圓錐曲線大題解析策略(理科)

圓錐曲線大題解析策略(理科)

圓錐曲線大題類型解析策略（1）中點(diǎn)弦及弦長問題具有斜率的弦中點(diǎn)問題，常用設(shè)而不求法（點(diǎn)差法）：設(shè)曲線上兩點(diǎn)為(x1,y1)，(x2,y2)，代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系及斜率公式，消去四個(gè)參數(shù)。遇到中點(diǎn)弦問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點(diǎn)差法”求解．在橢圓＋＝1中，以P(x0，y0)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k＝－；在雙曲線－＝1中，以P(x0，y0)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k＝；在拋物線y2＝2px(p＞0)中，以P(x0，y0)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k＝.【例1】已知橢圓,求以點(diǎn)P(2,1)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程.(2)圓錐曲線的弦長的計(jì)算設(shè)斜率為k(k≠0)的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝_____________________＝_________________＝·|y1－y2|(拋物線的焦點(diǎn)弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝，θ為弦AB所在直線的傾斜角)．直線與圓錐曲線的弦長問題，較少單獨(dú)考查弦長的求解，一般是已知弦長的信息求參數(shù)或直線的方程．解此類題的關(guān)鍵是設(shè)出交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到弦長，將已知弦長的信息代入求解．【典型例題】(2012·北京卷)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0)，離心率為.直線y＝k(x－1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N.(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)△AMN的面積為時(shí)，求k的值．解(1)由題意得解得b＝.所以橢圓C的方程為＋＝1.(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝，x1x2＝.所以|MN|＝＝＝.又因?yàn)辄c(diǎn)A(2,0)到直線y＝k(x－1)的距離d＝，所以△AMN的面積為S＝|MN|·d＝.由＝，解得k＝±1.（2）焦點(diǎn)三角形問題橢圓或雙曲線上一點(diǎn)P，與兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2構(gòu)成的三角形問題，常用正、余弦定理搭橋。（3）直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)代入圓錐曲線C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一個(gè)關(guān)于變量x(或變量y)的一元方程．即消去y后得ax2＋bx＋c＝0.(1)當(dāng)a≠0時(shí)，設(shè)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判別式為Δ，則Δ＞0?直線與圓錐曲線C______；Δ＝0?直線與圓錐曲線C；Δ＜0?直線與圓錐曲線C.(2)當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)，即得到一個(gè)一次方程，則直線l與圓錐曲線C相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的對稱軸的位置關(guān)系是平行．【典型例題】已知橢圓的左焦點(diǎn)為,離心率為，點(diǎn)M在橢圓上且位于第一象限，直線FM被圓截得的線段的長為c，.(I)求直線FM的斜率；(II)求橢圓的方程；(III)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上，若直線FP的斜率大于，求直線OP（O為原點(diǎn)）的斜率的取值范圍.解析：(I)由已知有，又由，可得，，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，由已知有，解得.(II)由(I)得橢圓方程為，直線的方程為，兩個(gè)方程聯(lián)立，消去，整理得，解得或，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，可得的坐標(biāo)為，由，解得，所以橢圓方程為()設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為，得，即,與橢圓方程聯(lián)立，消去，整理得，又由已知，得，解得或，設(shè)直線的斜率為，得，即，與橢圓方程聯(lián)立，整理可得.當(dāng)時(shí)，有，因此，于是，得當(dāng)時(shí)，有，因此，于是，得綜上，直線的斜率的取值范圍是考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)；2.直線和圓的位置關(guān)系；3.一元二次不等式.【訓(xùn)練1】平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M到點(diǎn)的距離比它到軸的距離多1.記點(diǎn)M的軌跡為C.（Ⅰ）求軌跡為C的方程；（Ⅱ）設(shè)斜率為k的直線過定點(diǎn).求直線與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)、兩個(gè)公共點(diǎn)、三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)k的相應(yīng)取值范圍.【解析】（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，依題意得，即，化簡整理得.故點(diǎn)M的軌跡C的方程為（Ⅱ）在點(diǎn)M的軌跡C中，記，.依題意，可設(shè)直線的方程為由方程組可得①（1）當(dāng)時(shí)，此時(shí)把代入軌跡C的方程，得.故此時(shí)直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn).（2）當(dāng)時(shí)，方程①的判別式為.

②設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，則由，令，得.

③（?。┤粲散冖劢獾茫?即當(dāng)時(shí)，直線與沒有公共點(diǎn)，與有一個(gè)公共點(diǎn)，故此時(shí)直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn).（ⅱ）若或由②③解得，或.即當(dāng)時(shí)，直線與只有一個(gè)公共點(diǎn)，與有一個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)時(shí)，直線與有兩個(gè)公共點(diǎn)，與沒有公共點(diǎn).故當(dāng)時(shí)，直線與軌跡恰好有兩個(gè)公共點(diǎn).（ⅲ）若由②③解得，或.即當(dāng)時(shí)，直線與有兩個(gè)公共點(diǎn)，與有一個(gè)公共點(diǎn)，故此時(shí)直線與軌跡恰好有三個(gè)公共點(diǎn).綜合（1）（2）可知，當(dāng)時(shí)，直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與軌跡恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與軌跡恰好有三個(gè)公共點(diǎn).

