關于時間序列分析

關于時間序列分析3.3時刻序列分析3.3.1時刻序列概述1.差不多概念(1)一樣概念：系統(tǒng)中某一變量的觀測值按時刻順序〔時刻間隔相同〕排列成一個數(shù)值序列，展現(xiàn)研究對象在一定時期內(nèi)的變動過程，從中查找和分析事物的變化特點、進展趨勢和規(guī)律。它是系統(tǒng)中某一變量受其它各種因素阻礙的總結果。(2)研究實質：通過處理推測目標本身的時刻序列數(shù)據(jù)，獲得事物隨時刻過程的演變特性與規(guī)律，進而推測事物的以后進展。它不研究事物之間相互依存的因果關系。(3)假設基礎：慣性原那么。即在一定條件下，被推測事物的過去變化趨勢會連續(xù)到以后。暗示著歷史數(shù)據(jù)存在著某些信息，利用它們能夠說明與推測時刻序列的現(xiàn)在和以后。近大遠小原理〔時刻越近的數(shù)據(jù)阻礙力越大〕和無季節(jié)性、無趨勢性、線性、常數(shù)方差等。(4)研究意義：許多經(jīng)濟、金融、商業(yè)等方面的數(shù)據(jù)差不多上時刻序列數(shù)據(jù)。時刻序列的推測和評估技術相對完善，其推測情形相對明確。專門關注推測目標可用數(shù)據(jù)的數(shù)量和質量，即時刻序列的長度和推測的頻率。2.變動特點(1)趨勢性：某個變量隨著時刻進展或自變量變化，出現(xiàn)一種比較緩慢而長期的連續(xù)上升、下降、停留的同性質變動趨向，但變動幅度可能不等。(2)周期性：某因素由于外部阻礙隨著自然季節(jié)的交替顯現(xiàn)高峰與低谷的規(guī)律。(3)隨機性：個別為隨機變動，整體呈統(tǒng)計規(guī)律。(4)綜合性：實際變化情形一樣是幾種變動的疊加或組合。推測時一樣設法過濾除去不規(guī)那么變動，突出反映趨勢性和周期性變動。3.特點識別認識時刻序列所具有的變動特點，以便在系統(tǒng)推測時選擇采納不同的方法。(1)隨機性：平均分布、無規(guī)那么分布，可能符合某統(tǒng)計分布。(用因變量的散點圖和直方圖及其包含的正態(tài)分布檢驗隨機性，大多數(shù)服從正態(tài)分布。)(2)平穩(wěn)性：樣本序列的自相關函數(shù)在某一固定水平線鄰近擺動，即方差和數(shù)學期望穩(wěn)固為常數(shù)。樣本序列的自相關函數(shù)只是時刻間隔的函數(shù)，與時刻起點無關。其具有對稱性，能反映平穩(wěn)序列的周期性變化。特點識別利用自相關函數(shù)ACF:。卜二丫/丫。

其中Y是y的k階自協(xié)方差，且p=1、-1<P<1。印穩(wěn)過程的自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)都會以某種方式衰減趨

近于0，前者測度當前序列與先前序列之間簡單和常規(guī)的相關程度，后者是在操縱其它先前序列的阻礙后，測度當前序列與某一先前序列之間的相關程度。實際上，推測模型大都難以滿足這些條件，現(xiàn)實的經(jīng)濟、金融、商業(yè)等序列差不多上非穩(wěn)固的，但通過數(shù)據(jù)處理能夠變換為平穩(wěn)的。4.推測類型(1)點推測：確定唯獨的最好推測數(shù)值，其給出了時刻序列以后進展趨勢的一個簡單、直截了當?shù)慕Y果。但常產(chǎn)生一個非零的推測誤差，其不確定程度為點推測值的置信區(qū)間。(2)區(qū)間推測：以后推測值的一個區(qū)間，即期望序列的實際值以某一概率落入該區(qū)間范疇內(nèi)。區(qū)間的長度傳遞了推測不確定性的程度，區(qū)間的中點為點推測值。(3)密度推測：序列以后推測值的一個完整的概率分布。依照密度推測，可建立任意置信水平的區(qū)間推測，但需要額外的假設和涉及復雜的運算方法。5.差不多步驟(1)分析數(shù)據(jù)序列的變化特點。(2)選擇模型形式和參數(shù)檢驗。(3)利用模型進行趨勢推測。(4)評估推測結果并修正模型。3.3.2隨機時刻序列系統(tǒng)中某一因素變量的時刻序列數(shù)據(jù)沒有確定的變化形式，也不能用時刻的確定函數(shù)描述，但能夠用概率統(tǒng)計方法尋求比較合適的隨機模型近似反映其變化規(guī)律。(自變量不直截了當含有時刻變量,但隱含時刻因素)1.