湖南省邵陽市邵東三中2023-2023學年高一(上)第三次月考數(shù)學試卷(解析版)

2023-2023學年湖南省邵陽市邵東三中高一（上）第三次月考數(shù)學試卷一、選擇題：（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1．已知A={x|x+1＞0}，B={﹣2，﹣1，0，1}，則（?RA）∩B=（）A．{﹣2，﹣1} B．{﹣2} C．{﹣2，0，1} D．{0，1}2．下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（）A．y=﹣x3 B． C．y=x D．3．函數(shù)圖象的大致形狀是（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)f（x）=﹣log2x，在下列區(qū)間中，函數(shù)f（x）有零點的是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）5．已知函數(shù)f（x）=是（﹣∞，+∞）上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是（）A．（0，3） B．（0，3] C．（0，2） D．（0，2]6．三個數(shù)之間的大小關系是（）A．a(chǎn)＜c＜b B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．如果兩直線a∥b，且a∥平面α，則b與α的位置關系是（）A．相交 B．b∥α或b?α C．b?α D．b∥α8．已知某個幾何體的三視圖如圖，根據(jù)圖中標出的尺寸（單位：cm），可得這個幾何體的體積是（）A． B． C．2000cm3 D．4000cm39．在如圖的正方體中，M、N分別為棱BC和棱CC1的中點，則異面直線AC和MN所成的角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°10．下列命題中正確的個數(shù)是（）①若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi)，則l∥α②若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都平行③若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點④如果兩條平行直線中的一條直線與一個平面垂直，那么另一條直線也與這個平面垂直．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個二、填空題：（本大題共5小題，每小題4分，共20分）11．已知函數(shù)，則f（1）﹣f（3）=．12．已知冪函數(shù)f（x）=k?xa的圖象過點，則k+a=．13．如果兩個球的表面積之比為4：9，那么這兩個球的體積之比為．14．有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖）∠ABC=45°，AB=，AD=1，DC⊥BC，則這塊菜地的面積為．15．如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，已知A1A=1，AD=1，AB=，則體對角線AC1與平面ABCD所成角的大小為．三、解答題：（本大題共6小題，共60分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）16．已知函數(shù)f（x）=（x﹣2）的定義域為集合A，函數(shù)的值域為集合B．（1）求A∪B；（2）若集合C={x|a≤x≤3a﹣1}，且B∩C=C，求實數(shù)a的取值范圍．17．如圖，三角形ABC是等腰直角三角形，∠B=90°，AB=1，直線l經(jīng)過點C且與AB平行，將三角形ABC繞直線l旋轉一周得到一個幾何體．【來源：21cnj*y.co*m】（1）求幾何體的表面積；（2）求幾何體的體積．18．如圖：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱DD1（1）求證：BD1∥平面AEC（2）求證：AC⊥BD1．19．某公司制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案：當銷售利潤不超過20萬元時，按銷售利潤的20%進行獎勵；當銷售利潤超過20萬元時，若超出部分為A萬元，則超出部分按2log5（A+2）進行獎勵，沒超出部分仍按銷售利潤的20%進行獎勵．記獎金總額為y（單位：萬元），銷售利潤為x（單位：萬元）．（1）寫出該公司激勵銷售人員獎勵方案的函數(shù)表達式；（2）如果業(yè)務員老張獲得8萬元的獎勵，那么他的銷售利潤是多少萬元？20．已知函數(shù)f（x）=x2﹣2ax+2，x∈[﹣5，5]（1）求實數(shù)a的取值范圍，使y=f（x）在定義域上是單調(diào)遞減函數(shù)；（2）用g（a）表示函數(shù)y=f（x）的最小值，求g（a）的解析式．