2023年中考二次函數(shù)壓軸題匯編

第79頁(yè)〔共79頁(yè)〕2023年中考二次函數(shù)壓軸題匯編2．如圖1，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A〔﹣1，0〕，B〔3，0〕兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．〔1〕求拋物線的表達(dá)式；〔2〕設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為l，l與x軸的交點(diǎn)為D．在直線l上是否存在點(diǎn)M，使得四邊形CDPM是平行四邊形？假設(shè)存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．〔3〕如圖2，連接BC，PB，PC，設(shè)△PBC的面積為S．①求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；②求P點(diǎn)到直線BC的距離的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．3．如圖，拋物線y=a〔x﹣1〕〔x﹣3〕〔a＞0〕與x軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線上另有一點(diǎn)C在x軸下方，且使△OCA∽△OBC．〔1〕求線段OC的長(zhǎng)度；〔2〕設(shè)直線BC與y軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)C是BM的中點(diǎn)時(shí)，求直線BM和拋物線的解析式；〔3〕在〔2〕的條件下，直線BC下方拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形ABPC面積最大？假設(shè)存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．如圖，拋物線y=ax2+bx〔a＜0〕過(guò)點(diǎn)E〔10，0〕，矩形ABCD的邊AB在線段OE上〔點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊〕，點(diǎn)C，D在拋物線上．設(shè)A〔t，0〕，當(dāng)t=2時(shí)，AD=4．〔1〕求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．〔2〕當(dāng)t為何值時(shí)，矩形ABCD的周長(zhǎng)有最大值？最大值是多少？〔3〕保持t=2時(shí)的矩形ABCD不動(dòng)，向右平移拋物線．當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)G，H，且直線GH平分矩形的面積時(shí)，求拋物線平移的距離．5．如圖，點(diǎn)P為拋物線y=x2上一動(dòng)點(diǎn)．〔1〕假設(shè)拋物線y=x2是由拋物線y=〔x+2〕2﹣1通過(guò)圖象平移得到的，請(qǐng)寫(xiě)出平移的過(guò)程；〔2〕假設(shè)直線l經(jīng)過(guò)y軸上一點(diǎn)N，且平行于x軸，點(diǎn)N的坐標(biāo)為〔0，﹣1〕，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥l于M．①問(wèn)題探究：如圖一，在對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一定點(diǎn)F，使得PM=PF恒成立？假設(shè)存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)：假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．②問(wèn)題解決：如圖二，假設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為〔1，5〕，求QP+PF的最小值．6．直線y=x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在線段OA上，從O點(diǎn)出發(fā)，向點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)N在線段AB上，從點(diǎn)A出發(fā)，向點(diǎn)B以每秒個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)，連接MN，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒〔1〕求拋物線解析式；〔2〕當(dāng)t為何值時(shí)，△AMN為直角三角形；〔3〕過(guò)N作NH∥y軸交拋物線于H，連接MH，是否存在點(diǎn)H使MH∥AB，假設(shè)存在，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．如圖，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O〔0，0〕，點(diǎn)A〔1，1〕，點(diǎn)．〔1〕求拋物線解析式；〔2〕連接OA，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OA交拋物線于C，連接OC，求△AOC的面積；〔3〕點(diǎn)M是y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接OM，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥OM交x軸于點(diǎn)N．問(wèn)：是否存在點(diǎn)M，使以點(diǎn)O，M，N為頂點(diǎn)的三角形與〔2〕中的△AOC相似，假設(shè)存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由．8．如圖，二次函數(shù)y=ax2+1〔a≠0，a為實(shí)數(shù)〕的圖象過(guò)點(diǎn)A〔﹣2，2〕，一次函數(shù)y=kx+b〔k≠0，k，b為實(shí)數(shù)〕的圖象l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B〔0，2〕．〔1〕求a值并寫(xiě)出二次函數(shù)表達(dá)式；〔2〕求b值；〔3〕設(shè)直線l與二次函數(shù)圖象交于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M作MC垂直x軸于點(diǎn)C，試證明：MB=MC；〔4〕在〔3〕的條件下，請(qǐng)判斷以線段MN為直徑的圓與x軸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．9．