Dzt2

，切向應(yīng)力照舊等于零〔由于掩蓋層是非彈性物質(zhì)。這時(shí)的邊界條件為： 2Dz

2Dzzz z t2zD Dx (xxz

zx

z)010DxDz

x z(2)(2

2)2(2

)2

(

) )2

x222

z2

0

z

z0z2 xz x2 z0將、代入上式并化簡(jiǎn)得：k2k2k2k2R Pk2k2R P(2k2R

k2)2S

Ai2kR

2k2R

B02ikR

A(2k2kk2k2R P

P

k2)B0S令這一方程組的系數(shù)行列式等于零，得：k2k2k2R Pk2k2R S(2k2

k2)(2k2

k2)2

k2k2(2k

2)0R S R S R R P RR R 有頻散。所謂速度頻散，是指諧波傳播的速度隨頻率的變化而變化。在瑞雷波的位移表達(dá)式中，有因子ei(kxt)eikxVt)R R 諧波，而V是諧波同相面的傳播速度，稱(chēng)之為相速度，用V表示之。R實(shí)際上，地震波是由很多不同頻率、不同振幅的諧波疊加而成，各諧群速度，用U表示之。實(shí)際上，地震波的群速度就是地震波能量的傳播速度。在物理學(xué)中，相速度和群速度的關(guān)系為：UVdVd相速度和群速度的關(guān)系如圖〔6－6〕所示。11由 VR可知不同的面波波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)于不同的頻率因此通過(guò)R f速度。面波的基階模態(tài)和高階模態(tài)波為例來(lái)說(shuō)明模態(tài)的概念。SH型的面波，其質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向與地表平行且垂SH型的應(yīng)力。設(shè)在均勻彈性H。令x、y軸在自由外表上，z軸垂直向下為正。樂(lè)甫面波為沿x軸方向傳播的平面波，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)沿12yy軸方向的振幅和相位完全一樣。樂(lè)甫面波的傳播應(yīng)滿(mǎn)中的位移為：1 1 D(AezBez)ei(kxt) 0＜z＜1 1 12 D Cezei(kxt) z＞2 2其中， 1

； kk2k2L S1

A、B、C為待定系數(shù)。kk2k2L S2D1zD1z1z0D1ZH

D2zHD1zDD1zD2z1 2zH zH將D、D代入此邊界條件，化簡(jiǎn)后消去B得：1 21 1 A(eHeH)CeH1 1 A

(eHeH)C

eH1 1 21 1 2 2A、C不全為零，故其系數(shù)行列式必為零。解之得：eHeH th(

H)

1 2 21 eHeH 1 11 1由于對(duì)全部的實(shí)數(shù)，th(x)雙曲正切的變量為虛數(shù)，將寫(xiě)成：1k2k2k2k2L S11

ikk2S1k2L

〔由于th(ix)ith(x〕

th(

H) 2 21 1 113或：V2L 1V2V2L 1V2S11V2LV2S2V2LV2S11L上式就是樂(lè)甫波得頻散方程。它確定、k 、V 三者中任何兩個(gè)L L之間的隱含關(guān)系，即說(shuō)明樂(lè)甫面波的速度與頻率有關(guān)，也就是說(shuō)，樂(lè)段距離之后會(huì)散成波列。上述頻散方程的解為：V2 V2V2L V2L 1V2S1L

1 (arcth(

1 LV2S1V2 1V2S2

)n) (n,, ) L 1V2S1圖〔6－7〕是該解的圖解。在圖〔〕中，式〔〕的左端用實(shí)線(xiàn)表〔〕〔6－7〕中可見(jiàn)，V 的實(shí)根限定在V 與V 之間。即：L S1 S2V ＜V ＜VS1 L S2在式〔〕中，每一個(gè)k 對(duì)應(yīng)一種樂(lè)甫面波，當(dāng)n0時(shí)，稱(chēng)為基階L模態(tài)樂(lè)甫面波，對(duì)應(yīng)的波數(shù)記為k ，當(dāng)n＞0時(shí)，稱(chēng)為高階模態(tài)樂(lè)甫L0面波，對(duì)應(yīng)的波數(shù)記為k 。Ln對(duì)某一給定的，面波的模態(tài)為有限個(gè)。圖〔6－8〕為基階模態(tài)和緊鄰的三個(gè)高階模態(tài)的相速度隨頻率變化示意圖。對(duì)于瑞雷面波，也同樣存在多階模態(tài)的問(wèn)題。14圖〔6－9〕為實(shí)測(cè)面波地震記錄的波數(shù)－頻率(fk圖，并標(biāo)出某一頻率〔17.94赫茲〕所對(duì)應(yīng)的高階面波和基階面波的相速度。圖〔6－10〕是地面激發(fā)，在10～480米范圍內(nèi)接收的具有不同基模波。態(tài)的面波以不同的相速度傳播，在遠(yuǎn)距離處有較大的到達(dá)時(shí)間差。15波的提取難度，并使問(wèn)題簡(jiǎn)潔化。他們?cè)谔幚砻娌ㄙY料時(shí)，通常是將的反演中還要提到，高模式面波在反演方面很有用。歸納起來(lái)，高模式面波具有以下優(yōu)點(diǎn)：比基階模式面波更易得到。有時(shí)候，在高頻范圍內(nèi)，高模式波比基模式波攜帶有更多的能量。也就是說(shuō)，在高頻范圍內(nèi)，有時(shí)可能無(wú)法得到基階模式波的信息，此時(shí)高模式波是唯一的選擇；高模式波的穿透深度比基模波更大。在同樣的頻率條件下，高模波比基模波的穿透深度要大得多；高模波對(duì)地層參數(shù)變化的敏感性較之基模波要大得多。在不重要的作用；高模波的反演過(guò)程很穩(wěn)定，并可使反演橫波速度的精度得到提高；反演過(guò)程中，利用高模波聯(lián)合反演可以使反演更加穩(wěn)定。面波頻散曲線(xiàn)的圖示方法1、頻率－波數(shù)(fk法面波頻散數(shù)據(jù)在fk坐標(biāo)下的曲線(xiàn)如圖〔6－11〕所示，圖中縱16坐