21．已知函數(shù)f（x）=3x+λ?3﹣x（λ∈R）．（1）當λ=﹣4時，求函數(shù)f（x）的零點；（2）若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，求實數(shù)λ的值；（3）若不等式f（x）≤6在x∈[0，2]上恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．2023-2023學年湖南省邵陽市邵東三中高一（上）第三次月考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1．已知A={x|x+1＞0}，B={﹣2，﹣1，0，1}，則（?RA）∩B=（）A．{﹣2，﹣1} B．{﹣2} C．{﹣2，0，1} D．{0，1}【考點】交、并、補集的混合運算．【專題】計算題；不等式的解法及應用．【分析】先利用一元一次不等式的解法化簡集合A，再求其在實數(shù)集中的補集，最后求集合B與A的補集的交集即可．2·1·c·n·j·y【解答】解：∵A={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，∴CUA={x|x≤﹣1}，∴（?RA）∩B={x|x≤﹣1}∩{﹣2，﹣1，0，1}={﹣2，﹣1}故選A．【點評】本題主要考查了集合的補集與交集運算，屬于集合運算的常規(guī)題．2．下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（）A．y=﹣x3 B． C．y=x D．【考點】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的判斷．【專題】函數(shù)的性質及應用．【分析】利用基本初等函數(shù)在定義域上的單調(diào)性與奇偶性的知識，判定選項中滿足題意的函數(shù)即可．【解答】解：A中，y=﹣x3是定義域R上的奇函數(shù)，也是減函數(shù)，∴滿足條件；B中，y=x是定義域（0，+∞）上的減函數(shù)，不是奇函數(shù)，∴不滿足條件；C中，y=x是定義域R上的奇函數(shù)，但是增函數(shù)，∴不滿足條件；D中，y=是定義域R上的減函數(shù)，不是奇函數(shù)，∴不滿足條件；故選：A．【點評】本題考查了基本初等函數(shù)在定義域上的單調(diào)性與奇偶性的判定問題，是基礎題．3．函數(shù)圖象的大致形狀是（）A． B． C． D．【考點】指數(shù)函數(shù)的圖像變換．【專題】函數(shù)的性質及應用．【分析】根據(jù)函數(shù)f（x）=，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和值域，結合所給的選項可得結論．【解答】解：函數(shù)=，在（0，+∞）上是減函數(shù)，值域（0，1）．在（﹣∞，0）上是增函數(shù)，值域是（﹣∞，﹣1），故選D．【點評】本小題主要考查指數(shù)函數(shù)的圖象特征，函數(shù)的單調(diào)性和值域，屬于中檔題．4．已知函數(shù)f（x）=﹣log2x，在下列區(qū)間中，函數(shù)f（x）有零點的是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）【考點】函數(shù)的零點．【專題】計算題；函數(shù)思想；試驗法；函數(shù)的性質及應用．【分析】首先判斷函數(shù)f（x）=﹣log2x在（0，+∞）上是減函數(shù)，且連續(xù)；從而由零點的判定定理判斷即可．21*cnjy*com【解答】解：易知函數(shù)f（x）=﹣log2x在（0，+∞）上是減函數(shù)，且連續(xù)；f（1）=1﹣0=1＞0，f（2）=﹣1=﹣＜0；故函數(shù)f（x）有零點的區(qū)間是（1，2）；故選：B．【點評】本題考查了函數(shù)的性質的判斷與應用及零點的判定定理的應用，注意掌握基本初等函數(shù)的性質．5．已知函數(shù)f（x）=是（﹣∞，+∞）上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是（）A．（0，3） B．（0，3] C．（0，2） D．（0，2]【考點】分段函數(shù)的應用．【專題】計算題；函數(shù)的性質及應用．【分析】由條件可得，a﹣3＜0①，2a＞0②，（a﹣3）×1+5≥2a③，求出它們的交集即可．【解答】解：由于函數(shù)f（x）=是（﹣∞，+∞）上的減函數(shù)，則x≤1時，是減函數(shù)，則a﹣3＜0①x＞1時，是減函數(shù)，則2a＞0②由單調(diào)遞減的定義可得，（a﹣3）×1+5≥2a③由①②③解得，0＜a≤2．故選D．【點評】本題考查分段函數(shù)的性質和運用，考查函數(shù)的單調(diào)性和運用，注意各段的單調(diào)性，以及分界點的情況，屬于中檔題和易錯題．