如圖，拋物線y=ax2+x+4的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=3，且與x軸相交于A，B兩點(diǎn)〔B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)〕與y軸交于C點(diǎn)．〔1〕求拋物線的解折式和A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；〔2〕假設(shè)點(diǎn)P是拋物線上B、C兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)〔不與B、C重合〕，那么是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大．假設(shè)存在，請(qǐng)求出△PBC的最大面積；假設(shè)不存在，試說(shuō)明理由；〔3〕假設(shè)M是拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線BC于點(diǎn)N，當(dāng)MN=3時(shí)，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．10．：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A〔0，6〕，B〔6，0〕，C〔﹣2，0〕，點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PAB的面積有最大值？〔3〕過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交線段AB于點(diǎn)D，再過(guò)點(diǎn)P做PE∥x軸交拋物線于點(diǎn)E，連結(jié)DE，請(qǐng)問(wèn)是否存在點(diǎn)P使△PDE為等腰直角三角形？假設(shè)存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2﹣x﹣4與x軸交于A，B兩點(diǎn)〔點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)〕，與y軸交于點(diǎn)C．〔1〕求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；〔2〕點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在線段AB上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，在線段BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為多少秒時(shí)，△PBQ的面積S最大，并求出其最大面積；〔3〕在〔2〕的條件下，當(dāng)△PBQ面積最大時(shí)，在BC下方的拋物線上是否存在點(diǎn)M，使△BMC的面積是△PBQ面積的1.6倍？假設(shè)存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．12．綜合與探究如圖，拋物線y=x﹣4與x軸交于A，B兩點(diǎn)〔點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)〕，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，PM交BC于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AC交x軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．〔1〕求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；〔2〕試探究在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．假設(shè)存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；〔3〕請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示線段QF的長(zhǎng)，并求出m為何值時(shí)QF有最大值．13．拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A〔0，2〕．〔1〕假設(shè)點(diǎn)〔﹣，0〕也在該拋物線上，求a，b滿(mǎn)足的關(guān)系式；〔2〕假設(shè)該拋物線上任意不同兩點(diǎn)M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕都滿(mǎn)足：當(dāng)x1＜x2＜0時(shí)，〔x1﹣x2〕〔y1﹣y2〕＞0；當(dāng)0＜x1＜x2時(shí)，〔x1﹣x2〕〔y1﹣y2〕＜0．以原點(diǎn)O為心，OA為半徑的圓與拋物線的另兩個(gè)交點(diǎn)為B，C，且△ABC有一個(gè)內(nèi)角為60°．①求拋物線的解析式；②假設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱(chēng)，且O，M，N三點(diǎn)共線，求證：PA平分∠MPN．14．如圖，拋物線y=ax2+bx與x軸分別交于原點(diǎn)O和點(diǎn)F〔10，0〕，與對(duì)稱(chēng)軸l交于點(diǎn)E〔5，5〕．矩形ABCD的邊AB在x軸正半軸上，且AB=1，邊AD，BC與拋物線分別交于點(diǎn)M，N．當(dāng)矩形ABCD沿x軸正方向平移，點(diǎn)M，N位于對(duì)稱(chēng)軸l的同側(cè)時(shí)，連接MN，此時(shí)，四邊形ABNM的面積記為S；點(diǎn)M，N位于對(duì)稱(chēng)軸l的兩側(cè)時(shí)，連接EM，EN，此時(shí)五邊形ABNEM的面積記為S．將點(diǎn)A與點(diǎn)O重合的位置作為矩形ABCD平移的起點(diǎn)，設(shè)矩形ABCD平移的長(zhǎng)度為t〔0≤t≤5〕．〔1〕求出這條拋物線的表達(dá)式；〔2〕當(dāng)t=0時(shí)，求S△OBN的值；〔3〕當(dāng)矩形ABCD沿著x軸的正方向平移時(shí)，求S關(guān)于t〔0＜t≤5〕的函數(shù)表達(dá)式，并求出t為何值時(shí)，S有最大值，最大值是多少？15．如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A〔﹣1，0〕，B〔4，0〕，C〔0，2〕三點(diǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔m，0〕，過(guò)點(diǎn)P做x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q，交直線BD于點(diǎn)M．〔1〕求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；〔2〕點(diǎn)F〔0，〕，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試求m為何值時(shí)，四邊形DMQF是平行四邊形？