山東省淄博市張店第三中學2023年高三數學理上學期期末試題含解析

山東省淄博市張店第三中學2023年高三數學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.（2016秋?天津期中）定義在R上的偶函數f（x）滿足f（x+2）=f（x），且在[﹣3，﹣2]上是減函數，若α，β是銳角三角形的兩個內角，則（）A．f（sinα）＞f（sinβ） B．f（sinα）＜f（cosβ） C．f（cosα）＜f（cosβ） D．f（sinα）＞f（cosβ）參考答案：D【考點】函數奇偶性的性質．【專題】轉化思想；轉化法；函數的性質及應用．【分析】根據f（x+2）=f（x），所以函數的周期為2，在[﹣3，﹣2]上是減函數，可得f（x）在[﹣1，0]上為減函數，因為f（x）為偶函數，所以f（x）在[0，1]上為單調增函數．在根據α，β是銳角三角形的兩個內角，利用三角函數誘導公式化簡可得答案．【解答】解：由題意：可知f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期為2的函數，∵f（x）在[﹣3，﹣2]上為減函數，∴f（x）在[﹣1，0]上為減函數，又∵f（x）為偶函數，根據偶函數對稱區(qū)間的單調性相反，∴f（x）在[0，1]上為單調增函數．∵在銳角三角形中，π﹣α﹣β＜∴π﹣α﹣β，即，∴＞α＞﹣β＞0，∴sinα＞sin（）=cosβ；∵f（x）在[0，1]上為單調增函數．所以f（sinα）＞f（cosβ），故選：D．【點評】本題主要考查了函數的奇偶性和周期性的應用，以及三角函數的圖象和性質，綜合性較強，涉及的知識點較多．屬于中檔題．2.設、為兩個非空實數集合，定義集合,若,,則中元素的個數為

（

）A.9

B.8

C.7

D.6參考答案：B3.已知關于x的方程2sin（x+）﹣a=0在區(qū)間[0，2π]上有兩個不同的實根，則實數a的數值范圍是（） A．（﹣2，2） B． [﹣2，2] C． [﹣2，）∪（，2] D． （﹣2，）∪（，2）參考答案：D4.已知向量滿足，則

（

）A.0

B.

C.

4

D.8

參考答案：B略5.函數圖像的一條對稱軸是（）參考答案：C6.已知集合A={x|x2+5x＞0}，B={x|﹣3＜x＜4}，則A∩B等于（）A．（﹣5，0） B．（﹣3，0） C．（0，4） D．（﹣5，4）參考答案：C【考點】交集及其運算．【分析】求出關于A的解集，從而求出A與B的交集．【解答】解：∵A={x||x2+5x＞0}={x|x＜﹣5或x＞0}，B={x|﹣3＜x＜4}，∴A∩B={x|0＜x＜4}，故選：C．7.已知點在曲線上，為曲線在點處的切線的傾斜角，則的取值范圍是（

）A.[0,)

B.

C.

D.參考答案：D8.設為定義在上的奇函數，當時，，則（

）

A.-1

B.-4

C.1

D.4參考答案：B9.“”是“”成立的

（A）充分不必要條件

（B）必要不充分條件

（C）充要條件

（D）既不充分也不必要條件參考答案：A10.函數在上的圖象是參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.平面向量，，滿足，，，，則的最小值為

．參考答案：略12.已知，分別為雙曲線，的左、右焦點，若在右支上存在

點，使得點到直線的距離為，則該雙曲線的離心率的取值范圍是

.參考答案：略13.閱讀右邊的框圖填空：若a＝0.80.3，b＝0.90.3，c＝log50.9，則輸出的數是___．參考答案：b(或0.90.3)略14.已知向量，若，則

．參考答案：，因為，所以，即，解得.15.若實數x，y滿足則的最大值為_____.參考答案：9如圖的三角區(qū)域是線性約束條件表示的區(qū)域，由，得，可見是直線與軸的截距，要使取到最大值，只需取最小值，又在線性約束條件的限制下，直線的斜率是-1，所以當直線過三角區(qū)域最右上方的點時，取到最大值：。16.在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，則BC=；若AD⊥BC，則AD=．參考答案：，

【考點】三角形中的幾何計算．【分析】利用余弦定理求BC，利用面積公式求出AD．【解答】解：∵AB=2，AC=3，∠A=60°，∴由余弦定理可得BC==，=，∴AD=，故答案為，．17.曲線：（為參數），若以點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，則該曲線的極坐標方程是

