版可自輯文稿-第六章不等式

第六章?*c*c**n?a>ncc2c若無c≠0這個條件，a>?a2>c2就是錯誤結論(c＝0時，取“＝”)． 1 D.解析：選 由性質知選

解析 ＝2＋1＜ 1

1 a0<a<x<b

11

mb bmmm

a a

b＋c答案 a＋c已知a1，a2∈(0,1)，記M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，則M與N的大小關系是( 解析：選 ，即與 3的大?。c3

解

a>1時，a＋2>3當a<1時 3.

(1)(2014·太原診斷)“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的(

“a＋c>b＋d”，因此“a＋c>b＋d”是“a>bc>d”D.

故④正確，故選C. 1 C．a(chǎn)＋b<2 2解析：選 ∵a>b>0，∴11，且|a|>|b|，a＋b>2ab，又2a>2b，∴1a<1b，選

已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范圍

f(x)＝ax2＋bx1<f(－1)≤2,2≤f(1)<4，f(－2)的取值范圍.解：故5<f(－2)<10.故α，β滿足

α＋3β解：

兩式相加，得1≤α＋3β≤7.∴α＋3β的取值范圍為1．“1≤x≤4”是“1≤x2≤16”的 解析：選A 由1≤x≤4可得1≤x2≤16，但由1≤x2≤16可得1≤x≤4或－4≤x≤－1， 1 a－ B．a(chǎn)b|b| D．a(chǎn)解析：選 1有 B．2 D．4 解析：

a<b成立，即ab<0設a，b是非零實數(shù)，若a<b，則下列不等式成立的是( C.1< bab2 解析：選C 當a<0時，a2<b2不一定成立，故A錯．因為ab2－a2b＝ab(b－a)，b－a>0，ab符號不確定，所以ab2與a2b的大小不能確定，故B錯．因為1－

a2b＝a2b2<0，所以ab2<a2bCD項中b與a ①若a>bac2>bc2；②若ac2>bc2，則 解析：c＝02c>0

，則b2＋a2與a＋b的大小關

1

b2

a2

∴a＋

若m＜0，n＞0且m＋n＜0，則下列不等式中成立的是( 解析：選 法二：m＋n＜0?m＜－n?n＜－mm＜0＜nm＜－n＜n＜－m 解析：選

A.，6

B.－6，6 解析：選 由題設得

1 解析：選 ∵1 十三校聯(lián)考 1 ，給出下面四個不等式已知b<ab；④a3>b3.其中不正確的不等式的個數(shù)是 解析：選 由1 ，則 a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.若1＜α＜3，－4＜β＜2，則α－|β|的取值范圍 解析：∵－4＜β 當a>0，b2>1>b，即

a<0即

若 ∴ ∴

a－c2又 a－c2某企業(yè)去年年底給全部的800名員工共2000萬元年終獎，該企業(yè)計劃從今年起，10年內(nèi)每年的年終獎都比上一年增加60萬元，企業(yè)員工每年凈增a人．解：(1)設從今年起的第x年(今年為第1年)該企業(yè)人均年終獎為y萬元2

2333

所以，103(2)2

2

60×800－2

所以60×80－2000a＞0，得1．(2014·濟南調(diào)研)設a>1，且m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a－1)，p＝loga(2a)，則 解析：選B 2(22a>a－以由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知o(a21)>oa(2)>oa(－)，即m>p>n. 西城區(qū)期末)a>b>0，給出下列四個不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③a－b>a－b；④a3＋b3>2a2b. 由a>b>0可得a2>b2，①正確；由a>b>0可得a>b－1而函數(shù)f(x)＝2x在上是增函數(shù)∴b1，正確；∵a>b>0，∴a>b，∴( b2a－b)2＝2＝2b(a－b)>0，∴ 第二 x1＝x2＝－{x|x<x1{x|x≠－bR??1．(2013·浙江高考)設集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，則(?RS)∪T＝( 解析：選 T＝{x|－4≤x≤1}，根據(jù)補集定義，選 不等式ax＋bx＋2>0的解集是－2，3，則a＋b的值是 解析：選 a＝－12，b＝－2.a＋b＝－14.故選不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，則實數(shù)a的取值范圍 ，即∴a>4

