專題橢圓的焦點三角形

2222橢圓的焦點三角形一知識梳理定義：橢圓(雙曲線)上一點和兩焦點組成的三角形叫焦點三角形；有一個角為直角的焦點三角形叫焦點直角三角形。'性質(zhì)一：該三角形一邊長為焦距，另兩邊的和為定值。所以周長為定值2a+2cb212性質(zhì)二：已知橢圓方程為—+—=1(a>b>0),兩焦點分別為F,F,設(shè)焦點三角ab212形PFF中ZFPF=0,則S1212平形PFF中ZFPF=0,則S1212平PF2證明：記IPF\=r,1PF\=r，1122由橢圓的第一定義得ri+r=2a,?.(ri+J2=4a2?12I件PF2中，由余弦定理得:r2+r212一2rrcos0=(2c)2.12配方得：(r1+r2)2一2r1r2一2rrcos012=4c2.艮卩4a2一2rr(1+cos0)=4c2._2(a_2(a2-c2)_2b2..rr—一.121+cos01+cos0由任意三角形的面積公式得：SAF1PF2=1rrsin0=bSAF1PF2=1rrsin0=b2?血0212=b2?1+cos02.002sinco-22-b?0-b22cos2—2AF!PF2性質(zhì)三：已知橢圓方程為—+——1(a>b>0),兩焦點分別為F,F,設(shè)焦點三角a2b2122b2形PFF中ZFPF—0,則cos0>—-1—1-2e2.并且點P在y軸上是張角最大。i212a2證明：設(shè)PFi一ri，PF2一r2,則在AFiPF2中，由余弦定理得:r2+r2一FF2(r+r)2一2rr一4c24a2一4c2cos0—-421——12———12rr2rr12122rr12A.0A.0B.1C.3D.6圓的一個焦點，則其焦點，且ZFPF=60。，1)12求厶FPF的面積2)12求點P的坐標(biāo)例3已知F圓的一個焦點，則其焦點，且ZFPF=60。，1)12求厶FPF的面積2)12求點P的坐標(biāo)例3已知F、1y2=1(a>b>0)的兩個焦點，橢圓上一點P使ZFPF=90。，12求橢圓離心率e的取值范圍。由焦點三角形性質(zhì)二，cos90o>1-2e2.1.練習(xí)題1上一點P與橢圓兩個焦點F、F的連線互相垂直，則△FPF1212的面積為(A.20)B.22C.28D.242.1的左右焦點為F、1P是橢圓上一點，當(dāng)△FPF的面積122b22b2>-1=-1=1-2e2.當(dāng)切僅當(dāng)r=r，即點p在y軸是cos0J+r、a212(F取的最小值，而角&取得最大值。二典型例題X2y2r例1如圖把橢圓p+市=1的長軸AB分成8分，過每個分點作X軸的垂線交橢圓的上半2516P七個點，F(xiàn)是橢7PF+PF++PF解：只需取橢圓的另一焦點與P,P,……P七個點分別127連接，由結(jié)論1和對稱性可知PFI+IPF+1|PF|=1x(14xPFI+IPF+1丨7丨2例2若P是橢圓羔+手=1上的一點，F(xiàn)、F是10064為1時，PFPF的值為()123-橢圓寧3-橢圓寧+y2=1的左右焦點為F「,P是橢圓上一點，當(dāng)△FPF的面積12最大時，PF-PF的值為()12A.0B.2C.4D.-24.已知橢圓乂+y2=1(a>1)的兩個焦點為F、F,P為橢圓上一點,a212且ZFPF二60。，則IPFI-1PFI的值為()1212142A.1B.—C.D.-3335.已知橢圓的中心在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，F(xiàn)、F為焦點，點P在橢圓上,12直線PF1與丫傾斜角的差為90。，△嚴的面積是20，離心率為寧求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.6F,F是橢圓C:乂+蘭=1的焦點，在C上滿足PF丄PF的點P的個數(shù)為？TOC\o"1-5"\h\z128412A.0B.1C.3D.4x2y27橢圓h+牛=1的焦點為F、F，點P為其上的動點，當(dāng)ZFPF為鈍角時，點P橫941212坐標(biāo)的取值范圍。8已知橢圓的兩個焦點為F、F，過F作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P,若AFPF為等12212腰三角形，則橢圓的離心率為()A至B^2-1C2-邁D邁-1229已知△ABC的頂點B、C在橢圓+y2=1上，頂點A是橢圓的一個焦點,且橢圓的另外一個焦4點在BC邊上，則△ABC的周長是.10設(shè)F,F是橢圓+=1的左、右焦點，點M在橢圓上，若AMFF是直1212角三角形，則AMFF的