【訓(xùn)練2】（15年福建理科）已知橢圓E：過點(diǎn)，且離心率為．(Ⅰ)求橢圓E的方程；(Ⅱ)設(shè)直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，判斷點(diǎn)G與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．解析：解法一：(Ⅰ)由已知得

解得所以橢圓E的方程為．故所以，故G在以AB為直徑的圓外．解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)，則由所以從而所以不共線，所以為銳角.故點(diǎn)G在以AB為直徑的圓外．（4）圓錐曲線的有關(guān)最值（范圍）問題圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．【典型例題】（15年山東理科）平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別是,以為圓心，以3為半徑的圓與以為圓心，以1為半徑的圓相交，交點(diǎn)在橢圓C上.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)橢圓，P為橢圓C上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線交橢圓E于A,B兩點(diǎn)，射線PO交橢圓E于點(diǎn)Q.（?。┣蟮闹担唬áⅲ┣竺娣e最大值.解析：（Ⅰ）由橢圓的離心率為可知，而則，左、右焦點(diǎn)分別是,圓：圓：由兩圓相交可得，即，交點(diǎn)，在橢圓C上，則，整理得，解得（舍去）故橢圓C的方程為.（Ⅱ）（?。E圓E的方程為，設(shè)點(diǎn)，滿足，射線，代入可得點(diǎn)，于是.（ⅱ）點(diǎn)到直線距離等于原點(diǎn)O到直線距離的3倍：

，得，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?而直線與橢圓C：有交點(diǎn)P，則有解，即有解，其判別式，即，則上述不成立，等號不成立，設(shè)，則在為增函數(shù)，于是當(dāng)時(shí)，故面積最大值為12.

【訓(xùn)練1】如圖,O為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓C1:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為e1;雙曲線C2:-=1的左、右焦點(diǎn)分別為F3,F4,離心率為e2.已知e1e2=,且|F2F4|=-1.(1)求C1,C2的方程.(2)過F1作C1的不垂直于y軸的弦AB,M為AB的中點(diǎn).當(dāng)直線OM與C2交于P,Q兩點(diǎn)時(shí),求四邊形APBQ面積的最小值.【解析】(1)由題意可得e1=,e2=,且=2,

因?yàn)閑1e2=,且=-,所以=且-=-1,解得a=2b,b=1,a=,所以橢圓C1的方程為+y2=1,雙曲線C2的方程為-y2=1.(2)由(1)可得F2,因?yàn)橹本€AB不垂直于y軸,所以設(shè)直線AB的方程為x=ny-1,聯(lián)立直線與橢圓方程可得y2-2ny-1=0,

則yA+yB=,則yM=,因?yàn)锳B為焦點(diǎn)弦,所以根據(jù)焦點(diǎn)弦弦長公式可得=+x1++x2=,因?yàn)镸在直線AB上,所以xM=-1=,即M.則直線PQ的方程為y=x?y=-x,聯(lián)立方程組消去y整理得,x2=,y2=,設(shè)點(diǎn)P,Q,

則點(diǎn)P,Q到直線AB的距離之和為h=+,因?yàn)镻,Q在直線AB的兩側(cè),且關(guān)于原點(diǎn)對稱,所以<0,且xP=-xQ,yP=-yQ,所以h=+====,所以四邊形APBQ的面積為S=·h=··=2.因?yàn)?<2-n2≤2,故當(dāng)n=0時(shí),Smin=2.綜上所述,四邊形APBQ的面積的最小值為2.【訓(xùn)練2】如圖,設(shè)橢圓C:+=1(a>b>0),動(dòng)直線l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)P,且點(diǎn)P在第一象限.(1)已知直線l的斜率為k,用a,b,k表示點(diǎn)P的坐標(biāo).

(2)若過原點(diǎn)O的直線l1與l垂直,證明:點(diǎn)P到直線l1的距離的最大值為a-b.【解析】(1)設(shè)直線l的方程為y=kx+m(k<0),由消去y得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0,由于l與C只有一個(gè)公共點(diǎn),故Δ=0,

即b2-m2+a2k2=0,所以m=,解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為P,,又點(diǎn)P在第一象限,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為P,.(2)由于直線l1過原點(diǎn)O且與直線l垂直,故直線l1的方程為x+ky=0,所以點(diǎn)P到直線l1的距離d==,因?yàn)閍2k2+≥2ab,所以≤=a-b,

當(dāng)且僅當(dāng)k2=時(shí)等號成立.所以,點(diǎn)P到直線l1的距離的最大值為a-b.（5）求曲線的方程問題——這類問題一般可用待定系數(shù)法解決。【典型例題】（15年陜西理科）已知橢圓（）的半焦距為，原點(diǎn)到經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線的距離為．（I）求橢圓的離心率；

（II）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經(jīng)過點(diǎn)，，求橢圓的方程．解析：（I）過點(diǎn)(c,0),(0,b)的直線方程為，則原點(diǎn)O到直線的距離，由，得，解得離心率.(II)解法一：由（I）知，橢圓E的方程為.

