期權(quán)組合的盈虧分布與期權(quán)定價(jià)的理論

第十三章期權(quán)的定價(jià)

第一節(jié)

期權(quán)價(jià)格的特性

一、

內(nèi)在價(jià)值和時(shí)間價(jià)值期權(quán)價(jià)格等于期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值加上時(shí)間價(jià)值。（一）期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值（IntrinsicValue）是指多方行使期權(quán)時(shí)可以獲得的收益的現(xiàn)值。歐式看漲期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值為(ST-X)的現(xiàn)值。無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值等于S-Xe-r(T-t),而有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值等于S-D-Xe-r(T-t)。無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)價(jià)格等于歐式看漲期權(quán)價(jià)格,其內(nèi)在價(jià)值也就等于S-Xe-r(T-t)。有收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值也等于S-D-Xe-r(T-t)。無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值為Xe-r(T-t)-S，有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值為Xe-r(T-t)+D-S。無收益資產(chǎn)美式期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值等于X-S，有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值等于X+D-S。當(dāng)然，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)市價(jià)低于協(xié)議價(jià)格時(shí)，期權(quán)多方是不會(huì)行使期權(quán)的，因此期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值應(yīng)大于等于0。（二）期權(quán)的時(shí)間價(jià)值期權(quán)的時(shí)間價(jià)值（TimeValue）是指在期權(quán)有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)為期權(quán)持有者帶來收益的可能性所隱含的價(jià)值。顯然，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率越高，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值就越大。此外，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值還受期權(quán)內(nèi)在價(jià)值的影響。以無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)為例，當(dāng)S=Xe-r(T-t)時(shí)，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值最大。當(dāng)S-Xe-r(T-t)的絕對(duì)值增大時(shí)，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值是遞減的，如圖13.1所示。二、

期權(quán)價(jià)格的影響因素（一）標(biāo)的資產(chǎn)的市場(chǎng)價(jià)格與期權(quán)的協(xié)議價(jià)格（二）期權(quán)的有效期

（三）標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率（四）無風(fēng)險(xiǎn)利率（五）標(biāo)的資產(chǎn)的收益三、期權(quán)價(jià)格的上、下限（一）期權(quán)價(jià)格的上限1．看漲期權(quán)價(jià)格的上限在任何情況下，期權(quán)的價(jià)值都不會(huì)超過標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格。因此，對(duì)于對(duì)于美式和歐式看跌期權(quán)來說，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格都是看漲期權(quán)價(jià)格的上限：

（13.1）其中，c代表歐式看漲期權(quán)價(jià)格，C代表美式看漲期權(quán)價(jià)格，S代表標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格。2．看跌期權(quán)價(jià)格的上限由于美式看跌期權(quán)多頭執(zhí)行期權(quán)的最高價(jià)值為協(xié)議價(jià)格（X），因此，美式看跌期權(quán)價(jià)格（P）的上限為X：

（13.2）

由于歐式看跌期權(quán)只能在到期日（T時(shí)刻）執(zhí)行，在T時(shí)刻，其最高價(jià)值為X，因此，歐式看跌期權(quán)價(jià)格（p）不能超過X的現(xiàn)值：

（13.3）其中，r代表T時(shí)刻到期的無風(fēng)險(xiǎn)利率，t代表現(xiàn)在時(shí)刻。（二）期權(quán)價(jià)格的下限1．歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下限（1）無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下限為了推導(dǎo)出期權(quán)價(jià)格下限，我們考慮如下兩個(gè)組合：組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為的現(xiàn)金；組合B：一單位標(biāo)的資產(chǎn)T時(shí)刻，組合A的價(jià)值為：

而組合B的價(jià)值為ST。由于，因此，在t時(shí)刻組合A的價(jià)值也應(yīng)大于等于組合B，即:c+Xe-r(T-t)≥S

所以c≥S-Xe-r(T-t)

由于期權(quán)的價(jià)值一定為正，因此無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格下限為（13.4）（2）有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下限我們只要將上述組合A的現(xiàn)金改為+D，并經(jīng)過類似的推導(dǎo)，就可得出有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下限為：

（13.5）

2．歐式看跌期權(quán)價(jià)格的下限（1）無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價(jià)格的下限考慮以下兩種組合：組合C：一份歐式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn)組合D：金額為的現(xiàn)金在T時(shí)刻，組合C的價(jià)值為：max（ST，X）假定組合D的現(xiàn)金以無風(fēng)險(xiǎn)利率投資，則在T時(shí)刻組合D的價(jià)值為X。由于組合C的價(jià)值在T時(shí)刻大于等于組合D，因此組合C的價(jià)值在t時(shí)刻也應(yīng)大于等于組合D，即：