若不等式mx2＋2mx＋1>0的解集為R，則m的取值范圍 解析：m＝0時，1>0m≠0

(2)x2－4ax－5a2＞0知(x－5a)(x＋a)＞0.由于a≠0故分a＞0與a＜0討論．a(chǎn)＜0時，x＜5ax＞－a；當a＞0時，x＜－a或x＞5a.Δ的符號進行分類，最后在解：(1)3x2＋2x－8≤0，4解得 4 4所以原不等式的解集為x－2≤x≤3a＞0 aa＞1時，解為1＜x＜1；當a＝1時，解集為?；a0＜a＜1 10＜a＜1時，不等式的解集為x1＜x＜aa＝1時，不等式的解集為a＞1時，不等式的解集為a＞1時，不等式的解集為x 角度一f(x)≥0(x∈R) 解析：根據(jù)題意可得(8sinα)2－4×8cos2α≤02sin2α－cos

α)≤0，即－2≤sinα≤2.0≤α≤π

，6∪6 角度二形如f(x)≥0(x∈[a，b]) 解：f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2ax＝－2＝2①當2<－1a>6f(x)的值于零等價于f(－1)＝1＋(a－4)×(－1)＋4－2a>0，解得a<3，故有a∈?；②當－1≤2≤12≤a≤6只要

f

2

2 a2<0③當2>1a<2f(1)＝1＋(a－4)＋4－2a>0，即a<1，故有a<1.角度三f(x)≥0(m∈[a，b])x解：f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a＝(x－2)a＋x2－4x＋4，令g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4.x<1故當x<1或x>3時，對任意的a∈[－1,1]，函數(shù)f(x)的值于零

，(2)對于二次不等式恒成立問題于0就是相應的二次函數(shù)的圖像在給定的區(qū)間上全x0x軸下方．， 某小商品2013年的價格為8元/件，年銷量是a件．現(xiàn)經(jīng)銷商計劃在2014年該商品的價格降至5.5元/件到7.5元/件之間，經(jīng)，顧客的期望價格是4元/件．經(jīng)測算，k.該商3元/件．[解 k

k(2)

x≥65.5≤x≤7.56元/20142013

80100100x成(1成

8x(2)10260x解：(1)y＝1001x·100181001x

50 所以(2)20(10－x)(50＋8x)≥10260，化簡得8x2－30x＋13≤0. 2≤x≤4x的取值范圍是 1．(2013·高考)不等式|x2－2|<2的解集是() 解析：選 2．設a>0，不等式－c<ax＋b<c的解集是{x|－2<x<1}，則a∶b∶c＝( 解析：選 ∴－a<x<a -a

a2a2

c＝ 15，則 44

2D.2解析：選 由條件知x1，x2為方程2－2x－820的兩根，則8a2，故(2－12＝x＋22－xx2(2a2－4(－82＝36a2＝52得4．(2014·皖南八校聯(lián)考)不等式x2－2x＋5≥a2－3a對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取 解析選A x2－x＋＝x－12＋4的最小為4所以2－x＋5≥2－3a對任數(shù)x恒成立，只需2－3≤4，解得

則不等式f(x)<4的解集 解析：f(x)<4等價于

0<x<3或－4<x≤0.因此，不等式f(x)<4的解集是(－，答案：(－4，A∩B＝(－1，n)，則m＝ ()又A∩B(－1n)答案

1．(2014·濰坊質檢)不等式4≤x－2的解集是 解析：選 ①當x－2>0，即x>2時，不等式可化為(x－2)2≥4，所以x≥4；②當 高考)f(x)<0的解集為xx<－1或x>2f(10>0解集為 A．{x|x<－1x>lg2}B．{x|－1<x<lg2}C．{x|x>－lgD．{x|x<－lg

