高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《函數(shù)的奇偶性》教案

高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《函數(shù)的奇偶性》教課方案高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《函數(shù)的奇偶性》教課方案6/6高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《函數(shù)的奇偶性》教課方案專題：函數(shù)的奇偶性★★★★觀察以以下列圖形，你發(fā)現(xiàn)了什么函數(shù)性質(zhì)？知識(shí)梳理1、偶函數(shù)：關(guān)于函數(shù)yf(x)的定義域D內(nèi)的任意實(shí)數(shù)a，都有f(x)f(x)2、奇函數(shù)：關(guān)于函數(shù)yf(x)的定義域D內(nèi)的任意實(shí)數(shù)a，都有f(x)f(x)

3min.；；3、定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)擁有奇偶性的__必要非充分___條件，；4、偶函數(shù)的圖像關(guān)于__y軸對(duì)稱__對(duì)稱，奇函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.特別地，當(dāng)奇函數(shù)f(x)在x0處有定義時(shí)，必有___f(0)0____5、若f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則_____f(x)0_____6、分段函數(shù)的奇偶性必然要分段證明。典例精講33min.例1.（★★★）設(shè)函數(shù)f(x)asin(x1)bsin(x2)，其中a,b,1,2為已知實(shí)常數(shù)，以下關(guān)于函數(shù)f(x)的性質(zhì)判斷正確的命題的序號(hào)是_______________．①若②若

f(0)f()0，則f(x)0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立；2f(0)0，則函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；③若f()0，則函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；2剖析：f(x)asin(x1)bsin(x2)[acos1bcos2]sinx[asin1bsin2]cosxf(0)0asin1bsin20,f()0acos1bcos20。選①②③2牢固練習(xí)：1（★★★★）設(shè)函數(shù)f(x)a1sin(x1)a2sin(x2)...ansin(xn)，其中ai、i（i1,2,...,n，nN*,n2）為已知實(shí)常數(shù)，xR.以下關(guān)于函數(shù)f(x)的性質(zhì)判斷正確的命題的序號(hào)是_______________．①若②若

f(0)f()0，則f(x)0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立；2f(0)0，則函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；③若f()0，則函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；2解：①②③例2.（★★★★）如圖，在直角坐標(biāo)平面的正六邊形ABCDEF,中心在原點(diǎn)，邊長(zhǎng)為a,AB平行于x軸，直線l:ykxt(k為常數(shù))與正六邊形交于M，N兩點(diǎn)，記OMN的面積為S，則關(guān)于函數(shù)Sf(t)的奇偶性的判斷正確的選項(xiàng)是（）A．必然是奇函數(shù)B．—定是偶函數(shù)C．既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)D．奇偶性與k有關(guān)解：設(shè)M點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)M'，N點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為N'，知M'、N'在正六邊形上。當(dāng)直線l在某一個(gè)確定的地址時(shí)，對(duì)應(yīng)有一個(gè)t值，那么易得直線M'N'的斜率仍為k，對(duì)應(yīng)的截距為t，顯然OMN的面積與OM'N'的面積相等。選B。牢固練習(xí)：（★★★★）已知橢圓x2y21及以下3個(gè)函數(shù)：①f(x)x；②f(x)sinx；③f(x)xsinx，169其中函數(shù)圖像能均分該橢圓面積的函數(shù)個(gè)數(shù)有（）．A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)解：奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，能均分橢圓，偶函數(shù)不能夠，故①②滿足，選C。例3.（★★★）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，（1）試證：函數(shù)F(x)f(x)f(x)是偶函數(shù),G(x)f(x)f(x)是奇函數(shù)；（2）試將函數(shù)g(x)ax(a0,a1)表示為一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的和。打破口：注意第（1）、（2）小問(wèn)之間的關(guān)系。解:（1）xR，F(xiàn)(x)f(x)f(x)F(x)，G(x)f(x)f(x)G(x)故F(x)是偶函數(shù)，G(x)是奇函數(shù)。（2）由（1）得，f(x)=f(x)f(x)f(x)f(x)F(x)G(x)22222故()=axaxaxaxaxagx22，其中m(x)2