由于期權(quán)價(jià)價(jià)值一定為為正，因此此無收益資資產(chǎn)歐式看看跌期權(quán)價(jià)價(jià)格下限為為：（13.6）（2）有收收益資產(chǎn)歐歐式看跌期期權(quán)價(jià)格的的下限我們只要將將上述組合合D的現(xiàn)金金改為+D就可得到有有收益資產(chǎn)產(chǎn)歐式看跌跌期權(quán)價(jià)格格的下限為為：（13.7）從以上分析析可以看出出，歐式期期權(quán)的下限限實(shí)際上就就是其內(nèi)在在價(jià)值。四、提前執(zhí)執(zhí)行美式期期權(quán)的合理理性（一）提前前執(zhí)行無收收益資產(chǎn)美美式期權(quán)的的合理性1．看漲期期權(quán)由于現(xiàn)金會(huì)會(huì)產(chǎn)生收益益，而提前前執(zhí)行看漲漲期權(quán)得到到的標(biāo)的資資產(chǎn)無收益益，再加上上美式期權(quán)權(quán)的時(shí)間價(jià)價(jià)值總是為為正的，因因此我們可可以直觀地地判斷提前前執(zhí)行是不不明智的。。為了精確地地推導(dǎo)這個(gè)個(gè)結(jié)論，我我們考慮如如下兩個(gè)組組合：組合A：一一份美式看看漲期權(quán)加加上金額為為的的現(xiàn)金組合B：一一單位標(biāo)的的資產(chǎn)T時(shí)刻組合合A的價(jià)值值為max（ST，X），而而組合B的的價(jià)值為ST，可見組合合A在T時(shí)時(shí)刻的價(jià)值值一定大于于等于組合合B。即如如果不提前前執(zhí)行，組組合A的價(jià)價(jià)值一定大大于等于組組合B。若在時(shí)時(shí)刻提提前執(zhí)行，，則此時(shí)組組合A的價(jià)價(jià)值為：，而組合B的價(jià)值為為。。由于因因此即：若提前前執(zhí)行美式式期權(quán)，組組合A的價(jià)價(jià)值將小于于組合B。。比較兩種情情況可得：：提前執(zhí)行行無收益資資產(chǎn)美式看看漲期權(quán)是是不明智的的。因此，，同一種無無收益標(biāo)的的資產(chǎn)的美美式看漲期期權(quán)和歐式式看漲期權(quán)權(quán)的價(jià)值是是相同的，，即：C=c（（13.8）根據(jù)（13.4），，我們可以以得到無收收益資產(chǎn)美美式看漲期期權(quán)價(jià)格的的下限：（13.9）2．看跌期期權(quán)為考察提前前執(zhí)行無收收益資產(chǎn)美美式看跌期期權(quán)是否合合理，我們們考察如下下兩種組合合：組合A：一一份美式看看跌期權(quán)加加上一單位位標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)組合B：金金額為的的現(xiàn)金若不提前執(zhí)執(zhí)行，則到到T時(shí)刻，，組合A的的價(jià)值為max（X，ST），組合B的價(jià)值為為X，組合合A的價(jià)值值大于等于于組合B。。若在t時(shí)刻刻提前執(zhí)行行，則組合合A的價(jià)值值為X，組組合B的價(jià)價(jià)值為Xe-(T-ττ)，因此組合合A的價(jià)值值也高于組組合B。故：是否提提前執(zhí)行無無收益資產(chǎn)產(chǎn)的美式看看跌期權(quán)，，主要取決決于期權(quán)的的實(shí)值額（（X-S））、無風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)利率水平平等因素。。一般來說說，只有當(dāng)當(dāng)S相對(duì)于于X來說較較低，或者者r較高時(shí)時(shí)，提前執(zhí)執(zhí)行無收益益資產(chǎn)美式式看跌期權(quán)權(quán)才可能是是有利的。。由于美式期期權(quán)可提前前執(zhí)行，因因此其下限限比（13.6）更更嚴(yán)格：（13.10）（二）提提前執(zhí)行有有收益資產(chǎn)產(chǎn)美式期權(quán)權(quán)的合理性性1．看漲期期權(quán)由于在無收收益的情況況下，不應(yīng)應(yīng)提前執(zhí)行行美式看漲漲期權(quán)，據(jù)據(jù)此可知：：在有收益益情況下，，只有在除除權(quán)前的瞬瞬時(shí)時(shí)刻提提前執(zhí)行美美式看漲期期權(quán)方有可可能是最優(yōu)優(yōu)的。我們先來考考察在最后后一個(gè)除權(quán)權(quán)日（tn）提前執(zhí)行行的條件。。如果在tn時(shí)刻提前執(zhí)執(zhí)行，則期期權(quán)多方獲獲得Sn-X的收益益。若不提提前執(zhí)行，，則標(biāo)的資資產(chǎn)價(jià)格將將由于除權(quán)權(quán)降到Sn-Dn。根據(jù)式（13.5）），在tn時(shí)刻期權(quán)的的價(jià)值（Cn）因此，如果果：即：（13.11）則在tn提前執(zhí)行是是不明智的的。相反，如果果（13.12）則在tn提前執(zhí)行有有可能是合合理的。實(shí)實(shí)際上，只只有當(dāng)tn時(shí)刻標(biāo)的資資產(chǎn)價(jià)格足足夠大時(shí)，，提前執(zhí)行行美式看漲漲期權(quán)才是是合理的。。同樣，在ti時(shí)刻不能提提前執(zhí)行有有收益資產(chǎn)產(chǎn)的美式看看漲期權(quán)條條件是：（13.13）由于存在提提前執(zhí)行更更有利的可可能性，有有收益資產(chǎn)產(chǎn)的美式看看漲期權(quán)價(jià)價(jià)值大于等等于歐式看看漲期權(quán)，，其下限為為：（13.14）2．看跌期期權(quán)由于提前執(zhí)執(zhí)行有收益益資產(chǎn)的美美式期權(quán)意意味著自己己放棄收益益權(quán)，因此此收益使美美式看跌期期權(quán)提前執(zhí)執(zhí)行的可能能性變小，，但還不能能排除提前前執(zhí)行的可可能性。通過同樣的的分析，我我們可以得得出美式看看跌期權(quán)不不能提前執(zhí)執(zhí)行的條件件是：由于美式看看跌期權(quán)有有提前執(zhí)行行的可能性性，因此其其下限為：：（13.15）五、期權(quán)價(jià)價(jià)格曲線的的形狀（一）看漲漲期權(quán)價(jià)格格曲線無收益資產(chǎn)產(chǎn)看漲期權(quán)權(quán)價(jià)格曲線線如圖13-2所示示。有收益資產(chǎn)產(chǎn)看漲期權(quán)權(quán)價(jià)格曲線線與圖13.2類似，只是是把Xe-r(T-t)換成Xe-r(T-t)+D。（二）看跌跌期權(quán)價(jià)格格曲線1．歐式看看跌期權(quán)價(jià)價(jià)格曲線無收益資產(chǎn)產(chǎn)歐式看跌跌期權(quán)價(jià)格格曲線如圖圖13-3所示。圖13.3無收收益資產(chǎn)歐歐式看跌期期權(quán)價(jià)格曲曲線有收益資產(chǎn)產(chǎn)期權(quán)價(jià)格格曲線與圖圖13.3相似，只只是把換為2．美式看看跌期權(quán)價(jià)價(jià)格曲線無收益資產(chǎn)產(chǎn)美式看跌跌期權(quán)價(jià)格格曲線如圖圖13-4所示。有收益美式式看跌期權(quán)權(quán)價(jià)格曲線線與圖13.4相似似，只是把把X換成D+X。六、看漲期期權(quán)與看跌跌期權(quán)之間間的平價(jià)關(guān)關(guān)系（一）歐式式看漲期權(quán)權(quán)與看跌期期權(quán)之間的的平價(jià)關(guān)系系1．無收益益資產(chǎn)的歐歐式期權(quán)考慮如下兩兩個(gè)組合：：組合A：一一份歐式看看漲期權(quán)加加上金額為為的的現(xiàn)金組合B：一一份有效期期和協(xié)議價(jià)價(jià)格與看漲漲期權(quán)相同同的歐式看看跌期權(quán)加加上一單位位標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)在期權(quán)到期期時(shí)，兩個(gè)個(gè)組合的價(jià)價(jià)值均為max(ST,X)。由由于歐式期期權(quán)不能提提前執(zhí)行，，因此兩組組合在時(shí)刻刻t必須具具有相等的的價(jià)值，即即：（13.16）這就是無收收益資產(chǎn)歐歐式看漲期期權(quán)與看跌跌期權(quán)之間間的平價(jià)關(guān)關(guān)系。它表表明歐式看看漲期權(quán)的的價(jià)值可根根據(jù)相同協(xié)協(xié)議價(jià)格和和到期日的的歐式看跌跌期權(quán)的價(jià)價(jià)值推導(dǎo)出出來，反之之亦然。如果式（13.16）不成立立，則存在在無風(fēng)險(xiǎn)套套利機(jī)會(huì)。。套利活動(dòng)動(dòng)將最終促促使式（13.16）成立。。2．有收益益資產(chǎn)歐式式期權(quán)在標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)有收益的的情況下，，我們只要要把前面的的組合A中中的現(xiàn)金改改為+D，我我們就可推推導(dǎo)有收益益資產(chǎn)歐式式看漲期權(quán)權(quán)和看跌期期權(quán)的平價(jià)價(jià)關(guān)系：（13.17）（二）美式式看漲期權(quán)權(quán)和看跌期期權(quán)之間的的關(guān)系1．無收益益資產(chǎn)美式式期權(quán)。由于P>p,從式（（13.16）中我我們可得：：對(duì)于無收益益資產(chǎn)看漲漲期權(quán)來說說，由于c=C，因因此：（13.18）為了推出C和P更嚴(yán)密的關(guān)關(guān)系，我們們考慮以下下兩個(gè)組合合：組合A：一一份歐式看看漲期權(quán)加加上金額為為X的現(xiàn)金金組合B：一一份美式看看跌期權(quán)加加上一單位位標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)如果美式期期權(quán)沒有提提前執(zhí)行，，則在T時(shí)時(shí)刻組合B的價(jià)值為為max(ST,X)，而而此時(shí)組合合A的價(jià)值值為。因此此組合A的的價(jià)值大于于組合B。。如果美式期期權(quán)在τ時(shí)刻提前執(zhí)執(zhí)行，則在在τ時(shí)刻，組合合B的價(jià)值值為X，而而此時(shí)組合合A的價(jià)值值大于等于于X。因此此組合A的的價(jià)值也大大于組合B。這就是說，，無論美式式組合是否否提前執(zhí)行行，組合A的價(jià)值都都高于組合合B，因此此在t時(shí)刻刻，組合A的價(jià)值也也應(yīng)高于組組合B，即即：C+X>P+S由于c=C，因此，，C+X>P+SC-P>S-X結(jié)合式（13.18），我們們可得：（13.19）由于美式期期權(quán)可能提提前執(zhí)行，，因此我們們得不到美美式看漲期期權(quán)和看跌跌期權(quán)的精精確平價(jià)關(guān)關(guān)系，但我我們可以得得出結(jié)論：：無收益美美式期權(quán)必必須符合式式（13.19）的的不等式。。2．有收益益資產(chǎn)美式式期權(quán)同樣，我們們只要把組組合A的現(xiàn)現(xiàn)金改為D+X，就就可得到有有收益資產(chǎn)產(chǎn)美式期權(quán)權(quán)必須遵守守的不等式式：S-D-XC-PS-D-Xe-r（T-t）（13.20）第二二節(jié)節(jié)期期權(quán)權(quán)組組合合的的盈盈虧虧分分布布期權(quán)交易的精精妙之處在于于可以通過不不同的期權(quán)品品種構(gòu)成眾多多具有不同盈盈虧分布特征征的組合。投資者可以根根據(jù)各自對(duì)未未來標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)現(xiàn)貨價(jià)格概概率分布的預(yù)預(yù)期，以及各各自的風(fēng)險(xiǎn)--收益偏好，選選擇最適合自自己的期權(quán)組組合。在以下的分析析中同組合中中的期權(quán)標(biāo)的的資產(chǎn)均相同同。一、標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)與期權(quán)組合合通過組建標(biāo)的的資產(chǎn)與各種種期權(quán)頭寸的的組合，我們們可以得到與與各種期權(quán)頭頭寸本身的盈盈虧圖形狀相相似但位置不不同的盈虧圖圖，如圖13.5表示。。圖13.5（（a）反映了了標(biāo)的資產(chǎn)多多頭與看漲期期權(quán)空頭組合合的盈虧圖，，該組合稱為為有擔(dān)保的看看漲期權(quán)（CoveredCall）空頭。。標(biāo)的資產(chǎn)空空頭與看漲期期權(quán)多頭組合合的盈虧圖，，與有擔(dān)保的的看漲期權(quán)空空頭剛好相反反。圖13.5（b）反映了標(biāo)的的資產(chǎn)多頭與與看跌期權(quán)多多頭組合的盈盈虧圖，標(biāo)的的資產(chǎn)空頭與與看跌期權(quán)空空頭組合的盈盈虧圖剛好相相反。從圖13.5可以看出,組合的盈虧曲曲線可以直接接由構(gòu)成這個(gè)個(gè)組合的各種種資產(chǎn)的盈虧虧曲線疊加而而來。二、差價(jià)組合差價(jià)（Spreads））組合是指持持有相同期限限、不同協(xié)議議價(jià)格的兩個(gè)個(gè)或多個(gè)同種種期權(quán)頭寸組組合（即同是是看漲期權(quán)，，或者同是看看跌期權(quán)），，其主要類型型有牛市差價(jià)價(jià)組合、熊市市差價(jià)組合、、蝶式差價(jià)組組合等。1．牛市差價(jià)（BullSpreads）組合。。牛市差價(jià)組合合是由一份看看漲期權(quán)多頭頭與一份同一一期限較高協(xié)協(xié)議價(jià)格的看看漲期權(quán)空頭頭組成。由于于協(xié)議價(jià)格越越高，期權(quán)價(jià)價(jià)格越低，因因此構(gòu)建這個(gè)個(gè)組合需要初初始投資。牛市差價(jià)組合合牛市差價(jià)組合合在不同情況況下的盈虧可可用表13.2表示。表13.2牛市差價(jià)期權(quán)權(quán)的盈虧狀況況表13.2結(jié)果可用圖13.6表示，從圖可可看出，到期期日現(xiàn)貨價(jià)格格升高對(duì)組合合持有者較有有利，故稱牛牛市差價(jià)組合合。標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格范圍

