2020年江蘇高考數(shù)學(xué)試卷及答案

2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（江蘇卷）

數(shù)學(xué)試題參考公式：柱體的體積V=Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高.一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分．.已知集合A={—1,0,1,2},B={0,2,3}，則AB= ▲.已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)工=（1+i）（2-i）的實(shí)部是 ▲.已知一組數(shù)據(jù)4,2。,3-。,5,6的平均數(shù)為4,則a的值是一▲.將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)和為5的概率是一▲一.如圖是一個(gè)算法流程圖，若輸出了的值為-2，則輸入無(wú)的值是_▲［第5［第5題J6．TOC\o"1-5"\h\z在平面直角坐標(biāo)系xQy中，若雙曲線上-二二1（a〉0）的一條漸近線方程為y=—x，則該雙曲線的離a2 5 26．心率是▲ .已知>=fx）是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f金）=x2，則f（-8）的值是—▲—.兀 2.已知sin2（+a）=-，則sin2a的值是 ▲ .\o"CurrentDocument"4 39．如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長(zhǎng)為2cm，高為2即，內(nèi)孔半輕為0.5cm,則此六角螺帽毛坯的體積是 ▲cm.(第9題)nn.將函數(shù)y=3sin(2x+￡)的圖象向右平移n個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后的圖象中與y軸最近的對(duì)稱軸的方程是46TOC\o"1-5"\h\z▲ ..設(shè)｛與｝是公差為d的等差數(shù)列，｛久｝是公比為q的等比數(shù)列.已知數(shù)歹U｛"+勾｝的前n項(xiàng)和S=n2—n+2n-1(neN+)，則Ud+q的值是▲ ..已知5x2y2+y4=1(%,yeR)，則x2+y2的最小值是 ▲ ..在△ABC中，AB=4,AC=3,ZBAC=90。,D在邊BC上，延長(zhǎng)AD到尸，使得AP=9,若3PA=mPB+(--m)PC(m為常數(shù))，則CD的長(zhǎng)度是▲ .2.在平面直角坐標(biāo)系%Oy中，已知P(,0),A,B是圓C：%2+(y-2)2=36上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足PA=PB,則^PAB面積的最大值是▲ .二、解答題：本大題共6小題,共計(jì)90分,請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程 或演算步驟..(本小題滿分14分)在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB±AC,B1c，平面ABC,E,F分別是AC,B1c的中點(diǎn).(1)求證：EF〃平面AB1C1；(2)求證：平面AB1C，平面ABB1.16．（本小題滿分14分）在^ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知a=3,c=22,B=45。.（1）求sinC的值；4（2）在邊BC上取一點(diǎn)。，使得cos/ADC=-5,求tanZDAC的值.17．（本小題滿分14分）某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底。在水平線MN上，橋AB與MN平行，OO'為鉛垂線（O'在AB上）.經(jīng)測(cè)量，左側(cè)曲線AO上任一點(diǎn)D到MN的距離勺（米）與D到OO'的距離a（米）之間滿足關(guān)系式h1=40a2；右側(cè)曲線BO上任一點(diǎn)F到MN的距離h2（米）與F到OO'的距離/米）之間滿足關(guān)系式h=-1-b3+6b.已知點(diǎn)B到OOo的距離為40米.2 800（1）求橋AB的長(zhǎng)度；（2）計(jì)劃在谷底兩側(cè)建造平行于OO'的橋墩CD和￡F，且CE為80米，其中C,E在AB上（不包括3端點(diǎn)）..橋墩EF每米造價(jià)k（萬(wàn)兀）、橋墩CD每米造價(jià)-k（萬(wàn)兀）（k>0）,問(wèn)O'E為多少米時(shí)，橋墩CD與EF的總造價(jià)最低？8D\0F]A18．(本小題滿分16分)x2y2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E:7+彳=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在橢圓E上且在第一象限內(nèi)，AF2±F1F2,直線AF1與橢圓E相交于另一點(diǎn)B.(1)求4AF1F2的周長(zhǎng)；(2)在x軸上任取一點(diǎn)尸，直線AP與橢圓E的右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)。，求OP-QP的最小值；(3)設(shè)點(diǎn)M在橢圓E上，記AOAB與^MAB的面積分別為S1，S2，若S2=3S1，求點(diǎn)M的坐標(biāo)..(本小題滿分16分) 一一已知關(guān)于X的函數(shù)y=f(X),y=g(X)與h(X)=kx+b(k,b￡R)在區(qū)間D上恒有f(x)2h(x)2g(x).(1)若f(x)=x2+2x,g(x)=一x2+2x,D=(一如+8)，求h(x)的表達(dá)式;(2)若f(x)=x2-x+1,g(x)=klnx,h(x)=kx一k,D=(0,+8),求k的取值范圍；(3)若f(x)=x4-2x2,g(x)=4x2-8,h(x)=4(3-1)x-3t4+2t2(0<\t\<v2),D=[m,n]=-石石]，求證：n-m<百..(本小題滿分16分)已知數(shù)列LJ(n￡N*)的首項(xiàng)%=1,前n項(xiàng)和為Sn.設(shè)丸與k是常數(shù)，若對(duì)一切正整數(shù)n，均有Sk_Sk八ak成立，則稱此數(shù)列為“丸?k”數(shù)列?n+1n n+1(1)若等差數(shù)列〃｝是“丸?1”數(shù)列，求力的值；n(2)若數(shù)列｛a｝是“超?2”數(shù)列，且a〉0，求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；

