一元線性回歸的基本問題

第七章相關(guān)與回來分析

第一節(jié)相關(guān)與回來的基本概念其次節(jié)一元線性回來分析睡眠時(shí)間同學(xué)習(xí)成果之間的關(guān)系學(xué)習(xí)成果同收入之間的關(guān)系學(xué)歷同收入之間的關(guān)系國內(nèi)探討：學(xué)歷、年齡、收入關(guān)系國外探討：學(xué)歷、年齡、收入關(guān)系第一節(jié)相關(guān)與回來的基本概念函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系的種類相關(guān)關(guān)系的推斷方法1.1函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系(一)函數(shù)關(guān)系1.定義當(dāng)一個(gè)或幾個(gè)變量取確定的值時(shí)，另一個(gè)變量有確定值與之相對(duì)應(yīng)，我們稱這種關(guān)系為確定性的函數(shù)關(guān)系。2.函數(shù)關(guān)系特點(diǎn)（1）是一一對(duì)應(yīng)的確定關(guān)系；（2）設(shè)有兩個(gè)變量x和y，變量y隨變量x一起變更，并完全依靠于x，當(dāng)變量x取某個(gè)數(shù)值時(shí)，y依確定的關(guān)系取相應(yīng)的值，則稱y是x的函數(shù)，記為y=f(x)，其中x稱為自變量，y稱為因變量（3）各觀測點(diǎn)(x,y)落在一條線上xy3.函數(shù)關(guān)系舉例函數(shù)關(guān)系的例子某種商品的銷售額(y)與銷售量(x)之間的關(guān)系可表示為y=p

x(p為單價(jià))圓的面積與半徑之間的關(guān)系可表示為S=r2

企業(yè)的原材料消耗額(y)與產(chǎn)量(x1)

、單位產(chǎn)量消耗(x2)

、原材料價(jià)格(x3)之間的關(guān)系可表示為y=x1x2x3

1.定義：當(dāng)一個(gè)或幾個(gè)相互聯(lián)系的變量取確定數(shù)值時(shí)，與之相對(duì)應(yīng)的另一變量的值雖然不確定，但它仍按某種規(guī)律在確定的范圍內(nèi)變更。變量間的這種關(guān)系稱為具有不確定性的相關(guān)關(guān)系?，F(xiàn)象之間客觀存在的不嚴(yán)格、不確定的數(shù)量依存關(guān)系。（二）相關(guān)關(guān)系2.相關(guān)關(guān)系特點(diǎn)（1）變量間關(guān)系不能用函數(shù)關(guān)系精確表達(dá)；（2）一個(gè)變量的取值不能由另一個(gè)變量唯一確定；當(dāng)變量x取某個(gè)值的時(shí)候，變量y的取值可能有幾個(gè)；（3）各觀測點(diǎn)（x，y）分布在某條線的四周。xy相關(guān)關(guān)系的例子商品的消費(fèi)量(y)與居民收入(x)之間的關(guān)系商品的消費(fèi)量(y)與物價(jià)(x)之間的關(guān)系商品銷售額(y)與廣告費(fèi)支出(x)之間的關(guān)系糧食畝產(chǎn)量(y)與施肥量(x1)、降雨量(x2)、溫度(x3)之間的關(guān)系收入水平(y)與受教化程度(x)之間的關(guān)系3.相關(guān)關(guān)系舉例1.2相關(guān)關(guān)系的種類相關(guān)關(guān)系按相關(guān)程度分類按相關(guān)方向分類按相關(guān)形式分類按所研究變量多少分類（1）完全相關(guān)：當(dāng)一種現(xiàn)象的數(shù)量變更完全由另一種現(xiàn)象的數(shù)量變更所確定時(shí)，稱這兩種現(xiàn)象間的關(guān)系為完全相關(guān)。（2）不相關(guān)：當(dāng)兩種現(xiàn)象互不影響，其數(shù)量變更各自獨(dú)立時(shí)，稱為不相關(guān)現(xiàn)象。（3）兩種現(xiàn)象之間的關(guān)系介于完全相關(guān)和不相關(guān)之間，稱為不完全相關(guān)。1.按相關(guān)的程度可劃分為:完全相關(guān)，不完全相關(guān)和不相關(guān)（1）當(dāng)兩種相關(guān)現(xiàn)象之間的關(guān)系大致呈現(xiàn)為線性關(guān)系時(shí)，稱之為線性相關(guān)。（2）當(dāng)兩種相關(guān)現(xiàn)象之間的關(guān)系不表現(xiàn)為直線關(guān)系，而是近似于某種曲線方程的關(guān)系，則這種相關(guān)關(guān)系稱為非線性相關(guān)。2.按相關(guān)的形式可劃分為:

線性相關(guān)，非線性相關(guān)（1）正相關(guān)：兩個(gè)相關(guān)現(xiàn)象間，當(dāng)一個(gè)變量的數(shù)值增加（或削減）時(shí)，另一個(gè)變量的數(shù)值也隨之增加（或削減），即同方向變更。例如收入與消費(fèi)的關(guān)系。（2）負(fù)相關(guān)：當(dāng)一個(gè)變量的數(shù)值增加（或削減）時(shí)，而另一個(gè)變量的數(shù)值相反地呈削減（或增加）趨勢變更，即反方向變更。例如物價(jià)與消費(fèi)的關(guān)系。3.按相關(guān)的方向可劃分為:

正相關(guān)，負(fù)相關(guān)（1）當(dāng)只探討兩個(gè)變量時(shí)，它們之間的相關(guān)，稱為單相關(guān)。（2）當(dāng)所探討的是一個(gè)變量對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上其他變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，稱為復(fù)相關(guān)。例如，某種商品的需求與其價(jià)格水平以及收入水平之間的相關(guān)關(guān)系便是一種復(fù)相關(guān)。（3）在某一現(xiàn)象與多種現(xiàn)象相關(guān)的場合，假定其他變量不變，只考察其中兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系稱為偏相關(guān)。例如，在假定人們的收入水平不變的條件下，某種商品的需求與其價(jià)格水平的關(guān)系就是一種偏相關(guān)。4.按相關(guān)關(guān)系涉及的變量多少可劃分為:

單相關(guān)，復(fù)相關(guān)和偏相關(guān)相關(guān)關(guān)系的圖示不相關(guān)負(fù)線性相關(guān)正線性相關(guān)非線性相關(guān)完全負(fù)線性相關(guān)完全正線性相關(guān)定性分析是依據(jù)探討者的理論學(xué)問和實(shí)踐閱歷，對(duì)客觀現(xiàn)象之間是否存在相關(guān)關(guān)系，以及何種關(guān)系作出推斷。定量分析在定性分析的基礎(chǔ)上，通過編制相關(guān)表、繪制相關(guān)圖、計(jì)算相關(guān)系數(shù)等方法，來推斷現(xiàn)象之間相關(guān)的方向、形態(tài)及親密程度。1.3相關(guān)關(guān)系的推斷（一）相關(guān)表相關(guān)表是一種反映變量之間相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計(jì)表。將自變量x的數(shù)值依據(jù)從小到大的依次排列，然后再將與其相關(guān)的因變量y的對(duì)應(yīng)數(shù)值平行排列，便可形成簡潔的相關(guān)表。

例：為了探討分析某種產(chǎn)品完成量與其單位產(chǎn)品成本之間的關(guān)系，調(diào)查30個(gè)同類公司得到的原始數(shù)據(jù)如表。 整理后有（二）相關(guān)圖相關(guān)圖也稱散點(diǎn)圖，是在平面直角坐標(biāo)系中，以橫軸表示變量x，縱軸表示變量y，將兩者對(duì)應(yīng)的數(shù)值形成的坐標(biāo)點(diǎn)（x,y）在圖中標(biāo)出，即可看出變量之間關(guān)系親密程度。如下圖（銷售收入與廣告費(fèi)相關(guān)圖）銷售收入與廣告費(fèi)相關(guān)圖相關(guān)圖的相關(guān)檢定分別作x、y中值線數(shù)各象限和中值線上的點(diǎn)計(jì)算判定：將N和相關(guān)檢定表界限值比較，判定相關(guān)性（三）相關(guān)系數(shù)及其計(jì)算1.相關(guān)系數(shù)早在1890年，英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾生（Pearson）便提出了一個(gè)測定兩個(gè)變量線性關(guān)系的計(jì)算公式，通常稱為積距相關(guān)系數(shù)。計(jì)算公式：式中：分子是兩個(gè)變量x和y的協(xié)方差；分母是兩個(gè)變量的標(biāo)準(zhǔn)差。2.相關(guān)關(guān)系的測度