自回來AR(p)模型〔R：模型的名稱P：模型的參數(shù)〔自己阻礙自己，但可能存在誤差，誤差即沒有考慮到的因素〕⑴模型形式〔￡越小越好，但不能為0：￡為0表示只受往常Y的歷史的阻礙不受其他因素阻礙〕y=6y+6y+ + 6y+￡式中假設：y的變化要緊與時刻序列的歷史數(shù)據(jù)有關，與其它因t素無關；式中符號：￡不同時刻互不相關，￡與丫歷史序列不相關?？谀Ｐ偷碾A次，滯后的時刻周期，通過實驗和參數(shù)確定;素無關；式中符號：的當前變測值，與間身過去觀測值yt-1、…時y；-滯是同一序列不同時刻測值；、中自回來系數(shù)，通過運算得出的權數(shù)，表達y依靠于過去的程度，且這種依靠關系恒定不變;yt-1、yt-2、……、yt-p同一平穩(wěn)序列過去測值；、中自回來系數(shù)，通過運算得出的權數(shù)，表達y依靠于過去的程度，且這種依靠關系恒定不變;￡隨機干擾誤差項，是0均值、常方差。2、獨立的白噪聲序列，通過估量指定的模型獲得。(2)識別條件當k>p時，有@=0或@服從漸近正態(tài)分布N(0,1/n)且(|@|>2/ni/2)的個數(shù)^4.5%,即平穩(wěn)時刻序列的偏相關系數(shù)”為p步截尾，自相關系數(shù)r逐步衰減而不截尾，那么序列是AR(p)模型。實際中，一樣Ar過程的ACF函數(shù)呈單邊遞減或阻尼振蕩，因此用PACF函數(shù)判別(從p階開始的所有偏自相關系數(shù)均為0)。(3)平穩(wěn)條件一階：|“|<1。二階：@+@<1、@-@<1、|@|<1。@越大，自回來過程的1波動阻礙越持久1。2 1 2 2(4)模型意義僅通過時刻序列變量的自身歷史觀測值來反映有關因素對推測目標的阻礙和作用，不受模型變量相互獨立的假設條件約束，所構成的模型能夠排除一般回來推測方法中由于自變量選擇、多重共線性等造成的困難。.移動平均忖人(6模型(1)模型形式y(tǒng)t=et-eiet-1-e2et-2-……-9p"(2)模型含義用過去各個時期的隨機干擾或推測誤差的線性組合來表達當前推測值。AR(p)的假設條件不滿足時能夠考慮用此形式。總滿足平穩(wěn)條件，因其中參數(shù)e取值對時刻序列的阻礙沒有AR模型中參數(shù)p的阻礙強烈，即那個地點較大的隨機變化可不能改變時刻序列的方向。(3)識別條件當k>q時，有自相關系數(shù)r=0或自相關系數(shù)r服從N(0,1/n(1+2Er2)i/2)且(|r|>2小/2(1+2￡￡)1/2)的個數(shù)W4.5%,即平穩(wěn)時刻序列的目相關系數(shù))為q步截尾，偏相關系數(shù)”逐步衰減而不截尾，那么序列是忖人(6模型。 k實際中，一樣MA過程的PACF函數(shù)呈單邊遞減或阻尼振蕩，因此用ACF函數(shù)判別(從q階開始的所有自相關系數(shù)均為0)。(4)可逆條件一階：|e|<1。二階：|e|<i、e+e<1。當滿足可逆條件時，忖人⑷模型能夠轉換為AR(p)模型.自回來移動平均ARMA(p,q)模型(1)模型形式y(tǒng)="y+@y+ + @y+￡-e￡-e￡ - e￡式中符號：2pt和口是模型的自回來階數(shù)和移2動平均階數(shù);。t-p“和e是不為零的待定系數(shù)；￡獨立的誤差項；y是平穩(wěn)、正態(tài)、零均值的時刻序列。(2)模型含義t使用兩個多項式的比率近似一個較長的AR多項式，即其中p+q個數(shù)比AR(p)模型中階數(shù)p小。前二種模型分別是該種模型的特例。一個ARMA過程可能是AR與MA過程、幾個AR過程、AR與ARMA過程的迭加，也可能是測度誤差較大的AR過程。(3)識別條件平穩(wěn)時刻序列的偏相關系數(shù)”和自相關系數(shù)r均不截尾，但較快收斂到0,那么該時刻序列可能是ARMA(p,q)模型。實際問題中，多數(shù)要用此模型。因此建模解模的要緊工作是求解p、口和“、。的值，檢驗￡和y的值。(4)模型階數(shù)tAIC準那么：最小信息準那么，同時給出ARMA模型階數(shù)和參數(shù)的最正確估量，適用于樣本數(shù)據(jù)較少的問題。目的是判定推測目標的進展過程與哪一隨機過程最為接近。因為只有當樣本量足夠大時，樣本的自相關函數(shù)才專門接近母體的自相關函數(shù)。具體運用時，在規(guī)定范疇內(nèi)使模型階數(shù)從低到高，分別運算AIC值，最后確定使其值最小的階數(shù)是模型的合適階數(shù)。模型參數(shù)最大似然估量時AIC=(n-d)log。2+2(p+q+2)模型參數(shù)最小二乘估量時AIC二nlog。