6．三個數(shù)之間的大小關系是（）A．a(chǎn)＜c＜b B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考點】對數(shù)值大小的比較．【專題】計算題；函數(shù)思想；數(shù)學模型法；函數(shù)的性質及應用．【分析】判斷三個數(shù)與0，1的大小關系，即可得到結果．【解答】解：∵，∴b＜a＜c．故選：C．【點評】本題考查數(shù)值大小的比較，是基礎題．7．如果兩直線a∥b，且a∥平面α，則b與α的位置關系是（）A．相交 B．b∥α或b?α C．b?α D．b∥α【考點】空間中直線與平面之間的位置關系．【專題】空間位置關系與距離．【分析】若兩直線a∥b，且a∥平面α，根據(jù)線面平行的性質定理及線面平行的判定定理，分b?α和b?α兩種情況討論，可得b與α的位置關系【版權所有：21教育】【解答】解：若a∥平面α，a?β，α∩β=b則直線a∥b，故兩直線a∥b，且a∥平面α，則可能b?α若b?α，則由a∥平面α，令a?β，α∩β=c則直線a∥c，結合a∥b，可得b∥c，由線面平行的判定定理可得b∥α故兩直線a∥b，且a∥平面α，則可能b∥α故選：B【點評】本題考查的知識點是空間中直線與平面之間的位置關系，熟練掌握空間直線與平面平行的判定定理和性質定理是解答的關鍵．【來源：21·世紀·教育·網(wǎng)】8．已知某個幾何體的三視圖如圖，根據(jù)圖中標出的尺寸（單位：cm），可得這個幾何體的體積是（）A． B． C．2000cm3 D．4000cm3【考點】由三視圖求面積、體積．【專題】計算題；作圖題．【分析】由三視圖可知，幾何體是四棱錐，一個側面垂直底面，底面是正方形，根據(jù)數(shù)據(jù)計算其體積．【解答】解：如圖，幾何體是四棱錐，一個側面PBC⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，．故選B．【點評】本題考查三視圖、椎體的體積，考查簡單幾何體的三視圖的運用．培養(yǎng)同學們的空間想象能力和基本的運算能力．9．在如圖的正方體中，M、N分別為棱BC和棱CC1的中點，則異面直線AC和MN所成的角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考點】異面直線及其所成的角．【專題】常規(guī)題型．【分析】連接C1B，D1A，AC，D1C，將MN平移到D1A，根據(jù)異面直線所成角的定義可知∠D1AC為異面直線AC和MN【解答】解：連接C1B，D1A，AC，D1C，MN∥C1∴∠D1AC為異面直線AC和MN而三角形D1AC∴∠D1AC故選C．【點評】本小題主要考查異面直線所成的角、異面直線所成的角的求法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查轉化思想，屬于基礎題．2-1-c-n-j-y10．下列命題中正確的個數(shù)是（）①若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi)，則l∥α②若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都平行③若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點④如果兩條平行直線中的一條直線與一個平面垂直，那么另一條直線也與這個平面垂直．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【考點】命題的真假判斷與應用．【專題】轉化思想；空間位置關系與距離；簡易邏輯．【分析】①若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi)，則l∥α或l與α相交，即可判斷出正誤；②若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的直線平行或為異面直線，即可判斷出正誤；③利用線面平行的定義或性質即可判斷出正誤；利用線面垂直的判定定理即可判斷出正誤．．【解答】解：①若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi)，則l∥α或l與α相交，因此不正確；②若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的直線平行或為異面直線，因此不正確；③若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點，正確；④如果兩條平行直線中的一條直線與一個平面垂直，那么另一條直線也與這個平面垂直，正確．綜上可得：只有③④正確．故選：C．【點評】本題考查了簡易邏輯的判定方法、空間位置關系的判定，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．二、填空題：（本大題共5小題，每小題4分，共20分）11．已知函數(shù)，則f（1）﹣f（3）=7．