解析：選 因為一元二次不等式f(x)<0的解集為xx<－1或x>2，所以可設

x＋1)·－2(a<0)，f(10)>0可得(10＋1)·10－2<0，10<2，x<－lg3．(2014·八校聯(lián)考)“0<a<1”是“ax2＋2ax＋1>0的解集是實數(shù)集R”的( 解析：選 當a＝0時，1>0，顯然成立；當a≠0時

故＋1>0R0≤a<1.因此，“0<a<1”是“ax2＋2ax＋1>0關于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集中恰有3個整數(shù)則a的取值范圍是( 解析：選D 原不等式可能為(x－1)(x－a)＜0，當a＞1時得1＜x＜a，此時解集中的整數(shù)為2,3,4，則4＜a≤5，當a＜1時得a＜x＜1，則－3≤a＜－2，故a∈[－3，－2)∪(4,5] －5

－5

D.－∞，－5解析：選B 由Δ＝a2＋8>0，知方程恒有兩個不等實根，又知兩根之積為負，5，且5a的取值范圍為 7．在R上定義運算：x*y＝x(1－y)．若不等式(x－y)*(x＋y)<1對一切實數(shù)x恒成立，則實數(shù)y的取值范圍是 x＋y2－y－1<0x∈RΔ＝12－4×(－1)×(y2－y－1)<0解得 2x＝2，即x＝1時，y取得最小值0，a的取值范圍為9解：(1)mx2－mx－1<0恒成立，若m＝0，顯然－1<0；

要使

－6<0x∈[1,3] 法一

m>0時，g(x)在[1,3]上是增函數(shù)，所以g(x)max＝g(3)?7m－6<0，所 m<7m＝0時，－6<0當g(x)max＝g(1)?m－6<0m<6 6綜上所述：m的取值范圍是mm<7法二：因為

m< m<x因為函數(shù)

6

6所以，m的取值范圍是mm<7

f(x)m當m＝－1，n＝2時，不等式F(x)＞0，a＞0F(x)＞0的解集為{x|x＜－1x＞2}；當a＜0時，不等式F(x)＞0的解集為{x|－1＜x＜2}．a(chǎn)∵a＞0a，即 解析：選 函數(shù)圖像恒在x軸上方，即不等a2＋4a－5＝0a＝－5a＝1.a＝－524x＋3>0，不滿足題意；若a＝1，不等式化為3>0，滿足題意．a(chǎn)2＋4a－5≠0綜上可知，a x)＝x2＋4x＝－f(x)，即f(x)＝－x2－4x，由f(x)>x，可得x>5

x，yz＝2x＋3yx，y畫出平面區(qū)域．避免的重要方法就是首先使二元一次不等式化為則z＝2x－3y的最小值是 解析：選 z＝2x－3yC時，z

，故選 zbb>0時，截距zb

b也取最大值；截距z取最小值時，zb當 z取最大值時，截距bb(2013·陜西高考)若點(x，y)位于曲線y＝|x－1|與y＝2所圍成的封閉區(qū)域，則2x－y的最

作出曲線y＝|x－1|與y＝23

解析：C解

的整點(x，y)9 解析：選C不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部a＝04個整點(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；當a＝－1時，正好增加－1)，(3，－1)5 解析：兩直線方程分別為x－2y＋2＝0與x＋y－1＝0.由(0,0)x－2y＋2＝0x－2y＋2≥0，又(0,0)點在直線x＋y－1＝0左下方可知x＋y－1≥0，即

角度一

則x＋2y的最大值是 5

那么z＝2x－y的最大值為 解析：(1)選 行移動y＝－1x＋1z，可知該直線經(jīng)過y＝2x與x＋y＝1 A1，2時，z有最大值為

(2)選 角度二2．(1)(2013·山東高考)xOy中，M為不等式組x＋2y－1≥0， C已知的不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影MAOM的斜率最小，由直