看漲期權(quán)多頭的盈虧

看漲期權(quán)空頭的盈虧

總盈虧

STX2ST―X1―c1X2―ST+c2X2―X1+c2―c1X1<ST<X2ST―X1―c1c2ST―X1+c2―c1STX1-c1c2c2―c1

通過比較標(biāo)的的資產(chǎn)現(xiàn)價(jià)與與協(xié)議價(jià)格的的關(guān)系，我們們可以把牛市市差價(jià)期權(quán)分分為三類：兩虛值期權(quán)組組合，指兩個(gè)個(gè)協(xié)議價(jià)格均均比現(xiàn)貨價(jià)格格高；多頭實(shí)值期權(quán)權(quán)加空頭虛值值期權(quán)組合，，指多頭期權(quán)權(quán)的協(xié)議價(jià)格格比現(xiàn)貨價(jià)格格低，而空頭頭期權(quán)的協(xié)議議價(jià)格比現(xiàn)貨貨價(jià)格高；兩實(shí)值期權(quán)組組合，指兩個(gè)個(gè)協(xié)議價(jià)格均均比現(xiàn)貨價(jià)格格低。此外，一份看看跌期權(quán)多頭頭與一份同一一期限、較高高協(xié)議價(jià)格的的看跌期權(quán)空空頭組合也是是牛市差價(jià)組組合，如圖13.7所示示。比較看漲期權(quán)權(quán)的牛市差價(jià)價(jià)與看跌期權(quán)權(quán)的牛市差價(jià)價(jià)組合可以看看，前者期初初現(xiàn)金流為負(fù)負(fù)，后者為正正，但前者的的最終收益可可能大于后者者。2．熊市差價(jià)組合合熊市差價(jià)（BearSpreads）組合剛好跟跟牛市差價(jià)組組合相反，它它可以由一份份看漲期權(quán)多多頭和一份相相同期限、協(xié)協(xié)議價(jià)格較低低的看漲期權(quán)權(quán)空頭組成（看漲期權(quán)的熊市差價(jià)組合和看跌期權(quán)的熊市差價(jià)組合的差別在于，前者在期初有正的現(xiàn)金流，后者在期初則有負(fù)的現(xiàn)金流，但后者的最終收益可能大于前者。通過比較牛市和熊市差價(jià)組合可以看出，對(duì)于同類期權(quán)而言，凡“買低賣高”的即為牛市差價(jià)策略，而“買高賣低”的即為熊市差價(jià)策略，這里的“低”和“高”是指協(xié)議價(jià)格。兩者的圖形剛好與X軸對(duì)稱。3．蝶式差價(jià)組合合蝶式差價(jià)（ButterflySpreads）組合是是由四份具有有相同期限、、不同協(xié)議價(jià)價(jià)格的同種期期權(quán)頭寸組成成。若X1<X2<X3，且X2=（X1+X3）/2，則蝶蝶式差價(jià)組合合有如下四種種：看漲期權(quán)的正正向蝶式差價(jià)價(jià)組合，它由由協(xié)議價(jià)格分分別為X1和X3的看漲期權(quán)多多頭和兩份協(xié)協(xié)議價(jià)格為X2的看漲期權(quán)空空頭組成，其其盈虧分布圖圖如圖13.10所示；；看漲期權(quán)的反反向蝶式差價(jià)價(jià)組合，它由由協(xié)議價(jià)格分分別為X1和X3的看漲期權(quán)空空頭和兩份協(xié)協(xié)議價(jià)格為X2的看漲期權(quán)多多頭組成，其其盈虧圖剛好好與圖13.10相反反；看跌期權(quán)的正正向蝶式差價(jià)價(jià)組合，它由由協(xié)議價(jià)格分分別為X1和X3的看跌期權(quán)多多頭和兩份協(xié)協(xié)議價(jià)格為X2的看跌期權(quán)空空頭組成，其其盈虧圖如圖圖13.11所示?？吹跈?quán)的反反向蝶式差價(jià)價(jià)組合，它由由協(xié)議價(jià)格分分別為X1和X3的看跌期權(quán)空空頭和兩份協(xié)協(xié)議價(jià)格為X2的看跌期權(quán)多多頭組成，其其盈虧圖與圖圖13.11剛好相反。。圖13.10看漲期權(quán)權(quán)的正向蝶式式差價(jià)組合圖圖13.11看跌期期權(quán)的正向蝶蝶式差價(jià)組合合三、差期組合差期（CalendarSpreads）組組合是由兩份份相同協(xié)議價(jià)價(jià)格、不同期期限的同種期期權(quán)的不同頭頭寸組成的組組合。它有四四種類型：一份看漲期權(quán)權(quán)多頭與一份份期限較短的的看漲期權(quán)空空頭的組合，，稱看漲期權(quán)權(quán)的正向差期期組合。一份看漲期權(quán)權(quán)多頭與一份份期限較長(zhǎng)的的看漲期權(quán)空空頭的組合，，稱看漲期權(quán)權(quán)的反向差期期組合。一份看跌期權(quán)權(quán)多頭與一份份期限較短的的看跌期權(quán)空空頭的組合，，稱看跌期權(quán)權(quán)的正向差期期組合。一份看跌期權(quán)權(quán)多頭與一份份期限較長(zhǎng)的的看跌期權(quán)空空頭的組合，，稱看跌期權(quán)權(quán)的反向差期期組合?？礉q期權(quán)的正正向差期組合合的盈虧分布布情況見表13.3。表13.3看看漲期權(quán)的正正向差期組合合的盈虧狀況況根據(jù)表13.3，我們可以畫畫出看漲期權(quán)權(quán)正向差期組組合的盈虧分分布圖如圖13.12所示。ST的范圍