2+(p+q+1)logn式中：n為樣本數(shù)，。2為擬合殘差平方和，d、p、q為參數(shù)。其中：p、q范疇上線是n較小時取n的比例，n較大時取logn的倍數(shù)。實際應用中p、q一樣不超過2。.自回來綜合移動平均ARIMA(p,d,q)模型(1)模型識別平穩(wěn)時刻序列的偏相關系數(shù)”和自相關系數(shù)r均不截尾，且緩慢衰減收斂，那么該時刻序列可能是ARIMA(p,d,q：模型。(2)模型含義模型形式類似ARMA〔p,q〕模型，但數(shù)據(jù)必須通過專門處理。專門當線性時刻序列非平穩(wěn)時，不能直截了當利用ARMA〔p,q〕模型，但能夠利用有限階差分使非平穩(wěn)時刻序列平穩(wěn)化，實際應用中d一樣不超過2。假設時刻序列存在周期性波動，那么可按時刻周期進行差分，目的是將隨機誤差有長久阻礙的時刻序列變成僅有臨時阻礙的時刻序列。即差分處理后新序列符合ARMA(p,q)模型，原序列符合ARIMA(p,d,q)模型。3.3.3建模解模過程.數(shù)據(jù)檢驗檢驗時刻序列樣本的平穩(wěn)性、正態(tài)性、周期性、零均值，進行必要的數(shù)據(jù)處理變換。(1)作直方圖：檢驗正態(tài)性、零均值。按圖形Graphs一直方圖Histogram的順序打開如圖3.15所示的對話框。

17DisplaynarmalcuiveTitles...1 I17DisplaynarmalcuiveTitles...1 IV^iablc：_|Iw.樣本緘Ff替粼據(jù)JPaste-TemplaUrU￡gchartGpeclf^tioncfrom;ResetCancel圖3.15將樣本數(shù)據(jù)送入變量Variable框，選中顯示正態(tài)曲線Displaynormalcurve項，點擊OK運行，輸出帶正態(tài)曲線的直方圖，如圖3.16所示。2樣本數(shù)據(jù)Std.Dev=1.30N=48.002.001210860.00 1.001.502.50-3.00 -2.00 -1.00-2.50 -1.50-.502樣本數(shù)據(jù)Std.Dev=1.30N=48.002.001210860.00 1.001.502.50-3.00 -2.00 -1.00-2.50 -1.50-.50.5040Mean=-.03圖3.16從圖中看出：標準差不為1、均值近似為0，可能需要進行數(shù)據(jù)變換。(2)作相關圖：檢驗平穩(wěn)性、周期性。按圖形Graphs—時刻序列TimeSeries—自相關Autocorrelations的順序打開如圖3.17所示的對話框。CancelPasteReset-DisplayPAulocDFrElallonsIPP^riialautoecirrtlatiions前序號［序號1-Transfarm「CancelPasteReset-DisplayPAulocDFrElallonsIPP^riialautoecirrtlatiions前序號［序號1-Transfarm「MatureIlogtransformFDiffcTEiricie：n |CurrentPeriodicity：NoneOptions...；Variables：得樣本數(shù)據(jù)樣本數(shù)據(jù)］:AutQcorrgl-a.tion:圖3.17將樣本數(shù)據(jù)送入變量Variable框，選中自相關Autocorrelations和偏自相

關PartialAutocorrelations項，暫不選數(shù)據(jù)轉換Transform項，點擊設置項Options,顯現(xiàn)如圖3.18所示對話框。AutocorreLatiuils:UptioilsCancelHelp|MaximumNumberofLags：CancelHelp|Independencemodel「Bartlett'sapproximationHDisplayautocorrelationsatperiodiclags圖3.18因為一樣要求時刻序列樣本數(shù)據(jù)n>50，滯后周期k<n/4,因此此處操縱最大滯后數(shù)值MaximumNumberofLags設定為12。點擊連續(xù)Continue返回自相關主對話框后，點擊OK運行系統(tǒng)，輸出自相關圖如圖3.19所示。