則x

解析：由題可知x

角度三3．(1)(2013·浙江高考設z＝kxyxy滿足

若z的最大值為12，則實數(shù) ，這時

若點，ax－y

2解析：z＝ax－yx＝0時，y＝－zz＝ax－yy軸上的截距是－z.a的取值范圍為a<－1.2 z [典例](2013·高考)A，B900名客人旅行，A，求租車總數(shù)不超過21輛，且B型車不多于A型車7輛，則最少為()A．31200 B．36000C．36800 D．38400 設租用A型車x輛，B型車y輛，目標函數(shù)為z＝1600x＋2400y，則約束條件為作出可行域，如圖中陰影部分所示，可知目標函數(shù)過點(5,12)時，有最小值zmin＝36 x，yx，y是否是整數(shù)、非負數(shù)等．400A、B原料都不超利潤是()800 B．2400800 D．3100解析：Cxy

出該不等式組表示的平面區(qū)域及直線300x＋400y＝0，平移該直線，當平移到經(jīng)過該平面區(qū)大值是z＝300×4＋400×4＝2800，即該公司可獲得的最大利潤是2800元．

x－y＋2＝0

1k的值為)解析：選D 平面區(qū)域，結合題意得直線kx－y＝0與直線x＋y－4＝0垂直時滿足題意，于是有 質檢)已知O為坐標原點，A(1,2)，點P的坐標(x，y)滿足約束條件

解析：選z＝OA·OP＝x＋2yB(0,1)zmax＝2.故選

z＝5y－x)

高考)x，y滿足約束條件

x＋y 解析：OABC＝x＋yy＝－x＋z經(jīng)過點C(4,0)時，直線在y軸上截距最大，目標函數(shù)z取得最大值，即zmax＝4.

6．(2013·高考)設D為不等式組

D解析：B(1,0)2x－y＝0

|2×1－0|＝255距離為2522

已知點(－3，－1)和點(4，－6)在直線3x－2y－a＝0的兩側，則a的取值范圍為( 解析：選B

解析：選 約束條件表示的可行域如圖中陰影三角形，令x，y滿足約束條件

＋3y＋1的最大值為)解析：選B由約束條件可畫出可行域，平移參照直線2x＋3y＋1＝0可知，在可行域的頂點(3,1)z＝2x＋3y＋14．(2013·卷Ⅱ)已知a＞0，x，y滿足約束條件

z＝2x＋y為1，則 2z＝2x＋yl：y＝－2x＋zy軸上lB(1，－2a)z＝2x＋y的最小值為1，則2－2a＝1，a＝1，故選B.2

x＋2y≤14)解析：選Aa≥8，否則可行域無意義．由圖可知x＋2y在點(6，a－6)處取得最大值2a－6，由2a－6≤14得，a≤10，故選

實數(shù)a的值

＝3

解析：解決本題的關鍵是要讀懂數(shù)學語言，x0，y0∈Z，說明x0，y0是整數(shù)，作出圖形可FzDTAB，AC，AD，AE，AF，BF6條不同

8．(2014·鄭州質檢)x，y滿足條件－y取得最小值，則實數(shù)a的取值范圍

x＝y(tǒng)＝3解析：畫出可行域，如圖，直線3x－5y＋6＝0與＝0交于點M(3,3)，由目標函數(shù)z＝ax－yy＝ax－z－z，當z最小時，－z最大．欲使縱截距－z最大，則

9x，y滿足設

z由z＝4x－3y，得y＝4－z. z＝4x－3yy＝4－zy軸上的截距－z y＝4y＝4－zB時，－z最小，z

由

0(2)∵z＝x＝x－0∴zO5743解：(1)依題意每天生產(chǎn)的傘兵個數(shù)為100－x－y，l0：2x＋3y＝0A時，w

A(50,50)wmax＝550505005501．(2013·高考)設關于x，y的不等式組

選C問題等價于直線x－2y＝2與不等式組所表示的平面m＜0，不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，要使點使得x－2y－2＜0，故－m－2m－2＞0，即m＜－