看漲期權(quán)多頭的盈虧

看漲期權(quán)空頭的盈虧

總盈虧

ST趨近ST―X―c1X―ST+c2趨近c(diǎn)2―c1ST=Xc1T―c1c2c2―c1+c1TST0趨近-c1c2

趨近c(diǎn)2―c1

用同樣的分析析法我們可以以畫出看跌期期權(quán)正向差期期組合的盈虧虧分布圖如圖圖13.13所示。看跌期期權(quán)反向差期期組合的盈虧虧分布圖正好好與圖13.13相反，也從略略。四、對(duì)角組合合對(duì)角組合（DiagonalSpreads）是指由兩兩份協(xié)議價(jià)格格不同（X1和X2，且X1<X2）、期限也不不同（T和T*，且T<T*）的同種期權(quán)權(quán)的不同頭寸寸組成。它有有八種類型：：1．看漲期權(quán)的（（X1，T*）多頭加（X2，T）空頭組組合。表13.4看看漲期權(quán)權(quán)的正向差價(jià)價(jià)和差期組合合根據(jù)表13.4，我們可可以畫出看漲漲期權(quán)的正向向差價(jià)和差期期組合的盈虧虧分布圖如圖圖13.14所示。2.看漲期權(quán)權(quán)的（X1，T*）空頭加（X2，T）多頭組合。。其盈虧圖與與圖13.14剛好相反ST的范圍(X1,T*)多頭的盈虧(X2,T)空頭的盈虧