樣本數(shù)據(jù)enceLimits樣本數(shù)據(jù)enceLimits圖3.19從圖中看出；樣本序列數(shù)據(jù)的自相關系數(shù)在某一固定水平線鄰近擺動，且按周期性逐步衰減，因此該時刻序列差不多是平穩(wěn)的。(3)數(shù)據(jù)變換：假設時刻序列的正態(tài)性或平穩(wěn)性不夠好，那么需進行數(shù)據(jù)變換。常用有差分變換(利用transform—CreateTimeSeries)和對數(shù)變換(利用Transform—Compute)進行。一樣需反復變換、比較，直到數(shù)據(jù)序列的正態(tài)性、平穩(wěn)性等達到相對最正確。.模型識別分析時刻序列樣本，判別模型的形式類型，確定p、d、q的階數(shù)。(1)判別模型形式和階數(shù)①相關圖法：運行自相關圖后，顯現(xiàn)自相關圖〔圖3.19〕和偏自相關圖〔圖3.20〕。

FCAlaitraPFCAlaitraP圖3.20從圖中看出：自相關系數(shù)和偏相關系數(shù)具有相似的衰減特點：衰減快，相鄰二個值的相關系數(shù)約為0.42，滯后二個周期的值的相關系數(shù)接近0.1，滯后三個周期的值的相關系數(shù)接近0.03。因此，差不多能夠確定該時刻序列為ARMA〔p,q〕模型形式，但還不能確定是ARMA〔1,1〕或是ARMA〔2,2〕模型。但假設前四個自相關系數(shù)分別為0.40、0.16、0.064、0.0256,那么能夠考慮用AR⑴模型。另外，值得說明的是：只是ARMA模型需要檢驗時刻序列的平穩(wěn)性，假設該序列的偏自相關函數(shù)具有顯著性，那么能夠直截了當選擇使用AR模型。實際上，具體應用自相關圖進行模型選擇時，在觀看ACF與PACF函數(shù)中，應注意的關鍵問題是：函數(shù)值衰減的是否快；是否所有ACF之和為-0.5,即進行了過度差分；是否ACF與PACF的某些滯后項顯著和容易說明的峰值等。然而，僅依靠ACF圖形進行時刻序列的模型識別是比較困難的。②參數(shù)估量：從(m,m-1)開始試驗，一樣到m=p+q=1/n。實際應用中，往往從(1,1)、……、(2,2)，逐個運算比較它們的AIC值〔或SBC值〕，取其值最小的確定為模型。(2)建立時刻序列新變量不管是哪種模型形式,時刻序列總是受自身歷史數(shù)據(jù)序列變化的阻礙,因此需將歷史數(shù)據(jù)序列作為一個新的時刻序列變量。按數(shù)據(jù)轉換transform一建立時刻序列CreateTimeSeries的順序展開對話框,圖3.21。圖3.21①在功能Function下拉框中選擇變量轉換的函數(shù)，其中：非季節(jié)差分Differences:運算時刻序列連續(xù)值之間的非季節(jié)性差異。季節(jié)性差分SeasonalDifferences:運算時刻序列跨距間隔恒定值之間的季節(jié)性差異，跨距依照定義的周期確定。領先移動平均Priormovingaverage:運算先前的時刻序列數(shù)值的平均值。中心移動平均Centeredmovingaverage:運算圍繞和包括當前值的時刻序列數(shù)值的平均值。中位數(shù)Runningmedians:運算圍繞和包括當前值的時刻序列的中位數(shù)。累積和Cumulativesum:運算直到包括當前值的時刻序列數(shù)值的累計總數(shù)。滯后順序Lag:依照指定的滯后順序，運算在前觀測量的值。領先順序Lead:依照指定的領先順序，運算連續(xù)觀測量的值。平滑Smoothing:以混合數(shù)據(jù)平滑為基礎，運算連續(xù)觀測量的值。以上各項要緊用在生成差分變量、滯后變量、平移變量，同時還要關注差分、滯后、平移的次數(shù)，以便在建立模型、進行參數(shù)估量時，使方程達到一致。②在順序Order框中填入在前或在后的時刻序列數(shù)值間隔的數(shù)目。在新變量NewVariable框中同意左邊框移來的源變量。在名稱Name框中定義新變量的名稱，但必單擊改變Change方能成立。③單擊OK運行系統(tǒng)，在原數(shù)據(jù)庫中顯現(xiàn)新變量列。另外，假設需產(chǎn)生周期性時刻序列的日期型變量，那么按數(shù)據(jù)Data一定義日期DefineDates的順序展開如圖3.22所示對話框。圖3.22在樣本CasesAre欄中選擇定義日期變量的時亥U間隔，在起始日期FirstCaseIs欄中設定日期變量第一個觀測量的值，單擊OK完成定義。.參數(shù)估量采納最大似然估量或最小二乘估量等方法估量中、。參數(shù)值，并進行顯著性檢驗。按分析Analyze一時刻序列Timeseries-ARIMA模型的順序展開如圖3.23對話框。