〔3〕點(diǎn)P在線段AB運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B、Q、M為頂點(diǎn)的三角形與△BOD相似？假設(shè)存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．16．如圖，拋物線y=ax2﹣5ax+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，C，E三點(diǎn)，其中A〔﹣3，0〕，C〔0，4〕，點(diǎn)B在x軸上，AC=BC，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)M，N分別是線段CO，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且CM=BN，連接MN，AM，AN．〔1〕求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；〔2〕當(dāng)△CMN是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；〔3〕試求出AM+AN的最小值．17．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A〔﹣1，0〕、B〔3，0〕兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C．〔1〕求拋物線的表達(dá)式；〔2〕如圖②，用寬為4個(gè)單位長(zhǎng)度的直尺垂直于x軸，并沿x軸左右平移，直尺的左右兩邊所在的直線與拋物線相交于P、Q兩點(diǎn)〔點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)〕，連接PQ，在線段PQ上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)D，連接DP、DQ．〔1〕假設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣，求△DPQ面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；〔Ⅱ〕直尺在平移過(guò)程中，△DPQ面積是否有最大值？假設(shè)有，求出面積的最大值；假設(shè)沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為〔2，0〕，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)〔4，1〕，如圖，直線y=x與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，直線l為y=﹣1．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕在l上是否存在一點(diǎn)P，使PA+PB取得最小值？假設(shè)存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．〔3〕知F〔x0，y0〕為平面內(nèi)一定點(diǎn)，M〔m，n〕為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等，求定點(diǎn)F的坐標(biāo)．19．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O〔0，0〕，點(diǎn)A〔1，0〕．拋物線y=x2+mx﹣2m〔m是常數(shù)〕，頂點(diǎn)為P．〔Ⅰ〕當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，求頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；〔Ⅱ〕假設(shè)點(diǎn)P在x軸下方，當(dāng)∠AOP=45°時(shí)，求拋物線的解析式；〔Ⅲ〕無(wú)論m取何值，該拋物線都經(jīng)過(guò)定點(diǎn)H．當(dāng)∠AHP=45°時(shí)，求拋物線的解析式．20．如下圖，將二次函數(shù)y=x2+2x+1的圖象沿x軸翻折，然后向右平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象．函數(shù)y=x2+2x+1的圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn)A．函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn)B，和x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)C，D〔點(diǎn)D位于點(diǎn)C的左側(cè)〕．〔1〕求函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式；〔2〕從點(diǎn)A，C，D三個(gè)點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)和點(diǎn)B構(gòu)造三角形，求構(gòu)造的三角形是等腰三角形的概率；〔3〕假設(shè)點(diǎn)M是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是△ABC三邊上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在以AM為斜邊的Rt△AMN，使△AMN的面積為△ABC面積的？假設(shè)存在，求tan∠MAN的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．21．如圖，拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0〕經(jīng)過(guò)點(diǎn)A〔3，0〕，B〔﹣1，0〕，C〔0，﹣3〕．〔1〕求該拋物線的解析式；〔2〕假設(shè)以點(diǎn)A為圓心的圓與直線BC相切于點(diǎn)M，求切點(diǎn)M的坐標(biāo)；〔3〕假設(shè)點(diǎn)Q在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上，是否存在以點(diǎn)B，C，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？假設(shè)存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．22．