＝ 則a的值

的

第四 基本不等基本不等式ab≤a>0，b>0a，b的算術平均數(shù)為2，幾何平均數(shù)為abx＋ypx＝y(tǒng)時，xy有最大值是4.(簡記：和定積最大“a>0且b>0”是“2≥ab”成立的 解析：選 由0<x<1，故3－3x>0，則

2，即2

2(a，b同號

＋ 4的最小值為 ＋解析：x＋4＝x－1＋4 x－1＝4x＝3 已知a>0，b>0，a＋b＝1， 2＋b a

2a＝b＝1時取2，當且僅當 ＋

a＋b＋1＝1＋2＋ ∵a，b

，當且僅當 2 1≥42≥8a＝b＝1時取 22

a，b均為正實數(shù)，求證：a2＋b2＋ab≥2證明：a、b所以1＋1 1·1＝2

a2 當且僅當1＝1a＝b 又因為2 2·ab＝2 2＝ab所以11＋ab2＋ab≥2

1＝1

2

＞0，a＞0)x＝3 a＝4a(x>0，a>0)，當且僅當4x＝a，即a＝4x2時取等號

1x＋2y>m2＋2m數(shù)m的取值范圍

x＋2y＝(x＋2y)2＋1＝2＋4y＋x＋2≥8，當且僅當4y＝x，即x＝2y＝4時等 (3)(2013·山東高考改編)設正實數(shù)x，y，z滿足

z，則xyxy· xy· ＝y(tǒng)＋x

在

x＋2y－z的最大值解：由(3)zy＝1時，x＋2y－z

注意：形如

2當x＞0時，則f(x)＝2x的最大值為 x＋12已知log2a＋log2b≥1，則3a＋9b的最小值 22x∴f(x)＝2x＝x

≤

xx＝1x＝1xlog2a＋log2b≥1即 (當且僅當3a＝32b，即a＝2b時取等號又∵a＋2b≥22ab≥4(a＝2b時取等號a＝2b時，3a＋9b即m≤10.故m的最大值為10.答案 — 某廠家擬在2013年舉行促銷活動，經(jīng) 產(chǎn)量)x萬件與年促銷費用m萬元(m≥0)滿足 k(k為常數(shù))，如果不搞促銷活動，則—2013ym[解 ∴1＝3－k?k＝2，∴x＝3－2每件產(chǎn)品 為1.5× (元∴2013年的利潤y＝1.5x× 16

(2)∵m≥0時，16＋(m＋1)≥2當且僅當16＝m＋1?m＝3(萬元)時，ymax＝21(萬元2013321

每年的費都比上一年增加2萬元設該企業(yè)使用該設備x年的年平均污水處理費用為y(單(1)x xx x·xx＝100x＝10x1．已知 2(x＜0)，則f(x)有 ＝ ＝

－x＋1－2≤－2－2＝－4，當且僅當 1，x＝－1

2．(2013·重慶高考改編)3－aa＋6(－6<a<3)的最大值為 2 23D.解析：選 22∴當a＝－3時

3．(2013·福建高考)若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是( 1解析：選 2x＋y(當且僅當2x＝2y時等號成立 11≤41

創(chuàng)新題已知各項為正的等比數(shù)列{an}中，a4與a14的等比中項為22，則2a7＋a11的 解析：a4a14＝(2∴2a7＋a11≥2 解析：由已知得m＋n＝2，所以1 ＝n＝1

n 已知函數(shù) p 數(shù)p的值 x－1＞0，f(x)＝x－1＋p＋1≥2p＋1x＝p＋1f(x)在(1，＋∞)42p＋1＝49

＋4)＞lgsinsinx＋1≥2(x≠kπ，k∈Z)sin2 2x解析：選 取x＝1，則lgx2＋1＝lgx，故排除A；取

sinx＝－1 Bx＝0，則1＝1，故排除 11 1解析：選 ∵a>0，b>0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即

≤2.22若a，b均為大于1的正數(shù)，且ab＝100，則lga·lgb的最大