總盈虧

ST趨近于ST―X1―c1X2―ST+c2趨近X2―X1+c2－c1ST=X2X2―X1+c1T―c1c2X2―X1+c2―c1+c1TST0趨近-c1c2

趨近c(diǎn)2―c1

3.看漲期權(quán)的（（X2，T*）多頭加（X1，T）空頭組合。。4.看漲漲期權(quán)的（X2，T*）空頭頭加（X1，T）多頭組組合，其盈虧虧分布圖與圖圖13.15剛好相反。。5.看跌期權(quán)的（（X1，T*）多頭頭加（X2，T）空頭組組合，其盈虧虧圖如圖13.16所示示。6.看跌期權(quán)的（（X1，T*）空頭頭加（X2，T）多頭組組合，其盈虧虧圖與圖13.16剛好好相反。7.看跌期權(quán)的（（X2，T*）多頭頭加（X1，T）空頭組組合，其盈虧虧圖如圖13.17所示示。8.看跌期權(quán)的（（X2，T*）空頭加（X1，T）多頭組合，，其盈虧圖與與圖13.17剛好相反。五、混合期權(quán)權(quán)1．跨式組合（Straddle）：由由具有相同協(xié)協(xié)議價(jià)格、相相同期限的一一份看漲期權(quán)權(quán)和一份看跌跌期權(quán)組成。。跨式組合分分為兩種：底底部跨式組合合和頂部跨式式組合。前者者由兩份多頭頭組成，后者者由兩份空頭頭組成。底部跨式組合合的盈虧圖如如圖13.18所示，頂頂部跨式組合合的盈虧圖與與圖13.18剛好相反反。2．條式組合和帶帶式組合條式組合（Strip））由具有相同同協(xié)議價(jià)格、、相同期限的的一份看漲期期權(quán)和兩份看看跌期權(quán)組成成。條式組合合也分底部和和頂部?jī)煞N，，前者由多頭頭構(gòu)成，后者者由空頭構(gòu)成成。底部條式組合合的盈虧圖如如圖13.19所示，頂頂部條式組合合的盈虧圖剛剛好相反。帶式組合（Strap））由具有相同同協(xié)議價(jià)格、、相同期限的的資產(chǎn)的兩份份看漲期權(quán)和和一份看跌期期權(quán)組成，帶帶式組合也分分底部和預(yù)部部?jī)煞N，前者者由多頭構(gòu)成成，后者由空空頭構(gòu)成。底部帶式組合合的盈虧圖如如圖13.20所示，頂頂部帶式組合合的盈虧圖剛剛好相反。3．寬跨式組合。。寬跨式組合（（Strangle）由由相同到期日日但協(xié)議價(jià)格格不同的一份份看漲期權(quán)和和一份看跌期期權(quán)組成，其其中看漲期權(quán)權(quán)的協(xié)議價(jià)格格高于看跌期期權(quán)。寬跨式式組合也分底底部和頂部，，前者由多頭頭組成，后者者由空頭組成成。前者的盈盈虧圖如圖13.21所所示。后者的的盈虧圖剛好好相反。第三節(jié)期權(quán)定價(jià)的理理論基礎(chǔ)一、弱式效率率市場(chǎng)假說與與馬爾可夫過過程1965年，，法瑪（EFFama）提提出了著名的的效率市場(chǎng)假假說。該假說說認(rèn)為，投資資者都力圖利利用可獲得的的信息獲得更更高的報(bào)酬；；證券價(jià)格對(duì)對(duì)新的市場(chǎng)信信息的反應(yīng)是是迅速而準(zhǔn)確確的，證券價(jià)價(jià)格能完全反反映全部信息息；市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)爭(zhēng)使證券價(jià)格格從一個(gè)均衡衡水平過渡到到另一個(gè)均衡衡水平，而與與新信息相應(yīng)應(yīng)的價(jià)格變動(dòng)動(dòng)是相互獨(dú)立立的，或稱隨隨機(jī)的，因此此效率市場(chǎng)假假說又稱隨機(jī)機(jī)漫步理論。。效率市場(chǎng)假說說可分為三類類：弱式、半半強(qiáng)式和強(qiáng)式式。弱式效率市場(chǎng)場(chǎng)假說認(rèn)為，，證券價(jià)格變變動(dòng)的歷史不不包含任何對(duì)對(duì)預(yù)測(cè)證券價(jià)價(jià)格未來變動(dòng)動(dòng)有用的信息息，也就是說說不能通過技技術(shù)分析獲得得超過平均收收益率的收益益。半強(qiáng)式效率市市場(chǎng)假說認(rèn)為為，證券價(jià)格格會(huì)迅速、準(zhǔn)準(zhǔn)確地根據(jù)可可獲得的所有有公開信息調(diào)調(diào)整，因此以以往的價(jià)格格和成交量等等技術(shù)面信息息以及已公布布的基本面信信息都無助于于挑選出價(jià)格格被高估或低低估的證券。。強(qiáng)式效率市場(chǎng)場(chǎng)假說認(rèn)為，，不僅是已公公布的信息，，而且是可能能獲得的有關(guān)關(guān)信息都已反反映在股價(jià)中中，因此任何何信息（包括括“內(nèi)幕信息息”）對(duì)挑選選證券都沒有有用處。效率市場(chǎng)假說說提出后，許許多學(xué)者運(yùn)用用各種數(shù)據(jù)對(duì)對(duì)此進(jìn)行了實(shí)實(shí)證分析。結(jié)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，發(fā)發(fā)達(dá)國家的證證券市場(chǎng)大體體符合弱式效效率市場(chǎng)假說說。弱式效率市場(chǎng)場(chǎng)假說可用馬馬爾可夫隨機(jī)機(jī)過程（MarkovStochasticProcess）來來表述。所謂隨機(jī)過程程是指某變量量的值以某種種不確定的方方式隨時(shí)間變變化的過程。。根據(jù)時(shí)間是是否連續(xù)，隨隨機(jī)過程可分分為離散時(shí)間間隨機(jī)過程和和連續(xù)時(shí)間隨隨機(jī)過程，前前者是指變量量只能在某些些分離的時(shí)間間點(diǎn)上變化的的過程，后者者指變量可以以在連續(xù)的時(shí)時(shí)間段變化的的過程。根據(jù)據(jù)變量取值范范圍是否連續(xù)續(xù)劃分，隨機(jī)機(jī)過程可分為為離散變量隨隨機(jī)過程和連連續(xù)變量隨機(jī)機(jī)過程，前者者指變量只能能取某些離散散值，而后者者指變量可以以在某一范圍圍內(nèi)取任意值值。馬爾可夫過程程是一種特殊殊類型的隨機(jī)機(jī)過程。在這這個(gè)過程中，，只有變量的的當(dāng)前值才與與未來的預(yù)測(cè)測(cè)有關(guān)，變量量過去的歷史史和變量從過過去到現(xiàn)在的的演變方式與與未來的預(yù)測(cè)測(cè)無關(guān)。（一）標(biāo)準(zhǔn)布布朗運(yùn)動(dòng)設(shè)代代表一個(gè)個(gè)小的時(shí)間間間隔長(zhǎng)度，代代表變量z在在時(shí)間內(nèi)的變化化，遵循標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的的具有兩種特特征：特征1：和和的的關(guān)系滿滿足＝（（13.21）特征2：對(duì)于于任何兩個(gè)不不同時(shí)間間隔隔，，的值相相互獨(dú)獨(dú)立。。從特征征1可可知，，本本身身也具具有正正態(tài)分分布特特征，，其均均值為為0，，標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差為為，，方差差為。。從特征征2可可知，，標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)布朗朗運(yùn)動(dòng)動(dòng)符合合馬爾爾可夫夫過程程，因因此是是馬爾爾可夫夫過程程的一一種特特殊形形式?！，F(xiàn)在我我們來來考察察遵循循標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)布朗朗運(yùn)動(dòng)動(dòng)的變變量z在一一段較較長(zhǎng)時(shí)時(shí)間T中的的變化化情形形。我我們用用z（（T））－z(0)表表示變變量z在T中的的變化化量，，它可可被看看作是是在N個(gè)長(zhǎng)長(zhǎng)度為為的的小時(shí)時(shí)間間間隔中中z的的變化化總量量，其其中N=T/，，因因此，，（13.22））其中(i=1，2，………N）是是標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正態(tài)態(tài)分布布的隨隨機(jī)抽抽樣值值。從從特征征2可可知，，是相相互獨(dú)獨(dú)立的的，因因此z（T）-z（（0））也具具有正正態(tài)分分布特特征，，其均均值為為0，，方差差為Nt=T，，標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差為為。。由此我我們可可以發(fā)發(fā)現(xiàn)兩兩個(gè)特特征：：在任意意長(zhǎng)度度的時(shí)時(shí)間間間隔T中，，遵循循標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)布朗朗運(yùn)動(dòng)動(dòng)的變變量的的變化化值具具有均均值為為0，，標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差為為的正正態(tài)分分布。。對(duì)于相相互獨(dú)獨(dú)立的的正態(tài)態(tài)分布布，方方差具具有可可加性性，而而標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差不不具有有可加加性。。