【考點】函數(shù)的值．【專題】計算題．【分析】通過分段函數(shù)求出f（1）與f（3）的值，即可求出f（1）﹣f（3）的值．【解答】解：由題意可知f（1）=f（4）=42+1=17．f（3）=32+1=10．所以f（1）﹣f（3）=17﹣10=7．故答案為：7．【點評】本題考查分段函數(shù)的應用，函數(shù)值的求法，考查計算能力．12．已知冪函數(shù)f（x）=k?xa的圖象過點，則k+a=．【考點】冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域．【專題】計算題；函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質及應用．【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義，以及函數(shù)值，即可求出．【解答】解：冪函數(shù)f（x）=k?xa的圖象過點，∴k=1，=3a，∴a=﹣，∴k+a=，故答案為：．【點評】本題考查求冪函數(shù)的解析式、對冪函數(shù)求值，屬基本運算的考查．13．如果兩個球的表面積之比為4：9，那么這兩個球的體積之比為8：27．【考點】球的體積和表面積．【專題】計算題；方程思想；綜合法；立體幾何．【分析】根據(jù)球的表面積公式，結合題意算出兩個球的半徑之比為2：3，再由球的體積公式加以計算，可得它們的體積之比，從而得到答案．21·世紀*教育網(wǎng)【解答】解：設兩個球的半徑分別為r、R，∵兩個球的表面積之比為4：9，∴4πr2：4πR2=4：9，即r2：R2=4：9，解之得r：R=2：3因此，兩個球的體積之比為8：27．故答案為：8：27．【點評】本題已知兩個球的表面積之比，求它們的體積之比．著重考查了球的表面積公式、體積公式及其應用的知識，屬于基礎題．14．有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖）∠ABC=45°，AB=，AD=1，DC⊥BC，則這塊菜地的面積為．【考點】平面圖形的直觀圖．【專題】計算題；數(shù)形結合；轉化思想；空間位置關系與距離；立體幾何．【分析】以O點為坐標原點，在直觀圖中建立平面直角坐標系，按斜二測畫直觀圖的原則，找到四邊形ABCD的四個頂點在平面直角坐標系下對應的點，即把直觀圖中的點還原回原圖形中，連結后得到原圖形，然后利用梯形面積公式求解．21cnjy【解答】解：如圖，直觀圖四邊形的邊BC在x′軸上，在原坐標系下在x軸上，長度不變，點A在y′軸上，在原圖形中在y軸上，且BE長度為AB長的2倍，過E作EF∥x軸，且使EF長度等于AD，則點F為點D在原圖形中對應的點．∴四邊形EBCF為四邊形ABCD的原圖形．在直角梯形ABCD中，由AB=，AD=1，得BC=2．∴四邊形EBCF的面積S=（EF+BC）?BE=（1+2）×2=，故答案為：．【點評】本題考查了水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法，考查了原圖形和直觀圖面積之間的關系，難度不大，屬于基礎題．21·cn·jy·com15．如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，已知A1A=1，AD=1，AB=，則體對角線AC1與平面ABCD所成角的大小為30°【考點】直線與平面所成的角．【專題】計算題；空間角．【分析】如圖所示，連接AC，可得體對角線AC1與平面ABCD所成角為∠C1AC，利用勾股定理及銳角三角函數(shù)定義求出即可．【解答】解：連接AC，可得體對角線AC1與平面ABCD所成角為∠C1AC∵在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，已知A1A=1，AD=1，AB=∴C1C=A1A=1，BC=AD=1，根據(jù)勾股定理得：AC==，在Rt△C1AC中，tan∠C1AC===，則∠C1AC=30°故答案為：30°【點評】此題考查了直線與平面所成的角，找出體對角線AC1與平面ABCD所成角為∠C1AC是解本題的關鍵．三、解答題：（本大題共6小題，共60分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）16．已知函數(shù)f（x）=（x﹣2）的定義域為集合A，函數(shù)的值域為集合B．（1）求A∪B；（2）若集合C={x|a≤x≤3a﹣1}，且B∩C=C，求實數(shù)a的取值范圍．【考點】對數(shù)函數(shù)的圖像與性質；交集及其運算．【專題】分類討論；轉化法；函數(shù)的性質及應用．【分析】（1）先求出集合A={x|2＜x≤4}，B={x|﹣2≤x≤3}，再直接取它們的并集；（2）問題等價為C?B，再對集合C分類討論，得出實數(shù)a的取值范圍．【解答】解（1）函數(shù)f（x）的自變量x需滿足條件，解得，2＜x≤4，所以，A={x|2＜x≤4}，對于函數(shù)g（x），因為≤x≤8，所以，g（x）=log2x∈[﹣2，3]，因此，B={x|﹣2≤x≤3}，所以，A∪B={x|﹣2≤x≤4}；（2）由B∩C=C得，C?B，對集合C討論如下：①當C=?