頂點(diǎn)為A拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕如圖1，直線AB與x軸相交于點(diǎn)M，y軸相交于點(diǎn)E，拋物線與y軸相交于點(diǎn)F，在直線AB上有一點(diǎn)P，假設(shè)∠OPM=∠MAF，求△POE的面積；〔3〕如圖2，點(diǎn)Q是折線A﹣B﹣C上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QN∥y軸，過(guò)點(diǎn)E作EN∥x軸，直線QN與直線EN相交于點(diǎn)N，連接QE，將△QEN沿QE翻折得到△QEN1，假設(shè)點(diǎn)N1落在x軸上，請(qǐng)直接寫(xiě)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．23．拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A〔0，2〕，且拋物線上任意不同兩點(diǎn)M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕都滿(mǎn)足：當(dāng)x1＜x2＜0時(shí)，〔x1﹣x2〕〔y1﹣y2〕＞0；當(dāng)0＜x1＜x2時(shí)，〔x1﹣x2〕〔y1﹣y2〕＜0．以原點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓與拋物線的另兩個(gè)交點(diǎn)為B，C，且B在C的左側(cè)，△ABC有一個(gè)內(nèi)角為60°．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕假設(shè)MN與直線y=﹣2x平行，且M，N位于直線BC的兩側(cè)，y1＞y2，解決以下問(wèn)題：①求證：BC平分∠MBN；②求△MBC外心的縱坐標(biāo)的取值范圍．24．如圖，二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)O〔0，0〕．A〔8，4〕，與x軸交于另一點(diǎn)B，且對(duì)稱(chēng)軸是直線x=3．〔1〕求該二次函數(shù)的解析式；〔2〕假設(shè)M是OB上的一點(diǎn)，作MN∥AB交OA于N，當(dāng)△ANM面積最大時(shí)，求M的坐標(biāo)；〔3〕P是x軸上的點(diǎn)，過(guò)P作PQ⊥x軸與拋物線交于Q．過(guò)A作AC⊥x軸于C，當(dāng)以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與以O(shè)，A，C為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．25．如圖，拋物線y=ax2+bx+c與兩坐標(biāo)軸相交于點(diǎn)A〔﹣1，0〕、B〔3，0〕、C〔0，3〕，D是拋物線的頂點(diǎn)，E是線段AB的中點(diǎn)．〔1〕求拋物線的解析式，并寫(xiě)出D點(diǎn)的坐標(biāo)；〔2〕F〔x，y〕是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)：①當(dāng)x＞1，y＞0時(shí)，求△BDF的面積的最大值；②當(dāng)∠AEF=∠DBE時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．26．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=ax2+bx+3交x軸于B、C兩點(diǎn)〔點(diǎn)B在左，點(diǎn)C在右〕，交y軸于點(diǎn)A，且OA=OC，B〔﹣1，0〕．〔1〕求此拋物線的解析式；〔2〕如圖2，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，連接CD，點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在C、D兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸交線段CD于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，線段PE長(zhǎng)為d，寫(xiě)出d與t的關(guān)系式〔不要求寫(xiě)出自變量t的取值范圍〕；〔3〕如圖3，在〔2〕的條件下，連接BD，在BD上有一動(dòng)點(diǎn)Q，且DQ=CE，連接EQ，當(dāng)∠BQE+∠DEQ=90°時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．27．拋物線F：y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，且與x軸另一交點(diǎn)為〔﹣，0〕．〔1〕求拋物線F的解析式；〔2〕如圖1，直線l：y=x+m〔m＞0〕與拋物線F相交于點(diǎn)A〔x1，y1〕和點(diǎn)B〔x2，y2〕〔點(diǎn)A在第二象限〕，求y2﹣y1的值〔用含m的式子表示〕；〔3〕在〔2〕中，假設(shè)m=，設(shè)點(diǎn)A′是點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，如圖2．①判斷△AA′B的形狀，并說(shuō)明理由；②平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A、B、A′、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？假設(shè)存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．28．：如圖，一次函數(shù)y=kx﹣1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A〔3，m〕〔m＞0〕，與y軸交于點(diǎn)B．點(diǎn)C在線段AB上，且BC=2AC，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)D．假設(shè)AC=CD．〔1〕求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式；〔2〕一開(kāi)口向下、以直線CD為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，它的頂點(diǎn)為P，假設(shè)過(guò)點(diǎn)P且垂直于AP的直線與x軸的交點(diǎn)為Q〔﹣，0〕，求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式．29．如圖，拋物線y=ax2+bx〔a≠0〕過(guò)點(diǎn)A〔，﹣3〕和點(diǎn)B〔3，0〕．過(guò)點(diǎn)A作直線AC∥x軸，交y軸于點(diǎn)C．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕在拋物線上取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線AC的垂線，垂足為D．