當(dāng)0時(shí)，，我們們就可可以得得到極極限的的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)布朗朗運(yùn)動(dòng)動(dòng)：（13.23））（二））普通通布朗朗運(yùn)動(dòng)動(dòng)為了得得到普普通的的布朗朗運(yùn)動(dòng)動(dòng)，我我們必必須引引入兩兩個(gè)概概念：：漂移移率和和方差差率。。漂移移率（（DriftRate）是指指單位位時(shí)間間內(nèi)變變量z均值的的變化化值。。方差差率（（VarianceRate）是指指單位位時(shí)間間的方方差。。標(biāo)準(zhǔn)布布朗運(yùn)運(yùn)動(dòng)的的漂移移率為為0，方差差率為為1.0。漂移移率為為0意味著著在未未來任任意時(shí)時(shí)刻z的均值值都等等于它它的當(dāng)當(dāng)前值值。方方差率率為1.0意味著著在一一段長(zhǎng)長(zhǎng)度為為T的時(shí)間間段后后，z的方差差為1.0T。我們們令漂漂移率率的期期望值值為a,方差率率的期期望值值為b2，就可可得到到變量量x的普通通布朗朗運(yùn)動(dòng)動(dòng)：從式（（13.21））和（（13.24））可知知，在在短時(shí)時(shí)間后后，x值的的變化化值為為：因此，，Δx也具有有正態(tài)態(tài)分布布特征征，其其均值值為，，標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差為為，，方差差為。。同樣樣，在在任意意時(shí)間間長(zhǎng)度度T后x值的變變化也也具有有正態(tài)態(tài)分布布特征征，其其均值值為aT，標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差為為，，方方差為為b2T。三、證證券價(jià)價(jià)格的的變化化過程程證券價(jià)價(jià)格的的變化化過程程可以以用普普遍布布朗運(yùn)運(yùn)動(dòng)來來描述述。但但由于于投資資者關(guān)關(guān)心的的是證證券價(jià)價(jià)格的的變動(dòng)動(dòng)幅度度而不不是變變動(dòng)的的絕對(duì)對(duì)值，，因此此我們們可以以用證證券價(jià)價(jià)格比比例的的方式式來定定義證證券價(jià)價(jià)格的的布朗朗運(yùn)動(dòng)動(dòng)：（13.25））其中S表示示證券券價(jià)格格，μμ表示示證券券在單單位時(shí)時(shí)間內(nèi)內(nèi)以連連續(xù)復(fù)復(fù)利計(jì)計(jì)算的的期望望收益益率（（又稱稱預(yù)期期收益益率）），表表示示證券券收益益率單單位時(shí)時(shí)間的的方差差，表表示示證券券收益益率單單位時(shí)時(shí)間的的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差，，簡(jiǎn)稱稱證券券價(jià)格格的波波動(dòng)率率（Volatility）），dz遵遵循標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)布布朗運(yùn)運(yùn)動(dòng)。。從（13.21）和和上式式可知知，在在短時(shí)時(shí)間后后，，證券券價(jià)格格比率率的變變化值值為：：則可得得（13.26）我們將將在下下文證證明，，衍生生證券券的定定價(jià)與與標(biāo)的的資產(chǎn)產(chǎn)的預(yù)預(yù)期收收益率率是無無關(guān)的的。相相反，，證券券價(jià)格格的波波動(dòng)率率對(duì)于于衍生生證券券的定定價(jià)則則是相相當(dāng)重重要的的。應(yīng)該注注意的的是，，由于于比例例變化化不具具有可可加性性，因此此我們們并不不能象象以前前一樣樣推導(dǎo)導(dǎo)出在在任意意時(shí)間間長(zhǎng)度度T后后證券券價(jià)格格比例例變化化的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差差為。。四、伊伊藤過過程和和伊藤藤引理理普通布布朗運(yùn)運(yùn)動(dòng)假假定漂漂移率率和方方差率率為常常數(shù)，，若把把變量量x的漂移移率和和方差差率當(dāng)當(dāng)作變變量x和時(shí)間間t的函數(shù)數(shù)，我我們可可以從從公式式（13.24）得到到伊藤藤過程程（ItoProcess）：（13.27）其中，，dz是一個(gè)個(gè)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)布朗朗運(yùn)動(dòng)動(dòng)，a、b是變量量x和t的函數(shù)數(shù)，變變量x的漂移移率為為a，方差差率為為b2。在伊藤藤過程程的基基礎(chǔ)上上，伊伊藤進(jìn)進(jìn)一步步推導(dǎo)導(dǎo)出：：若變變量x遵循循伊藤藤過程程，則則變量量x和和t的的函數(shù)數(shù)G將將遵循循如下下過程程：（13.28）公式（（13.28））就是是著名名的伊伊藤引引理。。從式（（13.25））中，，我們們可得得：（13.29）我們知知道，，衍生生證券券的價(jià)價(jià)格是是標(biāo)的的證券券價(jià)格格S和和時(shí)間間t的的函數(shù)數(shù)。根根據(jù)伊伊藤引引理，，衍生生證券券的價(jià)價(jià)格G應(yīng)遵遵循如如下過過程：：（13.30）比較式式（13.29）和(13.30)可看出出，衍衍生證證券價(jià)價(jià)格G和標(biāo)的的證券券價(jià)格格S都受受同同一一個(gè)個(gè)基基本本的的不不確確定定性性來來源源dz的影影響響，，這這點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)于于以以后后推推導(dǎo)導(dǎo)衍衍生生證證券券的的定定價(jià)價(jià)公公式式很很重重要要。。五、、證證券券價(jià)價(jià)格格自自然然對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)變變化化過過程程我們們可可用用伊伊藤藤引引理理來來推推導(dǎo)導(dǎo)證證券券價(jià)價(jià)格格自自然然對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)lnS變化化所所遵遵循循的的隨隨機(jī)機(jī)過過程程。。令我們們就就可可得得出出證證券券價(jià)價(jià)格格對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)G所遵遵循循的的隨隨機(jī)機(jī)過過程程為為：：令t時(shí)刻刻G的值值為為lnS，T時(shí)刻刻G的值值為為lnST，其其中中S表示示t時(shí)刻刻（（當(dāng)當(dāng)前前時(shí)時(shí)刻刻））的的證證券券價(jià)價(jià)格格，，ST表示T時(shí)刻（將將來時(shí)刻刻）的證證券價(jià)格格，則在在T－t期間G的變化為為：lnST-lnS這意味著著：（13.31）根據(jù)正態(tài)態(tài)分布的的特性，，從式（（13.31））可以得得到：（13.32）這表明ST服從對(duì)數(shù)數(shù)正態(tài)分分布。lnST的標(biāo)準(zhǔn)差差與成比比例，這這說明證證券價(jià)格格對(duì)數(shù)的的不確定定性（用用標(biāo)準(zhǔn)差差表示））與我們們考慮的的未來時(shí)時(shí)間的長(zhǎng)長(zhǎng)度的平平方根成成正比。。這就解解決了前前面所說說的證券券價(jià)格比比例變化化的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差與時(shí)時(shí)間不成成正比的的問題。。根據(jù)式（（13.32））和對(duì)數(shù)數(shù)正態(tài)分分布的特特性,可可知ST的期望值值E(ST)為：這與作為為預(yù)期收收益率的的定義相相符。ST的方差var(ST)為:第四節(jié)布布萊萊克———舒爾斯斯期權(quán)定定價(jià)模型型一、布萊萊克———舒爾斯斯微分方方程推導(dǎo)布萊萊克———舒爾斯斯微分方方程需要要用到如如下假設(shè)設(shè)：證券價(jià)格格遵循幾幾何布朗朗過程，，即和為為常數(shù)；；允許賣空空標(biāo)的證證券；沒有交易易費(fèi)用和和稅收，，所有證證券都是是完全可可分的；；在衍生證證券有效效期內(nèi)標(biāo)標(biāo)的證券券沒有現(xiàn)現(xiàn)金收益益支付；；不存在無無風(fēng)險(xiǎn)套套利機(jī)會(huì)會(huì)；證券交易易是連續(xù)續(xù)的，價(jià)價(jià)格變動(dòng)動(dòng)也是連連續(xù)的；；在衍生證證券有效效期內(nèi)，，無風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)利率r為常數(shù)數(shù)。實(shí)際上，，有些假假設(shè)條件件我們可可以放松松，如、、和r可以是t的函數(shù)。。