河北省2023年中考數學總復習-精講試題-第一編教材知識梳理篇第2章方程組與不等式組第3節(jié)分式方程及應用

第三節(jié)分式方程及應用河北五年中考命題規(guī)律年份題號考查點考查內容分值總分202313分式方程用分式方程的形式考查分式計算22202312列分式方程以選擇題的形式考查學生根據實際問題列出分式方程的能力222023、2023年未考查20237分式方程的實際應用以修路為背景、考查分式方程的應用33命題規(guī)律縱觀河北近五年中考、分式方程的解法考查了1次、分式方程的應用考查了2次、在分式方程及應用考點中、最多設1道題、分值2～8分．題型有選擇、解答題兩種、難度不大.河北五年中考真題及模擬解分式方程1．(2023河北中考)若eq\f(3－2x,x－1)＝________＋eq\f(1,x－1)、則________中的數是(B)A．－1B．－2C．－3D分式方程的實際應用2．(2023河北中考)在求3x的倒數的值時、嘉淇同學將3x看成了8x、她求得的值比正確答案小5.依上述情形、所列關系式成立的是(B)A.eq\f(1,3x)＝eq\f(1,8x)－5B.eq\f(1,3x)＝eq\f(1,8x)＋5C.eq\f(1,3x)＝8x－5D.eq\f(1,3x)＝8x＋53．(2023河北中考)甲隊修路120m與乙隊修路100m所用天數相同、已知甲隊比乙隊每天多修10m、設甲隊每天修路xm．依題意、下面所列方程正確的是(A)A.eq\f(120,x)＝eq\f(100,x－10)B.eq\f(120,x)＝eq\f(100,x＋10)C.eq\f(120,x－10)＝eq\f(100,x)D.eq\f(120,x＋10)＝eq\f(100,x)4．(2023邯鄲二十五中模擬)端午節(jié)前夕、小東的父母準備購買若干個粽子和咸鴨蛋(每個粽子的價格相同、每個咸鴨蛋的價格相同)．已知粽子的價格比咸鴨蛋的價格貴1.8元、花30元購買粽子的個數與花12元購買咸鴨蛋的個數相同．粽子與咸鴨蛋的價格各是多少？解：設咸鴨蛋的價格是x元、則粽子的價格是(x＋1.8)元．依題意、得eq\f(30,x＋1.8)＝eq\f(12,x).解得x＝1.2、經檢驗、x＝1.2是原方程的解．∴x＋1.8＝3.答：粽子與咸鴨蛋的價格分別是3元和1.2元．,中考考點清單分式方程的概念1．分母中含有__未知數__的方程叫做分式方程．【溫馨提示】“分母中含有未知數”是分式方程與整式方程的根本區(qū)別、也是判斷一個方程是否為分式方程的依據．分式方程的解法2．解法步驟：(1)去分母：將方程兩邊都乘以__最簡公分母__、把它化為整式方程；(2)解這個整式方程；(3)__檢驗__．【溫馨提示】找最簡公分母的方法：(1)取各分式的分母中各項系數的最小公倍數；(2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到；(3)利用字母(或因式)的冪取指數最大的；(4)所得的系數的最小公倍數與各個字母(或因式)的最高次冪的積即為最簡公分母．3．檢驗方法：(1)利用方程的解的概念進行檢驗；(2)將解得的整式方程的根代入__最簡公分母__、看計算結果__是否為0__、不為0就是原方程的根；若為0、則為增根、必須舍去；(3)增根：當分母的值為0時、分式方程__無解__、這樣的根叫做分式方程的__增根__．【溫馨提示】分式方程的增根與無解并非同一個概念、分式方程無解、可能是解為增根、也可能是去分母后的整式方程無解．分式方程的增根是去分母后的整式方程的根、也是使分式方程的分母為0的根．分式方程的應用4．列分式方程解應用題的六個步驟：(1)審：弄清題目中涉及的已知量和未知量以及量與量之間的等量關系；(2)設：設未知數、根據等量關系用含未知數的代數式表示其他未知量；(3)列：根據等量關系、列出方程；(4)解：求出所列方程的解；(5)驗：雙檢驗．①檢驗是否是分式方程的解；②檢驗解是否符合題意；(6)答：寫出答案．5．常見關系：分式方程的應用題主要涉及工作量問題、行程問題等、每個問題中涉及三個量的關系．如：工作時間＝__eq\f(工作量,工作效率)__、時間＝__eq\f(路程,速度)__．【方法點撥】列分式方程解應用題時、要驗根作答、不但要檢驗是否為方程的增根、還要檢驗是否符合題意、即“雙重驗根”．,中考重難點突破分式方程的解法【例1】小明解方程eq\f(1,x)－eq\f(x－2,x)＝1的過程如圖．解：方程兩邊同乘x、得1－(x－2)＝1.①去括號、得1－x－2＝1.②合并同類項、得－x－1＝1.③移項、得－x＝2.④解得x＝－2.⑤∴原方程的解為x＝－2.⑥請指出他解答過程中的錯誤．并寫出正確的解答過程．【解析】本題考查了分式方程的解法、注意：(1)解分式方程的基本思想是“轉化思想”、把分式方程轉化為整式方程求解、注意、去分母時切勿漏乘；(2)解分式方程一定要驗根．【答案】解：小明的解法有三處錯誤．步驟①去分母有誤；步驟②去括號有誤；步驟⑥少檢驗．