連接OA，使得以A，D，P為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)；〔3〕拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得S△AOC=S△AOQ？假設(shè)存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．30．如圖1，拋物線C1：y=ax2﹣2ax+c〔a＜0〕與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔﹣1，0〕，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC=3OA，拋物線C1的頂點(diǎn)為G．〔1〕求出拋物線C1的解析式，并寫(xiě)出點(diǎn)G的坐標(biāo)；〔2〕如圖2，將拋物線C1向下平移k〔k＞0〕個(gè)單位，得到拋物線C2，設(shè)C2與x軸的交點(diǎn)為A′、B′，頂點(diǎn)為G′，當(dāng)△A′B′G′是等邊三角形時(shí)，求k的值：〔3〕在〔2〕的條件下，如圖3，設(shè)點(diǎn)M為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別交拋物線C1、C2于P、Q兩點(diǎn)，試探究在直線y=﹣1上是否存在點(diǎn)N，使得以P、Q、N為頂點(diǎn)的三角形與△AOQ全等，假設(shè)存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)：假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．31．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+x+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C〔0，2〕和點(diǎn)D〔4，﹣2〕．點(diǎn)E是直線y=﹣x+2與二次函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)．〔1〕求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)E的坐標(biāo)．〔2〕如圖①，假設(shè)點(diǎn)M是二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)，且在直線CE的上方，連接MC，OE，ME．求四邊形COEM面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．〔3〕如圖②，經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓交y軸于點(diǎn)F，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．32．如圖，頂點(diǎn)為C〔0，﹣3〕的拋物線y=ax2+b〔a≠0〕與x軸交于A，B兩點(diǎn)，直線y=x+m過(guò)頂點(diǎn)C和點(diǎn)B．〔1〕求m的值；〔2〕求函數(shù)y=ax2+b〔a≠0〕的解析式；〔3〕拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得∠MCB=15°？假設(shè)存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．33．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A〔﹣1，0〕，B〔3，0〕兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)．〔1〕求拋物線的解析式和直線AC的解析式；〔2〕請(qǐng)?jiān)趛軸上找一點(diǎn)M，使△BDM的周長(zhǎng)最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；〔3〕試探究：在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A，P，C為頂點(diǎn)，AC為直角邊的三角形是直角三角形？假設(shè)存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．34．拋物線y=a〔x﹣1〕2過(guò)點(diǎn)〔3，1〕，D為拋物線的頂點(diǎn)．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕假設(shè)點(diǎn)B、C均在拋物線上，其中點(diǎn)B〔0，〕，且∠BDC=90°，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；〔3〕如圖，直線y=kx+4﹣k與拋物線交于P、Q兩點(diǎn)．①求證：∠PDQ=90°；②求△PDQ面積的最小值．35．拋物線y=﹣x2+x﹣1與x軸交于點(diǎn)A，B〔點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)〕，與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D．將拋物線位于直線l：y=t〔t＜〕上方的局部沿直線l向下翻折，拋物線剩余局部與翻折后所得圖形組成一個(gè)“M〞形的新圖象．〔1〕點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)分別為，，；〔2〕如圖①，拋物線翻折后，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處．當(dāng)點(diǎn)E在△ABC內(nèi)〔含邊界〕時(shí)，求t的取值范圍；〔3〕如圖②，當(dāng)t=0時(shí)，假設(shè)Q是“M〞形新圖象上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以CQ為直徑的圓與x軸相切于點(diǎn)P？假設(shè)存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．36．如圖，拋物線y=ax2+4x+c〔a≠0〕經(jīng)過(guò)點(diǎn)A〔﹣1，0〕，點(diǎn)E〔4，5〕，與y軸交于點(diǎn)B，連接AB．〔1〕求該拋物線的解析式；〔2〕將△ABO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F．①當(dāng)點(diǎn)F落在直線AE上時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)和△ABF的面積；②當(dāng)點(diǎn)F到直線AE的距離為時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作直線AE的平行線與拋物線相交，請(qǐng)直接寫(xiě)出交點(diǎn)的坐標(biāo)．37．