（相關(guān)系數(shù)）

樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式或化簡為計(jì)算相關(guān)系數(shù)的“積差法”例1.某企業(yè)10名工人的工齡和年工資資料如下：職工編號(hào)12345678910工齡X(年)44567889910工資Y（百元）42465060646874728084要求：計(jì)算相關(guān)系數(shù)，已知條件如下例2.某企業(yè)200名工人的工齡和年工資資料如下，計(jì)算兩者的相關(guān)系數(shù)，已知條件如下：

表1我國人均國民收入與人均消費(fèi)金額數(shù)據(jù)

單位:元年份人均國民收入人均消費(fèi)金額年份人均國民收入人均消費(fèi)金額1981198219831984198519861987393.8419.14460.86544.11668.29737.73859.972492672893294064515131988198919901991199219931068.81169.21250.71429.51725.92099.56436907138039471148【例】在探討我國人均消費(fèi)水平的問題中，把全國人均消費(fèi)額記為y，把人均國民收入記為x。收集到1981～1993年的樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)，i=1,2,…，13，計(jì)算相關(guān)系數(shù)。解：依據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式有

人均國民收入與人均消費(fèi)金額之間的相關(guān)系數(shù)為0.99873.相關(guān)系數(shù)取值及其意義（1）r的取值范圍是[-1,1]（2）|r|=1，為完全相關(guān)r=1，為完全正相關(guān)r=-1，為完全負(fù)正相關(guān)（3）r=0，不存在線性相關(guān)關(guān)系（4）-1r<0，為負(fù)相關(guān)；0<r1，為正相關(guān)（5）|r|越趨于1表示關(guān)系越親密；|r|越趨于0表示關(guān)系越不親密4.相關(guān)程度評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)0<|r|≤0.3為微弱相關(guān)0.3<|r|≤0.5為低度相關(guān)0.5<|r|≤0.8為顯著相關(guān)0.8<|r|≤1為高度相關(guān)相關(guān)系數(shù)檢定表其次節(jié)一元線性回來分析一、一元線性回來的基本問題（一）回來的來源“回來”這個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)術(shù)語，最早接受者是英國遺傳學(xué)家高爾登，他把這種統(tǒng)計(jì)分析方法應(yīng)用于探討生物學(xué)的遺傳問題，指誕生物后代有回復(fù)或回來到其上代原有特性的傾向。高爾登的學(xué)生皮爾遜接著探討，把回來與數(shù)學(xué)方法聯(lián)系起來，把代表現(xiàn)象之間一般數(shù)量關(guān)系的直線或曲線稱為回來直線或回來曲線。（二）什么是回來分析？從一組樣本數(shù)據(jù)動(dòng)身，確定變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式；對(duì)這些關(guān)系式的可信程度進(jìn)行各種統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，并從影響某一特定變量的諸多變量中找出哪些變量的影響顯著，哪些不顯著；利用所求的關(guān)系式，依據(jù)一個(gè)或幾個(gè)變量的取值來預(yù)料或限制另一個(gè)特定變量的取值，并給出這種預(yù)料或限制的精確程度。（三）回來模型的類型一個(gè)自變量兩個(gè)及兩個(gè)以上自變量回來模型多元回來一元回來線性回來非線性回來線性回來非線性回來1.一元線性回來模型（1）當(dāng)只涉及一個(gè)自變量時(shí)稱為一元回來，若因變量y與自變量x之間為線性關(guān)系時(shí)稱為一元線性回來。（2）對(duì)于具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，可以用一個(gè)線性方程來近似表示它們之間的關(guān)系。（3）描述因變量y如何依靠于自變量x和誤差項(xiàng)μ的方程稱為回來模型。二、一元線性回來模型的估計(jì)（一）回來方程1.描述y的平均值或期望值如何依靠于x的方程稱為回來方程。2.簡潔線性回來方程的形式：a是回來直線在y軸上的截距，是當(dāng)x=0時(shí)y的期望值；b是直線的斜率，稱為回來系數(shù)，表示當(dāng)x每變動(dòng)一個(gè)單位時(shí)，y的平均變動(dòng)值。最小二乘法（圖示）xy(xn,yn)(x1,y1)(x2,y2)(xi,yi)123哪條線最能夠表達(dá)x和y之間的關(guān)系？？最小二乘法（圖示）xy(xn,yn)(x1,y1)(x2,y2)(xi,yi)ei=yi-yi＾2e1e2e3e4e6e7e8e9e53、回來系數(shù)的估計(jì)的最小二乘法公式設(shè)