含絕對值一次方程的解法

含絕對值一次方程及方程組的解法、絕對值的代數(shù)和幾何意義。絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它本身；負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；零的絕對值是零。aa>0用字母表示為a=<0a=0一aa<0絕對值的幾何意義：表示這個數(shù)的點離開原點的距離。因此任何數(shù)的絕對值是非負(fù)數(shù)。根據(jù)絕對值的意義，我們可以得到：當(dāng)a>0時x=±aIx|=a當(dāng)a=0時x=0當(dāng)a<0時方程無解.、含絕對值的一次方程的解法(1)形如|ax+b\=c(aw0)型的絕對值方程的解法：①當(dāng)c<0時，根據(jù)絕對值的非負(fù)性，可知此時方程無解；b②當(dāng)c—0時，原方程變?yōu)?ax+b|=0,即ax+b—0，解得x=—；ac一b一c一b③當(dāng)c>0時，原方程變?yōu)閍x+b—c或ax+b——c,解得x—或x—.aa(2)形如|ax+b|—cx+d(acw0)型的絕對值方程的解法：①根據(jù)絕對值的非負(fù)性可知cx+d>0，求出x的取值范圍；②根據(jù)絕對值的定義將原方程化為兩個方程ax+b—cx+d和ax+b——(cx+d)；③分別解方程ax+b—cx+d和ax+b——(cx+d)；④將求得的解代入cx+d>0檢驗，舍去不合條件的解.(3)形如|ax+b|—|cx+d|(acw0)型的絕對值方程的解法：①根據(jù)絕對值的定義將原方程化為兩個方程ax+b—cx+d或ax+b——(cx+d)；②分別解方程ax+b—cx+d和ax+b——(cx+d).(4)形如|x—a|+|x—b|—c(a<b)型的絕對值方程的解法：①根據(jù)絕對值的幾何意義可知|x—a|+|x—b|>|a-b|；②當(dāng)c<|a—b|時，此時方程無解；當(dāng)c—|a—b|時，此時方程的解為a<x<b；當(dāng)c>a-耳時，分兩種情況：①當(dāng)％<a時，原方程的解為％="b二；②當(dāng)%>b時，原方程的解為2a+b+c(5)形如|a%+b|士|c%+d|=ex+f(ac豐0)型的絕對值方程的解法：①找絕對值零點：令|a%+b|=0，得％=%，令|cx+d\=0得%=%；②零點分段討論：不妨設(shè)%<%，將數(shù)軸分為三個區(qū)段，即①%<%:②%<%<%；12112③%>%；2③分段求解方程：在每一個區(qū)段內(nèi)去掉絕對值符號，求解方程并檢驗，舍去不在區(qū)段內(nèi)的解.(6)形如a%+b|+c%+d=e%+f(aw0)型的絕對值方程的解法：解法一：由內(nèi)而外去絕對值符號：按照零點分段討論的方式，由內(nèi)而外逐層去掉絕對值符號，解方程并檢驗，舍去不符合條件的解.解法二：由外而內(nèi)去絕對值符號：①根據(jù)絕對值的非負(fù)性可知e%+f>0，求出％的取值范圍；②根據(jù)絕對值的定義將原方程化為兩個絕對值方程|a%+b|=e%+f-(c%+d)和|a%+b|=-(e%+f)-(c%+d)；③解②中的兩個絕對值方程.三、熱身練習(xí)：1、求下列方程的解：(1)|x|=7；(2)5|x|=10；(3)|x|=0；(4)|x|=-3；(5)|3x|=9［例1］解方程(1)(2)3-I2x-1I+x=［例1］解方程(1)(2)3-I2x-1I+x=0解：|1-2x|+3-4=0三-3]|1-2x|=1=-(3+x)1-2x=1或1-2x=-1x1=0或x2=1解：|2x-1|=3+x[x2x-1=3+x或2x-1★當(dāng)方程中只含有一個絕對值時，可將絕對值看作一個整體來求解，再根據(jù)絕對值的定義去掉絕對值符號，最終達到解方程的目的。