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=x2+（lga+2）x+lgb滿足f（﹣1）=﹣2且對于任意x∈R，恒有f（x）≥2x成立．（1）求實數a，b的值；（2）解不等式f（x）＜x+5．參考答案：考點：一元二次不等式的解法；二次函數的性質；函數最值的應用．專題：綜合題．分析：（1）由f（﹣1）=﹣2，代入函數解析式得到關于lga與lgb的等式記作①，化簡后得到關于a與b的等式記作②，又因為f（x）≥2x恒成立，把f（x）的解析式代入后，令△≤0得到關于lga與lgb的不等式，把①代入后得到關于lgb的不等式，根據平方大于等于0，即可求出b的值，把b的值代入②即可求出a的值；（2）由（1）求出的a與b的值代入f（x）的解析式中即可確定出f（x）的解析式，然后把f（x）的解析式代入到f（x）＜x+5中，得到關于x的一元二次不等式，求出一元二次不等式的解集即可．解答： 解（1）由f（﹣1）=﹣2知，lgb﹣lga+1=0①，所以②．又f（x）≥2x恒成立，f（x）﹣2x≥0恒成立，則有x2+x?lga+lgb≥0恒成立，故△=（lga）2﹣4lgb≤0，將①式代入上式得：（lgb）2﹣2lgb+1≤0，即（lgb﹣1）2≤0，故lgb=1即b=10，代入②得，a=100；（2）由（1）知f（x）=x2+4x+1，f（x）＜x+5，即x2+4x+1＜x+5，所以x2+3x﹣4＜0，解得﹣4＜x＜1，因此不等式的解集為{x|﹣4＜x＜1}．點評：此題考查學生掌握不等式恒成立時所滿足的條件，以及會求一元二次不等式的解集，是一道中檔題．19.（本小題共14分）已知拋物線過點．（I）求拋物線的方程；（II）已知圓心在軸上的圓過點，且圓在點的切線恰是拋物線在點的切線，求圓的方程；（Ⅲ）如圖，點為軸上一點，點是點關于原點的對稱點，過點作一條直線與拋物線交于兩點，若，證明:

．參考答案：所以

略20.（本小題滿分12分）已知（）的周期開為，且圖象上的一個最低點為M（，－1）。（1）求f（x）的解析式；（2）已知，求的值。參考答案：（1）由的周期為，則有，得；

………1分所以.因為函數圖像有一個最低點，，所以,且，

……3分則有

,

……………4分解得，

因為，所以.

………5分所以，

.

……………6分

………7分,,又,

.

………9分………11分=

………12分

21.設橢圓C：的左、右焦點分別為F1（﹣1，0），F2（1，0），上頂點為A，過A與AF2垂直的直線交x軸負半軸于Q點，且F1為QF2的中點．（1）求橢圓C的標準方程；（2）過F2的直線l與C交于不同的兩點M、N，則△F1MN的內切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】K4：橢圓的簡單性質．【分析】（1）根據題意，設F1、F2的坐標，可得Q點坐標以及向量、的坐標，分析可得，分析可得a、b的值，代入橢圓的方程即可得答案；（2）設M（x1，y1），N（x2，y2），由M、N的坐標表達△F1MN的面積，分析可得要使△F1MN內切圓的面積最大，只需R最大，此時也最大，進而設直線l的方程為x=my+1，與橢圓的方程聯(lián)立，結合根與系數的關系分析可得，由換元法分析可得答案．【解答】解：（1）由題A（0，b），F1為QF2的中點．設F1（﹣c，0），F2（c，0），則Q（﹣3c，0），，，由題，即，∴﹣3c2+（a2﹣c2）=0即a2=4c2，a2=4，b2=3故所求的橢圓C的方程為．（2）設M（x1，y1），N（x2，y2），由題y1，y2異號，設△F1MN的內切圓的半徑為R，則△F1MN的周長為4a=8，，因此要使△F1MN內切圓的面積最大，只需R最大，此時也最大，，由題知，直線l的斜率不為零，可設直線l的方程為x=my+1，由得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，由韋達定理得，，（△＞0?m∈R），令，則t≥1，，當t=1時，有最大值3，此時，m=0，，故△F1MN的內切圓的面積的最大值為，此時直線l的方程為x=1．【點評】本題考查橢圓的幾何性質，涉及直線與橢圓的位置關系，注意需要考慮直線的斜率是否為0．22.已知a∈R，函數f（x）=x2﹣a|x﹣1|．（Ⅰ）當a=1時，求函數f（x）的最小值；（Ⅱ）討論y=f（x）的圖象與y=|x﹣a|的圖象的公共點個數．參考答案：考點：二次函數的性質．專題：函數的性質及應用．分析：（Ⅰ）把絕對值函數化為分段函數，繼而求出函數的最小值；（Ⅱ）設h（x）=x2﹣a|x﹣1|﹣|x﹣a|，分a＞1，a=1，a＜1三種情況討論，其中a＞1，和a＜1時，還要繼續(xù)分類討論，根據二次函數的性質即可得到答案．解答： 解（Ⅰ）當a=1時，，故；（Ⅱ）設h（x）=x2﹣a|x﹣1|﹣|x﹣a|，當a＞1時，，1、x≥a時，h（a）=a＞0，對稱軸，無零點．1≤x＜a時，x1=0（舍去），x2=a﹣1，所以（?。゛≥2時，一個零點；（ⅱ）1＜a＜2時，x＜1時，△=a2+10a+1＞0，對稱軸，h（1）=2﹣a所以（?。゛≥2時，一個零點；（ⅱ）1＜a＜2時，兩個零點．綜上所述，a＞1時，h（x）有兩個零點，即y=f（x）的圖象與y=|x﹣a|的圖象的公共點有2個，2．a=1時，，即y=f（x）的圖象與y=|x﹣a|的圖象的公共點有2個，3．a＜1時，…x≥1時，對稱軸，h（1）=a．所以（?。゛≤0時，一個零點；（ⅱ）0＜a＜1時，無零點．a≤x＜1時，x1=0（舍去），x2=1﹣a，所以（?。r，一個零點；（ⅱ）時，無零點．x＜a時，△=a2+10a+1，對稱軸，h（a）=a（2a﹣1）所以（?。r，對稱軸，h（a）=a（2a