n3 n n(3)對(duì)于給定的九是否存在三個(gè)不同的數(shù)列｛aj為“丸?3”數(shù)列，且an>0?若存在，求力的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（江蘇卷）參考答案一、填空題:1．{0,2}2.33.24.195.一3636.一7.一48.19.12<3-- 10.%=-5-2322411.412.413.18或014.10V555二、解答題15．本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力和推理論證能力.滿分14分.證明：因?yàn)镋,F分別是AC,B1C的中點(diǎn)，所以EF//AB^.又EFa平面AB^C,AB^u平面AB^C,所以EF〃平面AB^C.（第15題）(2)因?yàn)锽C±平面ABC,ABa平面ABC,1所以BC±AB.1又AB1AC,BCa平面ABC,ACa平面ABC,BCAC=C,n所以AB1平面ABC.1又因?yàn)锳Ba平面ABB1,所以平面AB^C1平面ABB1.16．本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.滿分14分.解：（1）在AABC中，因?yàn)閍=3,c=V2,B=45。，由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得b2=9+2一2x3x、<2cos450=5,

在A在AABC中，由正弦定理—sinBsinC得_JL=Asin45°sinC所以sinC=—-.5(2)在八4。。中，因?yàn)閏osZADC=-4，所以ZADC為鈍角，而ZADC+ZC+ZCAD=180°,所以ZC為銳角.故cosC=V1-sin2C=,貝UtanC=snC=1.5 cosC24一一… :- 3因?yàn)閏osZADC=—-，所以4一一… :- 3因?yàn)閏osZADC=—-，所以sinZADC=v1-cos2ZADC=—,

5 5sinZADCtanZADC= = cosZADC 4tanZADC=tan(180°-ZADC-ZC)=-tan(ZADC+ZC)=-tan(ZADC+ZC)31一一+-421-tanZADCxtanZC A1-111x—217.本小題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、用導(dǎo)數(shù)求最值、解方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查直觀想象和數(shù)學(xué)建模及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.滿分14分.解：(1)設(shè)AAJBB,CD,￡勺都與MN垂直，/B,D,勺是相應(yīng)垂足.由條件知，當(dāng)OB=40時(shí)，BB=--x403+6x40=160,則AA=160.1 800 1由-1OA2=160,得OA=80.40所以AB=OA+OB=80+40=120(米).(第I?(第I?題)(2)以O(shè)為原點(diǎn)，OO,為J軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy(如圖所示).設(shè)F(%,y),%g(0,40),則Uy=-—^―%3+6%,2 2 800

TOC\o"1-5"\h\zEF=160-y=160+—x3-6x.