xaxax是偶函數(shù)，n(x)是奇函數(shù)。2小結(jié)：對(duì)任意一個(gè)函數(shù)f(x)，xD，其中D為對(duì)稱區(qū)間，函數(shù)f(x)必然能夠表示成一個(gè)偶函數(shù)加一個(gè)奇函數(shù)。形式以下：f(x)=f(x)f(x)f(x)f(x)，22其中，F(xiàn)(x)f(x)f(x)f(x)f(x)2為偶函數(shù)，G(x)為奇函數(shù)。2牢固練習(xí)：（★★★★）已知函數(shù)f(x)2x1定義在R上.若f(x)能夠表示為一個(gè)偶函數(shù)g(x)與一個(gè)奇函數(shù)h(x)之和，設(shè)h(x)t，p(t)g(2x)2mh(x)m2m1(mR)，求出p(t)的剖析式；解：假設(shè)f(x)g(x)h(x)①，其中g(shù)(x)為偶函數(shù)，h(x)為奇函數(shù)，則有f(x)g(x)h(x)，即f(x)g(x)h(x)②，由①②，解得g(x)f(x)2f(x)，h(x)f(x)2f(x).∵f(x)定義在R上，∴g(x)，h(x)都定義在R上.∵g(x)f(x)f(x)f(x)f(x)h(x).2g(x)，h(x)2∴滿足g(x)是偶函數(shù)，h(x)是奇函數(shù)，又∵f(x)2x1，∴g(x)f(x)f(x)2x12x12x1，h(x)f(x)f(x)2x12x12x1.222x222x由2x1t，則tR，平方，得t2(2x1222x12，∴g(2x)2x122，2xx)22x22xt22故p(t)t22mtm2m1.例4.（★★★★）已知函數(shù)f(x)為定義在R上的函數(shù)，則命題“存在x0R，使f(x0)f(x0)且f(x0)f(x0)”是命題“f(x)為非奇非偶函數(shù)”的____________________條件。打破口：說(shuō)明一個(gè)函數(shù)不擁有奇偶性平時(shí)是舉反例的。解：充分非必要充分性:存在x0R，使f(x0)f(x0)，說(shuō)明函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)；存在x0R，使f(x0)f(x0)，說(shuō)明函數(shù)f(x)不是奇函數(shù).故f(x)是非奇非偶函數(shù)。3x2,x[1,1]xR，都有f(x)f(x)或f(x)f(x)不用要：f(x)x(，對(duì)任意x,,1)U(1,)牢固練習(xí)：（★★★★）有這么一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：“已知奇函數(shù)fx的定義域是一的確數(shù)R,且fm2,fm222，求m的值”。請(qǐng)問(wèn)m的值能否求出，若能夠，央求出m的值；若不能夠夠請(qǐng)說(shuō)明原由（只需說(shuō)原由）。______________________________________________________________________________________________________解:不能夠，因?yàn)槿鄙贄l件：yfx是單調(diào)的，也許是y與x之間是一一對(duì)應(yīng)的例5.（★★★★）設(shè)函數(shù)yf(x),xR．（1）若函數(shù)yf(x)為偶函數(shù)且圖像關(guān)于直線xa(a0)對(duì)稱，求證yf(x)為周期函數(shù)．（2）若函數(shù)yf(x)為奇函數(shù)且圖像關(guān)于直線xa(a0)對(duì)稱，求證yf(x)是以4a為周期的函數(shù)．（3）請(qǐng)對(duì)（2）中求證的命題進(jìn)行實(shí)行，寫(xiě)出一個(gè)真命題，并予以證明．解：（1）由圖像關(guān)于xa對(duì)稱得f(2ax)f(x)，即f(2ax)f(x)，因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，因此f(x)f(x)，從而f(2ax)f(x)，因此f(x)是以2a為周期的函數(shù)．（2）若f(x)為奇函數(shù)，則圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(x)f(x)，由條件得f(2ax)f(x),f(2ax)f(x)f(x)，因此f(4ax)f(x)，f(x)是以4a為周期的函數(shù)．（3）實(shí)行：若函數(shù)yf(x)圖像關(guān)于點(diǎn)(m,n)對(duì)稱且關(guān)于直線xa(a0)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)是以4(ma)為周期的周期函數(shù)．由條件圖像關(guān)于點(diǎn)(m,n)對(duì)稱，故2nf(x)f(2mx)，又圖像關(guān)于直線xa(a0)對(duì)稱，f(2ax)f(x)，因此2nf(2ax)f(2mx)，即2nf(x)f(2m2ax)．當(dāng)am時(shí)，f(x)n為常值函數(shù)，是周期函數(shù)．當(dāng)am時(shí)，由2nf(x)f(2m2ax)，得42nf(2m2ax)f(4m4ax)2n(2nf(x))f(4m4ax)，因此f[4(ma)x]f(x)，因此f(x)是以4(ma)為周期的函數(shù)．小結(jié)：牢固練習(xí)：1.（★★★★）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x1)與f(x1)都是奇函數(shù)，則()A.f(x)是偶函數(shù)B.f(x)是奇函數(shù)C.f(x)f(x2)D.f(x3)是奇函數(shù)解:Qf(x1)與f(x1)都是奇函數(shù)，f(x1)f(x1),f(x1)f(x1)，函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(1,0)，及點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，函數(shù)f(x)是周期T2(1(1))4的周期函數(shù).f(x14)f(x14),f(x3)f(x3)，即f(x3)是奇函數(shù)。應(yīng)選D.2.（★★★★）設(shè)函數(shù)f(x)在R上滿足f(2x)f(2x),f(7x)f(7x)且在[0,7]上只有f(1)f(3)0.試判斷函數(shù)yf(x)的奇偶性.解：由f(2x)f(2x)得f(1)f(5)∵在x[0,7]上只有f(1)f(3)0，∴f(5)0∴f(1)f(1),且f(1)f(1)故f(x)為非奇非偶函數(shù)。選做題1.（★★★★）已知函數(shù)f(x)|xa|，g(x)x22ax1，aR，且f(x)與g(x)的圖像在y軸上的截5距相等．（1）求a的值；（2）若h(x)f(x)bg(x)，bR，試談?wù)摵瘮?shù)h(x)的奇偶性．解：（1）由題意，f(0)g(0)，即|a|1，又a0，故a1．（2）h(x)f(x)bg(x)|x1|b|x1|，其定義域?yàn)镽，h(x)|x1|b|x1||x1|b|x1|．若h(x)為偶函數(shù)，即h(x)h(x)，則有b1，此時(shí)h(2)4，h(2)4，故h(2)h(2)，即h(x)不為奇函數(shù)；若h(x)為奇函數(shù)，即h(x)h(x)，則b1，此時(shí)h(2)2，h(2)2，故h(2)h(2)，即h(x)不為偶函數(shù)；綜上，當(dāng)且僅當(dāng)b1時(shí)，函數(shù)h(x)為偶函數(shù)，且不為奇函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)b1時(shí)，函數(shù)h(x)為奇函數(shù)，且不為偶函數(shù)，當(dāng)b1時(shí)，函數(shù)h(x)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)．2.（★★★★）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意xZ，都有f(x)f(x1)f(x1)。若f(1)6，f(1)7，則f(2012)f(2012).解：由f(x)f(x1)f(x1)，得f(x1)f(x)f(x