（一）布布萊克———舒爾爾斯微分分方程的的推導(dǎo)（13.35）（13.36）我們可以以構(gòu)建一一個(gè)包括括一單位位衍生證證券空頭頭和單單位位標(biāo)的證證券多頭頭的組合合。令代表該投投資組合合的價(jià)值值，則：：（13.37））在時(shí)間后后，該投投資組合合的價(jià)值值變化為為：在沒有套套利機(jī)會(huì)會(huì)的條件件下：：我們代入入和和，，則則可得著著名的布布萊克———舒爾爾斯微分分分程：：布萊克———舒爾爾斯微分分分程適適用于其其價(jià)格取取決于標(biāo)標(biāo)的證券券價(jià)格S的所有有衍生證證券的定定價(jià)。應(yīng)該注意意的是，，當(dāng)S和t變化時(shí)，，的值也會(huì)會(huì)變化，，因此上上述投資資組合的的價(jià)值并并不是永永遠(yuǎn)無風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)的，，它只是是在一個(gè)個(gè)很短的的時(shí)間間間隔中才才是無風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)的。。在一個(gè)個(gè)較長(zhǎng)時(shí)時(shí)間中，，要保持持該投資資組合無無風(fēng)險(xiǎn)，，必須根根據(jù)的的變變化而相相應(yīng)調(diào)整整標(biāo)的證證券的數(shù)數(shù)量。當(dāng)當(dāng)然，推推導(dǎo)布萊萊克———舒爾斯斯微分方方程并不不要求調(diào)調(diào)整標(biāo)的的證券的的數(shù)量，，因?yàn)樗魂P(guān)心心中中的變變化。（二）風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)中性性定價(jià)原原理從上可以以看出受受制于主主觀的風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)收益益偏好的的標(biāo)的證證券預(yù)期期收益率率并未包包括在衍衍生證券券的價(jià)值值決定公公式中。。這意味著著，無論論風(fēng)險(xiǎn)收收益偏好好狀態(tài)如如何，都都不會(huì)對(duì)對(duì)f的值值產(chǎn)生影影響。于是，我我們就可可以利用用布萊克克——舒舒爾斯微微分方程程所揭示示的這一一特性，，作出一一個(gè)可以以大大簡(jiǎn)簡(jiǎn)化我們們工作的的簡(jiǎn)單假假設(shè)：在對(duì)衍生生證券定定價(jià)時(shí)，，所有投投資者都都是風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)中性的的。這就就是風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)中性定定價(jià)原理理。為了更好好地理解解風(fēng)險(xiǎn)中中性定價(jià)價(jià)原理，，我們可可以舉一一個(gè)簡(jiǎn)單單的例子子來說明明。（見書））二、布萊萊克———舒爾斯斯期權(quán)定定價(jià)公式式在風(fēng)險(xiǎn)中中性的條條件下，，歐式看看漲期權(quán)權(quán)到期時(shí)時(shí)（T時(shí)刻）的的期望值值為：根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)中性定定價(jià)原理理，歐式式看漲期期權(quán)的價(jià)價(jià)格c等等于將此此期望值值按無風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)利率率進(jìn)行貼貼現(xiàn)后的的現(xiàn)值，，即：（13.41）對(duì)式（13.41）右右邊求值值是一種種積分過過程，結(jié)結(jié)果為：：其中，由于歐式式看漲期期權(quán)和看看跌期權(quán)權(quán)之間存存在平價(jià)價(jià)關(guān)系,可得SN(d1)是Asset-or-notingcalloption的價(jià)價(jià)值,-e-rTXN(d2)是X份份cash-or-nothing看漲期期權(quán)空頭頭的價(jià)值值。N(d2)是在風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)中性性世界中中期權(quán)被被執(zhí)行的的概率，，或者說說ST大于X的的概率，，e-rTXN(d2)是X的的風(fēng)險(xiǎn)中中性期望望值的現(xiàn)現(xiàn)值。SN(d1)是得到到ST的風(fēng)險(xiǎn)中中性期望望值的現(xiàn)現(xiàn)值。是復(fù)制交交易策略略中股票票的數(shù)量量，SN（d1)就是股股票的市市值,-e-rTXN(d2)則是復(fù)復(fù)制交易易策略中中負(fù)債的的價(jià)值。。三、有收收益資產(chǎn)產(chǎn)的期權(quán)權(quán)定價(jià)公公式（一）有有收益資資產(chǎn)歐式式期權(quán)的的定價(jià)公公式在收益已已知情況況下，我我們可以以把標(biāo)的的證券價(jià)價(jià)格分解解成兩部部分：期期權(quán)有效效期內(nèi)已已知現(xiàn)金金收益的的現(xiàn)值部部分和一一個(gè)有風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)部分分。當(dāng)標(biāo)的證證券已知知收益的的現(xiàn)值為為I時(shí)，我們們只要用用（S－I）代替S即可求出出固定收收益證券券歐式看看漲和看看跌期權(quán)權(quán)的價(jià)格格。當(dāng)標(biāo)的證證券的收收益為按按連續(xù)復(fù)復(fù)利計(jì)算算的固定定收益率率q（單位為為年）時(shí)時(shí)，我們們只要將將代替S就可求出出支付連連續(xù)復(fù)利利收益率率證券的的歐式看看漲和看看跌期權(quán)權(quán)的價(jià)格格，從而而使布萊萊克———舒爾斯斯的歐式式期權(quán)定定價(jià)公式式適用歐歐式貨幣幣期權(quán)和和股價(jià)指指數(shù)期權(quán)權(quán)的定價(jià)價(jià)。對(duì)于歐式期貨貨期權(quán)，布萊萊克教授也給給出了定價(jià)公公式：其中，例子見書.（二）有收益益資產(chǎn)美式期期權(quán)的定價(jià)1．美式看漲漲期權(quán)當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)有有收益時(shí)，美美式看漲期權(quán)權(quán)就有提前執(zhí)執(zhí)行的可能，，因此有收益益資產(chǎn)美式期期權(quán)的定價(jià)較較為復(fù)雜，布布萊克提出了了一種近似處處理方法。該該方法是先確確定提前執(zhí)行行美式看漲期期權(quán)是否合理理，其方法我我們?cè)诒菊碌诘谝还?jié)已論述述過。若不合合理，則按歐歐式期權(quán)處理理；若在tn提前執(zhí)行有可可能是合理的的，則要分別別計(jì)算在T時(shí)時(shí)刻和tn時(shí)刻到期的歐歐式看漲期權(quán)權(quán)的價(jià)格，然然后將二者之之中的較大者者作為美式期期權(quán)的價(jià)格。。在大多數(shù)情情況下，這種種近似效果都都不錯(cuò)。2．美式看跌期期權(quán)由于收益雖然然使美式看跌跌期權(quán)提前執(zhí)執(zhí)行的可能性性減小，但仍仍不排除提前前執(zhí)行的可能能性，因此有有收益美式看看跌期權(quán)的價(jià)價(jià)值仍不同于于歐式看跌期期權(quán)，它也只只能通過較復(fù)復(fù)雜的數(shù)值方方法來求出。。第五節(jié)二二叉樹期權(quán)定定價(jià)摸型由于美式看跌跌期權(quán)無法用用布萊克———舒爾斯期權(quán)權(quán)定價(jià)公式進(jìn)進(jìn)行精確定價(jià)價(jià)，因此要用用其它替代方方法，如二叉叉樹期權(quán)定價(jià)價(jià)模型，該模模型是由科克克斯（J.Cox）、羅斯(S.Ross)和魯賓斯坦(M.Rubinstein)于1979年首先提出的的。一、無收益資資產(chǎn)期權(quán)的定定價(jià)二叉樹模型首首先把期權(quán)的的有效期分為為很多很小的的時(shí)間間隔，，并假設(shè)在每每一個(gè)時(shí)間間間隔內(nèi)證券價(jià)價(jià)格從開始的的S運(yùn)動(dòng)到兩個(gè)新新值Su和Sd中的一個(gè)，如如圖13.22所示。其中，，u>1，d<1，且u=1/d圖13.22T時(shí)間內(nèi)證券價(jià)價(jià)格的變動(dòng)為了對(duì)期權(quán)進(jìn)進(jìn)行定價(jià)，二二叉樹模型也也應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中中性定價(jià)原理理并假定：（1）所有可可交易證券的的期望收益都都是無風(fēng)險(xiǎn)利利率；（2）未來現(xiàn)金流流可以用其期期望值按無風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)現(xiàn)來計(jì)算現(xiàn)值值。S0u