2 800因?yàn)镃E=80,所以O(shè)C=80—x.設(shè)D(x—80,y),貝Uy=—(80—x)2,1 140所以CD=160—y=160——(80—x)2=——x2+4x.1 40 40記橋墩CD和EF的總造價(jià)為f(x),1 31f(x)=k(160+ x3—6x)+—k(一 x2+4x)800 2 4013=k( x3 x2+160)(0<x<40).800 803f(3f(x)=k( x2800—x+160)=-x(x—20)40 800令f(x)=0,得x=20.(0,20)20(0,20)20(10,4。匕c極小值~~~所以當(dāng)x=20時(shí)，f(x)取得最小值.答：(1)橋AB的長(zhǎng)度為120米；(2)當(dāng)OE為20米時(shí)，橋墩CD和EF的總造價(jià)最低.18．本小題主要考查直線方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、向量數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、分析問(wèn)題能力和運(yùn)算求解能力.滿分16分.解：(1)橢圓E:上+￡=1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，短軸長(zhǎng)為2b，焦距為2c,43所以△AFF的周長(zhǎng)為2a+2c=6.12(2)橢圓E的右準(zhǔn)線為x=4.設(shè)P(x,0),Q(4,y),則OP=(x,0),QP=(x—4,—y),OP-QP=x(x—4)=(x—2)2—4>—4,在x=2時(shí)取等號(hào).所以O(shè)P?QP的最小值為—4.

t第花題)t第花題)(3)因?yàn)闄E圓E:丑十匕=1的左、右焦點(diǎn)分別為F,F，點(diǎn)A在橢圓E上且在第一象限內(nèi)，AF±FF,4 3 1 2 2 123則F(-1,0),F(1,0),A(1,-).1 2 2所以直線AB:3%-4y+3=0.設(shè)M(羽y)，因?yàn)镾2=3S/所以點(diǎn)M到直線AB距離等于點(diǎn)O到直線AB距離的3倍.=3*13x0-4x0+引5貝U3%-4y+12=0或3%-4y-6=0.3%-4y+12=0,得7得7%2+24%+32=0，此方程無(wú)解;33%-4y-6=0,2得7%2-12%-4=0，所以%=2或%=-2

712代入直線l:3%-4y-6=0，對(duì)應(yīng)分別得y=0或y=-半212因此點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0)或(-2,--).7 719.本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問(wèn)題以及邏輯推理能力.滿分16分.解：(1)由條件f(%)>h(%)>g(%)，得%2+2%>k%+b>-%2+2%,取%=0，得0>b>0，所以b=0.由%2+2%>k%，得%2+(2-k)%>0，此式對(duì)一切%e(-8,+8)恒成立，所以(2-k)2<0，貝Uk=2，此時(shí)2%>-%2+2%恒成立，所以h(%)=2%.(2)h(%)-g(%)=k(%-1-In%),%e(0,+w).令u(%)=%—1—ln%，貝Uu'(x)=1--,令u'(x)=0，得％=1.%1(1,+?)—0理⑺極小值所以u(píng)(%)i=u(1)=0.則%-1>In%恒成立，所以當(dāng)且僅當(dāng)k>0時(shí)，f(%)>g(%)恒成立.另一方面，f(%)>h(%)恒成立，即%2-%+1>k%-k恒成立，也即%2-(1+k)%+1+k>0恒成立.因?yàn)閗>0，對(duì)稱軸為%=1+k〉0,2所以(1+k)2-4(1+k)<0，解得-1<k<3.因此，k的取值范圍是0<k<3.(3)①當(dāng)1<t<<2時(shí)，由g(%)<h(%)，得4%2-8<4(13-1)%-3t4+212，整理得/ 3t4-2t2-8%2-(13-t)%+ <0.(*)4令A(yù)=(t3-1)2-(3t4-212-8),則°A=16-5t4+3t2+8.t己①(t)=16-5t4+3t2+8(1<t<v'2),則①'(t)=615-2013+61=21(3t2-1)(t2-3)<0恒成立，所以①(t)在［1,<2］上是減函數(shù)，則叭丘)<p(t)<叭1)，即2寸(t)<7.所以不等式(*)有解，設(shè)解為%1<%<%2,因此n-m<%-%.=vT< .②當(dāng)0<t<1時(shí)，f(-1)-h(-1)=314+4t3-212-4t-1.設(shè)v(t)=314+413-212-41-1,"(t)=1213+1212-4t-4=4(t+1)(3t2-1),令v'(t)=0,得t==3.3時(shí)，v時(shí)，v'(t)<0,v(t)是減函數(shù);當(dāng)te(―,1)時(shí)，Mt)>0,v(t)是增函數(shù).v(0)=-1,v(1)=0，則當(dāng)0<t<1時(shí)，v(t)<0.(或證：V(t)=(t+1)2(3%+1)(t—1)<0.)則f(-1)-h(-1)<0，因此—1任(m,n).因?yàn)閇m,n]d-五亞，所以n-m<<2+1<v7.③當(dāng)-、.2<t<0時(shí)，因?yàn)閒(x),g(x)均為偶函數(shù)，因此n-m<7~也成立.20．本小題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)探究與解決問(wèn)題的能力．滿分16分．解：⑴因?yàn)榈炔顢?shù)列｛an｝是“丘1"數(shù)列,則Sn+1-Sn=X匕+1,即an+1=Xan」也即(九-1)a=0，此式對(duì)一切正整數(shù)n均成立.n+1若入W1,則a+1=0恒成立，故a3-a2=0，而a2-a1=-1,這與｛an｝是等差數(shù)列矛盾.所以x=1.(此時(shí)，任意首項(xiàng)為1的等差數(shù)列都是“1?1”數(shù)歹U) 一「3 一(2)因?yàn)閿?shù)列｛a｝(neN*)是“—~2”數(shù)列，n3因?yàn)閍因?yàn)閍>0,即3即3n-1)2=-(b2-1)(b>1).

