2023屆高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)導(dǎo)數(shù)解密36專題g專題07 構(gòu)造函數(shù)法解決導(dǎo)數(shù)不等式問(wèn)題(二)含答案

2023屆高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)導(dǎo)數(shù)解密36專題07構(gòu)造函數(shù)法解決導(dǎo)數(shù)不等式問(wèn)題(二)考點(diǎn)四構(gòu)造F(x)＝f(x)±g(x)，F(xiàn)(x)＝f(x)g(x)，F(xiàn)(x)＝eq\f(f(x),g(x))類型的輔助函數(shù)【方法總結(jié)】(1)若F(x)＝f(x)＋axn＋b，則F′(x)＝f′(x)＋naxn－1；(2)若F(x)＝f(x)±g(x)，則F′(x)＝f′(x)±g′(x)；(3)若F(x)＝f(x)g(x)，則F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(4)若F(x)＝eq\f(f(x),g(x))，則F′(x)＝eq\f(f′(x)g(x)－f(x)g′(x),[g(x)]2)．由此得到結(jié)論：(1)出現(xiàn)f′(x)＋naxn－1形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)＋axn＋b；(2)出現(xiàn)f′(x)±g′(x)形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)±g(x)；(3)出現(xiàn)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)g(x)；(4)出現(xiàn)f′(x)g(x)－f(x)g′(x)形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝eq\f(f(x),g(x))．【例題選講】[例1](1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(－1)＝3，對(duì)任意x∈R，f′(x)<3，則f(x)>3x＋6的解集為()A．{x|－1<x<1}B．{x|x>－1}C．{x|x<－1}D．R答案C解析設(shè)g(x)＝f(x)－(3x＋6)，則g′(x)＝f′(x)－3<0，所以g(x)為減函數(shù)，又g(－1)＝f(－1)－3＝0，所以根據(jù)單調(diào)性可知g(x)>0的解集是{x|x<－1}．(2)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)＝1，且對(duì)?x∈R，f′(x)＜eq\f(1,2)，則不等式f(log2x)＞eq\f(log2x＋1,2)的解集為_(kāi)_______．答案(0，2)解析構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－eq\f(1,2)x，則F′(x)＝f′(x)－eq\f(1,2)＜0，∴函數(shù)F(x)在R上是減函數(shù)．由f(1)＝1，得F(1)＝f(1)－eq\f(1,2)＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，∴f(log2x)＞eq\f(log2x＋1,2)?f(log2x)－eq\f(1,2)log2x＞eq\f(1,2)?F(log2x)＞F(1)?log2x＜1?0＜x＜2．(3)定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f(1)＝1，且2f′(x)>1，當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))時(shí)，不等式f(2cosx)>eq\f(3,2)－2sin2eq\f(x,2)的解集為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(4π,3)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(4π,3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))答案D解析令g(x)＝f(x)－eq\f(x,2)－eq\f(1,2)，則g′(x)＝f′(x)－eq\f(1,2)>0，∴g(x)在R上單調(diào)遞增，且g(1)＝f(1)－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝(1，＋∞)時(shí)，h(x)<0，即g′(x)<0，g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，故g(x)max＝g(1)＝eq\f(1,e)，而當(dāng)x→0時(shí)，g(x)→－∞，當(dāng)x→＋∞時(shí)，g(x)→0，若f(x)有兩極值點(diǎn)，只要y＝－m和g(x)的圖象在(0，＋∞)上有兩個(gè)交點(diǎn)，只需0<－m<eq\f(1,e)，故－eq\f(1,e)<m<0．11．已知函數(shù)f(x)＝xlnx－eq\f(1,2)ax2－2x有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．11．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e2)))解析f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，且f′(x)＝lnx－ax－1．根據(jù)題意可得f′(x)在(0，＋∞)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則lnx－ax－1＝0有兩個(gè)不同的正根，從而轉(zhuǎn)化為a＝eq\f(lnx－1,x)有兩個(gè)不同的正根，所以y＝a與y＝eq\f(lnx－1,x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，令h(x)＝eq\f(lnx－1,x)，則h′(x)＝eq\f(2－lnx,x2)，令h′(x)>0得0<x<e2，令h′(x)<0得x>e2，所以函數(shù)h(x)在(0，e2)為增函數(shù)，在(e2，＋∞)為減函數(shù)，又h(e2)＝eq\f(1,e2)，x→0時(shí)，h(x)→－∞，x→＋∞時(shí)，h(x)→0，所以0<a<eq\f(1,e2)．12．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x,ex)－a．若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[0，1)B．(0，1)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))12．答案C解析f′(x)＝eq\f(1－x,ex)，所以f′(x)，f(x)的變化如下表：x(－∞，1)1(1，＋∞)f′(x)