時，a＞3a﹣1，解得a＜，因為空集是任何集合的子集，故符合題意；②當C≠?時，需要滿足下列條件：，解得，≤a≤，綜合以上討論得，實數(shù)a的取值范圍為：（﹣∞，]．【點評】本題主要考查了交集及其運算，對數(shù)函數(shù)的圖象與性質，以及空集的性質，體現(xiàn)了分類討論的解題思想，屬于中檔題．21教育名師原創(chuàng)作品17．如圖，三角形ABC是等腰直角三角形，∠B=90°，AB=1，直線l經(jīng)過點C且與AB平行，將三角形ABC繞直線l旋轉一周得到一個幾何體．21*cnjy*com（1）求幾何體的表面積；（2）求幾何體的體積．【考點】旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）．【專題】數(shù)形結合；數(shù)形結合法；立體幾何．【分析】旋轉后的幾何體為一個圓柱挖去一個圓錐后剩下的幾何體．【解答】解：旋轉以后的幾何體是一個圓柱挖去一個圓錐后剩下的幾何體．圓柱和圓錐的底面半徑均為1，高均為1，圓錐的母線長為．（1）S=S圓柱底+S圓柱側+S圓錐側=π×12+2π×1×1+=（3+）π．（2）V=V圓柱﹣V圓錐=π×12×1﹣=．【點評】本題考查了旋轉體的表面積與體積，分析旋轉后所得到的幾何體特征是解題關鍵．18．如圖：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱DD1（1）求證：BD1∥平面AEC（2）求證：AC⊥BD1．【考點】直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定；直線與平面垂直的性質．【專題】證明題．【分析】（1）欲證BD1∥平面EAC，只需在平面EAC內(nèi)找一條直線BD1與平行，根據(jù)中位線定理可知EF∥D1B，滿足線面平行的判定定理所需條件，即可得到結論；（2）根據(jù)正方形的性質及正方體的幾何特征，結合線面垂直的性質，可得AC⊥BD，AC⊥D1D，由線面垂直的判定定理可得AC⊥平面D1DB，再由線面垂直的性質即可得到AC⊥BD1【解答】證明：（1）連接BD交AC于F，連EF．因為F為正方形ABCD對角線的交點，所長F為AC、BD的中點．在DD1B中，E、F分別為DD1、DB的中點，所以EF∥D1B．又EF?平面EAC，所以BD1∥平面EAC．（2）由正方形的性質可得AC⊥BD又由正方體的幾何特征可得：D1D⊥平面ABCD又∵AC?平面ABCD∴AC⊥D1D又∵D1D∩BD=D∴AC⊥平面D1DB∵BD1?平面D1DB∴AC⊥BD1【點評】本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，直線與平面垂直的性質，熟練掌握空間線線，線面垂直及平行的判定定理，性質定理及幾何特征是解答此類問題的關鍵．19．某公司制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案：當銷售利潤不超過20萬元時，按銷售利潤的20%進行獎勵；當銷售利潤超過20萬元時，若超出部分為A萬元，則超出部分按2log5（A+2）進行獎勵，沒超出部分仍按銷售利潤的20%進行獎勵．記獎金總額為y（單位：萬元），銷售利潤為x（單位：萬元）．（1）寫出該公司激勵銷售人員獎勵方案的函數(shù)表達式；（2）如果業(yè)務員老張獲得8萬元的獎勵，那么他的銷售利潤是多少萬元？【考點】函數(shù)模型的選擇與應用．【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用．【分析】（1）分0＜x≤20、x＞20兩種情況討論即可；（2）通過（1）確定x＞20，進而計算可得結論．【解答】解：（1）由題意，得y=；（2）當x∈（0，20]時，y=0.2x∈（0，4]，又∵y=8＞4，∴x＞20，故4+2log5（x﹣18）=8，解得：x=43．答：業(yè)務員老張的銷售利潤是43萬元．【點評】本題考查函數(shù)模型的選擇與應用，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于基礎題．20．已知函數(shù)f（x）=x2﹣2ax+2，x∈[﹣5，5]（1）求實數(shù)a的取值范圍，使y=f（x）在定義域上是單調(diào)遞減函數(shù)；（2）用g（a）表示函數(shù)y=f（x）的最小值，求g（a）的解析式．【考點】函數(shù)解析式的求解及常用方法；函數(shù)單調(diào)性的性質．【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用．【分析】（1）可求出f（x）的對稱軸為x=a，而要使y=f（x）在[﹣5，5]上單調(diào)遞減，則需滿足a≥5，這便得到了a的取值范圍；（2）可討論對稱軸x=a和區(qū)間[﹣5，5]的關系：分a≤﹣5，﹣5＜a＜5，