3n n所以數(shù)列｛S｝是公比為4的等比數(shù)列U.n

1(n=1),因?yàn)镾1=q=1,所以S=4n_1.則an=j3義42(〉2)（3）設(shè)各項(xiàng)非負(fù)的數(shù)列｛a｝（neN*）為“入~3”數(shù)列ij,n因?yàn)閍>0因?yàn)閍>0而a=1,1J1nn—1.Sn令3n~1==c，則c—163c3—1(c21)，即(c-1)3=X3(c3Txe>1).(*)I；Sn n nn n nnn①若X<0或X=1,則（*）只有一解為cn=1,即符合條件的數(shù)列必an｝只有一個(gè).（此數(shù)列為1，0，0，0，…）X3+2②若X>1，則（*）化為（c—1）（c2+ c+1）=0，nnX3—1n因?yàn)閏>1,所以c2+”2c+1>0，則（*）只有一解為c=1，n nX3—1n n即符合條件的數(shù)列｛a｝只有一個(gè).（此數(shù)列為1,0，0，0，…）n③若0<X<1,則c2+X■工c+1=0的兩根分別在（0，1）與（1,+8）內(nèi)，nX3—1n則方程（*）有兩個(gè)大于或等于1的解：其中一個(gè)為1,另一個(gè)大于1（記此解為力.所以Sn+1=Sn或S+1=13S.由于數(shù)列｛Sn｝從任何一項(xiàng)求其后一項(xiàng)均有兩種不同結(jié)果，所以這樣的數(shù)列｛Sn｝有無(wú)數(shù)多個(gè)，則對(duì)應(yīng)的｛an｝有無(wú)數(shù)多個(gè).綜上所述，能存在三個(gè)各項(xiàng)非負(fù)的數(shù)列｛an｝為“X?3”數(shù)列，X的取值范圍是0<X<1.數(shù)學(xué)n（附加題）21.【選做題】本題包括A、B、C三小題，請(qǐng)選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答.若多做，則 按作答的前兩小題評(píng)分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.A.［選修4-2：矩陣與變換］（本小題滿分10分）a1平面上點(diǎn)4（2,-1）在矩陣M=［八對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)B（3,—4）.—1b（1）求實(shí)數(shù)a,b的值;