解含絕對值方程的總原則是設(shè)法去掉絕對值符號，化為一般方程。由絕對值的定義：可知，本題解法中，是先設(shè)法確定未知數(shù)的取值范圍，從而得到絕對值中部分的正、負(fù)取值，最終達到去絕對值符號的目的。【小試牛刀】1、|x-2|-2=02、-I1-3xI--=0343、4-2|5-x|=3x〖x1=4，x2=0〗-1—12-4x2=-5(舍)〗［例2］解方程|x-|2x+1||=3解：x-|2x+1|=3或x-|2x+1|=-3|2x+1|=x-3［x三3］或|2x+1|=x+3［x三-3］2x+1=x-3或2x+1=-（x-1）或2x+1=x+3或2x+1=-（x+3）TOC\o"1-5"\h\z…2.八4x=-4（舍）x=—（舍）x=2x=——233434???原方程的解為x=2,x=—123【小試牛刀】1、2+|3-|x+4||=2x15〖x=-（舍）,x=9（舍）,x=3,x=—-（舍）〗323432、|||x-1|-1|-1|-1=0〖x1=4,x2=-2,x3=2,x4=0〗［例3］解方程|3x-2|+|x+1|=10解：令3x-2=0,x=3,，令x+1=0,x=-1①當(dāng)x<-1時，②當(dāng)-1wx<3時③當(dāng)x三3時（3x-2）-（x+1）=10-（3x-2）+x+1=103x-2+x+1=103x+2-x-1=10-3x+2+x+1=103x+x=10+2-13x-x=10-2+1-3x+x=10-2-14x=11114x=9-2x=7；.x=—497人x=一x=——（舍）42911???原方程的解為x=—,x=-1424★由于零是正、負(fù)的分界點，因此解題中所用的分類方法常被稱為“零點”法。在解題時應(yīng)注意分段后各自求得的解是否在相應(yīng)的取值范圍內(nèi)，從而確定它是否是原方程真正的解?！拘≡嚺５丁?、|x-4|-|x+3|=21〖x=一〗22、15+|2x+3|-2|2-3x|=0113、|x-2|-3|x+1|=2x-9[思考]1、已知ab<0,且|a|=2,|b|=7,求a+b的值解：??1a|=2,.'.a=±2,*?|b|=7,.'.b=±7又,「ab<0,...a、b異號[2+(-7)=-5.a+b=<_[-2+7=5答：a+b=-5或a+b=52、已知|3x-2|+|2y+3|=0,求|x+y+1|的值解：：|3x-2|+|2y+3|=03、已知abc>3、已知abc>0,,abcab求—+——+—+———+IaIIbIIcIIabIbcacabc

++IbcIIacIIabcI的值解：?「abc>0???a、b、。為三正或二負(fù)一正①當(dāng)a>0,b>0,c>0時一，abcabbcacabc原式=-+7+—+-T+~i—+—+-i—=1+1+1+1+1+1+1=7abcabbcacabc②不訪設(shè)a<0,b<0,c>0abcabbcacabc原式=+--+—++—-—++—--=-1-1+1+1-1-1+一a一bcab一bc一acabc=-14、已知：|a|=a+1,|x|=2ax,求|x-1|-|x+1|+2的最小值與最大值解：:|a|=a+1；.a=a+1或a=-(a+1)，0-x=1(無解)或a=--又|x|=2ax；.|x|=-x,；.xW0令x-1=0,x=1,令x+1=0,x=-1①當(dāng)xW-1時|x-1|-|x+1|+2=-(x-1)+(x+1)+2=-x+1+4+1+2=4②當(dāng)-1<xW0時|x-1|-|x+1|+2=-(x-1)-(x+1)+2=-x+1-x-1+2

=-2x+2=答：|x-1|-|x+1|+2的最大值為4,最小值