圖3.23在圖3.23中：選擇原時刻序列變量進入因變量框；依照模型識別結果和建立的新時刻變量，選擇一個或多個變量進入自變量框；臨時不進行因變量的數(shù)據(jù)轉換；與自變量的選擇對應，依照模型識別結果或實驗的思路設定p、（d）、q的值；選擇模型中包含常數(shù)項；分別單擊儲存和設置按鈕，展開如圖3.24和3.25對話框。圖3.24圖3.24中：在建立變量CreateVariable欄選擇新建變量結果暫存原數(shù)據(jù)文件Addtofile項，也可選擇用新建變量代替原數(shù)據(jù)文件中運算結果Replaceexisting項；在設定置信區(qū)間百分比%ConfidenceIntervals下拉框選擇95；在推測樣本PredictCases欄選擇依照時期給出推測結果的方法。圖3.25圖3.25中：在收斂標準ConvergenceCriteria欄選擇迭代次數(shù)Maximumiterations、參數(shù)變化精度Parameterchange、平方和變化精度Sumofsquareschange，當運算達到其中一個參數(shù)的設定，那么迭代終止；在估量初始值InitialValuesforEstimation欄選擇由過程自動選擇Automatic或由先前模型提供Applyfrompreviousmodel，一樣默認前者；在推測方法ForecastingMethod欄選擇無條件Unconditional或有條件最小二乘法Conditionalleastsquares；在輸出操縱Display欄選擇最初和最終參數(shù)的迭代摘要Initialandfinalparameterswithiterationsummary或詳細資料details、或只顯示最終參數(shù)Finalparametersonly。單擊OK，系統(tǒng)趕忙執(zhí)行，輸出信息如下：MODEL:MOD_1Splitgroupnumber:1Serieslength:48Nomissingdata.Melard'salgorithmwillbeusedforestimation.Conclusionofestimationphase.

Estimationterminatedatiterationnumber7because:Sumofsquaresdecreasedbylessthan.001percent.FINALPARAMETERS:Numberofresiduals48Standarderror 1.1996949Loglikelihood -75.463915AIC 156.92783SBC 162.54143AnalysisofVariance:DFAdj.SumofSquaresResidualVarianceResiduals45 65.099923 1.4392678VariablesintheModel:AR1MA1B SEBT-RATIO APPROX.PROB..02318739 .31945836AR1MA1B SEBT-RATIO APPROX.PROB..02318739 .31945836 .0725835-.44871554 .28829314 -1.5564558.94245925.12660552.92478827CONSTANT-.02421308 .25505018 -.0949346.92478827Thefollowingnewvariablesarebeingcreated:Name LabelFIT_1Fitfor樣本數(shù)據(jù)fromARIMA,MOD_1CONFIT_1ERR_1Errorfor樣本數(shù)據(jù)fromARIMA,MOD_1CONLCL_195%LCLfor樣本數(shù)據(jù)fromARIMA,MOD_1CONUCL_195%UCLfor樣本數(shù)據(jù)fromARIMA,MOD_1CONSEP_1SEoffitfor樣本數(shù)據(jù)fromARIMA,MOD_1CON各個輸出統(tǒng)計量的意義：常數(shù)項：認為是取值恒為1的常數(shù)變量，其系數(shù)確實是自變量為0時因變量的最優(yōu)推測值，也稱為推測基準值