?uS0d

?dS0

?p(1

–p)（一）參數(shù)p、u和d的確定參數(shù)p、u和和d的值必須須滿足這個(gè)要要求，即：根據(jù)本章第2節(jié)的討論，，在一個(gè)小時(shí)時(shí)間段內(nèi)證券券價(jià)格變化的的方差是。。根據(jù)方差的的定義，變量量X的方差等等于X2的期望值與X期望值平方方之差，因此此：由上可得，（二）證券價(jià)價(jià)格的樹型結(jié)結(jié)構(gòu)應(yīng)用二叉樹模模型來表示證證券價(jià)格變化化的完整樹型型結(jié)構(gòu)如圖13.23所示。圖13.23證券價(jià)格的樹樹型結(jié)構(gòu)當(dāng)時(shí)間為0時(shí)時(shí)，證券價(jià)格格為S。時(shí)時(shí)間為t時(shí)，證券價(jià)格格要么上漲到到Su，要么么下降到Sd；時(shí)間為2t時(shí)，證券價(jià)格格就有三種可可能：Su2、Sud（等等于S）和Sd2，以此類推。。一般而言，，在時(shí)刻it，證券價(jià)格有有i+1種可可能，它們可可用符號(hào)表示示為：其中j=0，，1，2，………，i（三）倒推定定價(jià)法由于在T時(shí)刻的期權(quán)價(jià)價(jià)值是已知的的。所以在二叉樹模型型中，期權(quán)定定價(jià)從樹型結(jié)結(jié)構(gòu)圖的末端端T時(shí)刻開始，采采用倒推法定定價(jià)。例：S0=50;X=50;r=10%;s=40%;T=5months=0.4167;Dt=1month=0.0833則可得：u=1.1224;d=0.8909;a=1.0084;p=0.5076據(jù)此我們可以以畫出該股票票在期權(quán)有效效期內(nèi)的樹型型圖，如下圖圖：在時(shí)刻，股票票在第j個(gè)結(jié)點(diǎn)（j=0，1，2，……i）的價(jià)格等于于。例如，F(xiàn)結(jié)點(diǎn)（i=4，j=1）的股價(jià)等于于。在最后那那些結(jié)點(diǎn)處，，期權(quán)價(jià)值等等于。例如，，G結(jié)點(diǎn)的期期權(quán)價(jià)格等于于50－35.36=14.64。。從最后一列結(jié)結(jié)點(diǎn)處的期權(quán)權(quán)價(jià)值可以計(jì)計(jì)算出倒數(shù)第第二列結(jié)點(diǎn)的的期權(quán)價(jià)值。。首先，我們們假定在這些些結(jié)點(diǎn)處期權(quán)權(quán)沒被提前執(zhí)執(zhí)行。這意味味著所計(jì)算的的期權(quán)價(jià)值是是時(shí)間內(nèi)期權(quán)權(quán)價(jià)值期望值值的現(xiàn)值。如E結(jié)點(diǎn)處的期權(quán)權(quán)價(jià)值等于：：而F結(jié)點(diǎn)處的期權(quán)權(quán)價(jià)值等于：：然后，我們要要檢查提前執(zhí)執(zhí)行期權(quán)是否否較有利。在在E結(jié)點(diǎn)，提前執(zhí)執(zhí)行將使期權(quán)權(quán)價(jià)值為0，所以不應(yīng)提提前執(zhí)行。而在F結(jié)點(diǎn)，如果提提前執(zhí)行，期期權(quán)價(jià)值等于于50.00－39.69元，等于10.31元，大于上述述的9.90元。因此，若若股價(jià)到達(dá)F結(jié)點(diǎn)，就應(yīng)提提前執(zhí)行。用相同的方法法我們可以算算出各結(jié)點(diǎn)處處的期權(quán)價(jià)值值，并最終倒倒推算出初始始結(jié)點(diǎn)處的期期權(quán)價(jià)值為4.48元。（四）美式看看跌期權(quán)的定定價(jià)公式其中j=0，1，2，……，N假定期權(quán)不被被提前執(zhí)行，，則在風(fēng)險(xiǎn)中中性條件下：：如果考慮提前前執(zhí)行的可能能性的話，式式中的必須與與期權(quán)的內(nèi)在在價(jià)值比較，，由此可得：：按這種倒推法法計(jì)算，當(dāng)時(shí)時(shí)間區(qū)間的劃劃分趨于無窮窮大，或者說說當(dāng)每一區(qū)間間Dt趨于0時(shí)，就可以求求出美式看跌跌期權(quán)的準(zhǔn)確確價(jià)值。根據(jù)據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，，一般將時(shí)間間區(qū)間分成30個(gè)就可得到較較為理想的結(jié)結(jié)果。二、有收益資資產(chǎn)期權(quán)的定定價(jià)（一）支付連連續(xù)復(fù)利收益益率資產(chǎn)的期期權(quán)定價(jià)當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)支支付連續(xù)復(fù)利利收益率q的收益時(shí)，，在風(fēng)險(xiǎn)中中性條件下下，證券價(jià)價(jià)格的增長(zhǎng)長(zhǎng)率應(yīng)該為為r－q，因此可得：：對(duì)于股價(jià)指指數(shù)期權(quán)來來說，q為股票組合合的紅利收收益率；對(duì)對(duì)于外匯期期來說，q為國外無風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)利率，，因此上式式也可用于于股價(jià)指數(shù)數(shù)和外匯的的美式看跌跌期權(quán)的定定價(jià)。對(duì)于期貨期期權(quán)來說，，布萊克曾曾證明，在在對(duì)期貨期期權(quán)定價(jià)時(shí)時(shí)期貨的價(jià)價(jià)格可以和和支付連續(xù)續(xù)紅利率r的證券同樣樣對(duì)待，因因此對(duì)于期期貨期權(quán)而而言，q=r，即：因此，也就可用于美美式期貨看看跌期權(quán)的的定價(jià)。（二）支付付已知收益益資產(chǎn)的期期權(quán)定價(jià)1．已知紅利利率若標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)在未來某某一確定時(shí)時(shí)間將支付付已知收益益率，我們只要要調(diào)整在各各個(gè)結(jié)點(diǎn)上上的證券價(jià)價(jià)格就可算算出期權(quán)價(jià)價(jià)格。調(diào)整整方法如下下：如果時(shí)刻iDt在除權(quán)日之之前，則結(jié)結(jié)點(diǎn)處證券券價(jià)格仍為為：如果時(shí)刻iDt在除權(quán)日之之后，則結(jié)點(diǎn)處證證券價(jià)格相相應(yīng)調(diào)整為為：j=0，1，……,i對(duì)在期權(quán)有有效期內(nèi)有有多個(gè)已知知紅利率的的情況，也也可進(jìn)行同同樣處理。。若δi為0時(shí)刻到到時(shí)刻之間間所有除權(quán)權(quán)日的紅利利支付率，，則時(shí)刻結(jié)結(jié)點(diǎn)的相應(yīng)應(yīng)的證券價(jià)價(jià)格為：2．已知紅利利額若標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)在未來某某一確定日日期將支付付已知數(shù)額額的收益，，則除權(quán)后后樹枝將不不再重合，，這意味著著所要估算算的結(jié)點(diǎn)的的數(shù)量可能能變得很大大，特別是是如果支付付多次已知知數(shù)額收益益的話。為了簡(jiǎn)化起起見，我們們?nèi)钥梢园寻炎C券價(jià)格格分為兩個(gè)個(gè)部分：一一部分是不不確定的，，而另一部部分是期權(quán)權(quán)有效期內(nèi)內(nèi)所有未來來紅利的現(xiàn)現(xiàn)值。假設(shè)設(shè)在期權(quán)有有效期內(nèi)只只有一個(gè)除除息日，而且x時(shí)刻不確定定部分的價(jià)價(jià)值S*為：當(dāng)x>時(shí)當(dāng)x<=時(shí)其中D表示收益金金額。設(shè)為為S*的標(biāo)準(zhǔn)差，，假設(shè)是是常數(shù)數(shù)，這樣就就可用通常常的方法構(gòu)構(gòu)造出模擬擬S*的二叉樹了了。通過把未