正確解法為：方程兩邊同乘x、得1－(x－2)＝x.去括號、得1－x＋2＝x.移項、得－x－x＝－1－2.合并同類項、得－2x＝－3.系數化為1、得x＝eq\f(3,2).經檢驗、x＝eq\f(3,2)是分式方程的解．1．(2023陜西中考)分式方程eq\f(1,x＋1)＝eq\f(1,2x)的解是(A)A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－22．分式方程eq\f(4,x)＝eq\f(3,x－1)的解是__x＝4__．含參數的分式方程【例2】(巴中中考)若分式方程eq\f(x,x－1)－eq\f(m,1－x)＝2有增根、則這個增根是________．【解析】本題主要考查了增根的概念：使最簡公分母為0的根叫做分式方程的增根、由分母x－1＝0、得x＝1、這就是方程的增根．(1)增根的求法：令最簡公分母為0得到關于未知數的一元一次方程、解方程求得的解即為增根；(2)求有增根的分式方程中參數的值、應先求出可能的增根、再將其代入化簡后的整式方程、求解關于參數的方程即可．【答案】x＝13．(2023濟寧中考)若關于x的分式方程eq\f(2,x－3)＋eq\f(x＋m,3－x)＝2有增根、則m的值是(A)A．m＝－1B．m＝0C．m＝3D．m＝0或m＝34．(2023石家莊新華模擬)若關于x的分式方程eq\f(m＋2,x－1)＝1的解為正數、則m的取值范圍是(D)A．m>3B．m≠－2C．m>－3且m≠1D．m>－3且m≠－25．已知方程eq\f(1,x－1)＝1的解是k、求關于x的方程x2＋kx＝0的解．解：由eq\f(1,x－1)＝1、解得x＝2、經檢驗x＝2是原方程的解、∴k＝2、∴x2＋2x＝0、解得x1＝0、x2＝－2.6．已知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1))是二元一次方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(mx＋ny＝8，,nx－my＝1))的解、求方程eq\f(m,2x－4)－eq\f(x,x－2)＝eq\f(1,n)的解．解：將eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1))代入方程組、得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝8，,2n－m＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝2，))將eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝2，))代入所求方程、得eq\f(3,2x－4)－eq\f(x,x－2)＝eq\f(1,2)、去分母、得3－2x＝x－2、解得x＝eq\f(5,3)、經檢驗、x＝eq\f(5,3)是原分式方程的解．分式方程的應用【例3】(2023丹東中考)從甲市到乙市乘坐高速列車的路程為180km、乘坐普通列車的路程為240km.高速列車的平均速度是普通列車的平均速度的3倍．高速列車的乘車時間比普通列車的乘車時間縮短了2h【解析】抓住等量關系t高速＝t普－2用代數式表達好相應的量即可．【答案】解：設高速列車平均速度為3xkm/h、普通列車平均速度為xkm/h.依題意、得eq\f(240,x)－2＝eq\f(180,3x)、去分母、得240－2x＝60、解得x＝90、∴3x＝90×3＝270.答：高速列車的平均速度是每小時270km7．(2023石家莊四十三中一模)甲種污水處理器處理25t的污水與乙種污水處理器處理35t的污水所用時間相同、已知乙種污水處理器每小時比甲種污水處理器多處理20t的污水、求兩種污水處理器的污水處理效率．設甲種污水處理器的污水處理效率為xt/h、依題意列方程正確的是(B)A.eq\f(25,x)＝eq\f(35,x－20)B.eq\f(25,x)＝eq\f(35,x＋20)C.eq\f(25,x－20)＝eq\f(35,x)D.eq\f(25,x＋20)＝eq\f(35,x)8．(2023滄州中考模擬)甲、乙兩人做某種機器零件．已知甲每小時比乙多做6個、甲做90個所用的時間與乙做60個所用的時間相等．求甲、乙每小時各做多少個．設甲每小時做x個零件、則列出的方程為__eq\f(90,x)＝eq\f(60,x－6)__．9．甲、乙兩位同學同時為校文化藝術節(jié)制作彩旗．已知甲每小時比乙多做5面彩旗、甲做60面彩旗與乙做50面彩旗所用時間相等、甲、乙每小時各做多少面彩旗？解：設乙每小時做x面彩旗、則甲每小時做(x＋5)面彩旗．依題意、得eq\f(60,x＋5)＝eq\f(50,x)、解得x＝25.經檢驗、x＝25是原方程的解．x＋5＝25＋5＝30.答：甲每小時做30面彩旗、乙每小時做25面彩旗．10．“