(2)求矩陣M的逆矩陣M_i.B.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(本小題滿分10分)一..一. 一n n在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(Pj-)在直線l:Pcos°=2上，點(diǎn)B(p,-)在圓C:p=4sin0上(其中p>0，13 260<9<2兀).(1)求P1，P2的值；(2)求出直線l與圓C的公共點(diǎn)的極坐標(biāo).C.［選修4-5：不等式選講］(本小題滿分10分)設(shè)％gR，解不等式21%+11+1%1<4.【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、．．．．．．．證明過(guò)程或演算步驟．22．(本小題滿分10分)在三棱錐A—BCD中，已知CB=CD=無(wú),BD=2,O為BD的中點(diǎn)，AO，平面BCD,AO=2,E為AC的中點(diǎn)．(1)求直線AB與DE所成角的余弦值；(2)若點(diǎn)F在BC上，滿足BF=1BC,設(shè)二面角F—DE—C的大小為仇求sin9的值.423．(本小題滿分10分)甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球,乙口袋中裝有3個(gè)白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為工，恰有2個(gè)黑球的概率為2,恰有1個(gè)黑球的概率為qn.(1)求p1,q1和p2,q2;(2)求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關(guān)系式和Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn)(用n表示).數(shù)學(xué)n(附加題)參考答案21．【選做題】A.［選修4-2：矩陣與變換］本小題主要考查矩陣的運(yùn)算、逆矩陣等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力．滿分10分．?一,a解：(1)因?yàn)?一,a解：(1)因?yàn)? 3所以2a-1=3,-2-b=-4,B*(2)因?yàn)镸=從而MB*(2)因?yàn)镸=從而M-i=2515所以M=2 1-12152521-12,det(M)=2x2-1x(-1)=5中0，所以M可逆，［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］本小題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.滿分10分..一 ^ 冗 .一 冗 冗解：⑴由P1C0S3=2,得P1=4；p2=4sin6=2,又(0,0)(即(0,6))也在圓C上,因止匕P2=2或0.pcos9=2,[p=4sin9,得4sin9C0S9=2,所以Sin29=1*因?yàn)镻>0,0<9<2兀，所以9=4,p=2V2.所以公共點(diǎn)的極坐標(biāo)為（2、田4）*C*C*［選修4-5：不等式選講］本小題主要考查解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解和推理論證能力.滿分10分.2解：當(dāng)x>0時(shí)，原不等式可化為2x+2+x<4，解得0<x<3；當(dāng)-1<x<0時(shí)，原不等式可化為2x+2-x<4，解得-1<x<0；當(dāng)x<-1時(shí)，原不等式可化為-2x-2-x<4，解得-2<x<-1.2綜上，原不等式的解集為｛xl-2<x<-｝.J22*【必做題】本小題主要考查空間向量、異面直線所成角和二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.滿分1022*解：（1）連結(jié)0C因?yàn)椤?=CD,O為BD中點(diǎn)，所以CO±BD*又AO，平面BCD，所以AO±OB,AO±OC.以O(shè)b,oc,oa｝為基底，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.因?yàn)锽D=2,CB=CD=v5，AO=2,所以B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2).因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以E(0,1,1).則ab=(1,0,-2),DE=(1,1,1),所以Icos<AB,DE〉I二IAB-DEII1+0—2I<15 =-;= -= IABI-IDEIV5xv3 15因此，直線AB與DE所成角的余弦值為衛(wèi).15⑵因?yàn)辄c(diǎn)F在BC上，BF=4BC,BC=1,2,0).所以BF=4BC=(-4,2。).又DB=(2,0,0),… ,71…故DF=DB+BF=(-,,0).42設(shè)n=(',”z)為平面DEF的一個(gè)法向量,XJyeq=0,7 1一-%+—y=0,〔41 21取％產(chǎn)，得y=-7,z=5，所以n=(2,-7,5).11設(shè)n2=(%2,y2,z2)為平面DEC的一個(gè)法向量，又DC=(1,2,0),=0,DC?n2即v=0,%+y+z=0,%+2y=0,2 2所M=⑵-…).故Icos故Icos0I=In?nII4+7—5I所以sin0=<1一cos20=2、駝1323．