(1)依題意，圓心M(-2,1)是線段AB的中點(diǎn)，且.易知，AB不與x軸垂直，設(shè)其直線方程為，代入(1)得設(shè)則由，得解得.從而.于是.由，得，解得.故橢圓E的方程為.【訓(xùn)練】設(shè)橢圓E的方程為，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)M在線段AB上，滿足，直線OM的斜率為.（I）求E的離心率e；（）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，N為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求E的方程.（6）存在性問題（探求性問題）【典型例題】（15年新課標(biāo)2理科）已知橢圓C：，直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M。（1）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；（2）若l過點(diǎn)，延長線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)l的斜率；若不能，說明理由。解：設(shè)直線：，，，由得，故，，因此，即。所以直線的斜率與的斜率的乘積為定值；四邊形能為平行四邊形。因過點(diǎn)，故不過原點(diǎn)且與有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是，。由得：，設(shè)的橫坐標(biāo)為，由得，即。將點(diǎn)的坐標(biāo)代入的方程得，因此。四邊形為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段互相平分，即，于是，解得，。因，，所以當(dāng)?shù)男甭蕿榛驎r(shí)，四邊形為平行四邊形?！居?xùn)練】(2012·廣東卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，且橢圓C上的點(diǎn)到Q(0,2)的距離的最大值為3.(1)求橢圓C的方程；(2)在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M(m，n)，使得直線l：mx＋ny＝1與圓O：x2＋y2＝1相交于不同的兩點(diǎn)A，B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及相對應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．解(1)因?yàn)閑＝＝＝，所以a2＝3b2，即橢圓C的方程可寫為＋＝1.設(shè)P(x，y)為橢圓C上任意給定的一點(diǎn)，則d＝＝＝(－b≤y≤b)．

當(dāng)－b≤－1，即b≥1，dmax＝＝3得b＝1；當(dāng)－b>－1，即b<1，dmax＝＝3得b＝1(舍)．∴b＝1，a＝，

(5分)故所求橢圓C的方程為＋y2＝1.(2)存在點(diǎn)M滿足要求，使△OAB的面積最大．假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M，因?yàn)橹本€l：mx＋ny＝1與圓O：x2＋y2＝1相交于不同的兩點(diǎn)A，B，則圓心O到l的距離d＝<1.

(8分)因?yàn)辄c(diǎn)M(m，n)在橢圓C上，所以＋n2＝1<m2＋n2，于是0<m2≤3.因?yàn)閨AB|＝2＝2，所以S△OAB＝·|AB|·d＝＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)1＝m2時(shí)等號成立，所以m2＝∈(0,3]．因此當(dāng)m＝±，n＝±時(shí)等號成立．所以滿足要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)為，，或，此時(shí)對應(yīng)的三角形的面積均達(dá)到最大值.（7）定值問題

【典型例題】(2014·江西高考理科·T20)如圖,已知雙曲線Cn:-y2=1(a>0)的右焦點(diǎn)F,點(diǎn)A,B分別在C的兩條漸近線上,AF⊥x軸,AB⊥OB,BF∥OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).(1)求雙曲線C的方程.(2)過C上一點(diǎn)P(x0,y0)(y0≠0)的直線l:-y0y=1與直線AF相交于點(diǎn)M,與直線x=相交于點(diǎn)N,證明點(diǎn)P在C上移動(dòng)時(shí),恒為定值,并求此定值.【解析】(1)設(shè)F(c,0),因?yàn)閎=1,所以c=,直線OB的方程為y=-x,

直線BF的方程為y=(x-c),解得B,又直線OA的方程為y=x,則A,kAB==.又因?yàn)锳B⊥OB,所以·=-1,解得a2=3,

故雙曲線C的方程為-y2=1.(2)由(1)知a=,則直線l的方程為-y0y=1(y0≠0),即y=.因?yàn)橹本€AF的方程為x=2,

所以直線l與AF的交點(diǎn)M,直線l與直線x=的交點(diǎn)為N,,則===·,因?yàn)镻(x0,y0)是C上一點(diǎn),則-=1代入上式得==·=·=,則所求定值為==.【訓(xùn)練】(2013·江西卷)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，a＋b＝3.(1)求橢圓