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=〔x﹣a〕〔x﹣3〕〔0＜a＜3〕的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B〔點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)〕，與y軸交于點(diǎn)D，過(guò)其頂點(diǎn)C作直線CP⊥x軸，垂足為點(diǎn)P，連接AD、BC．〔1〕求點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)；〔2〕假設(shè)△AOD與△BPC相似，求a的值；〔3〕點(diǎn)D、O、C、B能否在同一個(gè)圓上？假設(shè)能，求出a的值；假設(shè)不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．38．如圖，拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0〕與x軸交于原點(diǎn)及點(diǎn)A，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B〔4，8〕，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=﹣2．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕設(shè)直線y=kx+4與拋物線兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2〔x1＜x2〕，當(dāng)時(shí)，求k的值；〔3〕連接OB，點(diǎn)P為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作OB的平行線交直線AB于點(diǎn)Q，當(dāng)S△POQ：S△BOQ=1：2時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．〔坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕之間的距離MN=〕39．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔1，0〕．拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD垂直x軸于點(diǎn)D，交線段AB于點(diǎn)E，使PE=DE．①求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②在直線PD上是否存在點(diǎn)M，使△ABM為直角三角形？假設(shè)存在，求出符合條件的所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．40．如圖1，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的拋物線y=ax2+bx〔a、b為常數(shù)，a≠0〕與x軸相交于另一點(diǎn)A〔3，0〕．直線l：y=x在第一象限內(nèi)和此拋物線相交于點(diǎn)B〔5，t〕，與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸相交于點(diǎn)C．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕在x軸上找一點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、O、C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)A、O、B為頂點(diǎn)的三角形相似，求滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；〔3〕直線l沿著x軸向右平移得到直線l′，l′與線段OA相交于點(diǎn)M，與x軸下方的拋物線相交于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作NE⊥x軸于點(diǎn)E．把△MEN沿直線l′折疊，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在拋物線上時(shí)〔圖2〕，求直線l′的解析式；〔4〕在〔3〕問(wèn)的條件下〔圖3〕，直線l′與y軸相交于點(diǎn)K，把△MOK繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△M′OK′，點(diǎn)F為直線l′上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)△M'FK′為等腰三角形時(shí)，求滿(mǎn)足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)．2023年07月10日139****3005的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一．選擇題〔共1小題〕1．如圖，點(diǎn)A，B在雙曲線y=〔x＞0〕上，點(diǎn)C在雙曲線y=〔x＞0〕上，假設(shè)AC∥y軸，BC∥x軸，且AC=BC，那么AB等于〔〕A． B．2 C．4 D．3【解答】解：點(diǎn)C在雙曲線y=上，AC∥y軸，BC∥x軸，設(shè)C〔a，〕，那么B〔3a，〕，A〔a，〕，∵AC=BC，∴﹣=3a﹣a，解得a=1，〔負(fù)值已舍去〕∴C〔1，1〕，B〔3，1〕，A〔1，3〕，∴AC=BC=2，∴Rt△ABC中，AB=2，應(yīng)選：B．二．解答題〔共39小題〕2．如圖1，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A〔﹣1，0〕，B〔3，0〕兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．〔1〕求拋物線的表達(dá)式；〔2〕設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為l，l與x軸的交點(diǎn)為D．在直線l上是否存在點(diǎn)M，使得四邊形CDPM是平行四邊形？假設(shè)存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．〔3〕如圖2，連接BC，PB，PC，設(shè)△PBC的面積為S．①求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；②求P點(diǎn)到直線BC的距離的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：〔1〕將A〔﹣1，0〕、B〔3，0〕代入y=﹣x2+bx+c，，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3．〔2〕在圖1中，連接PC，交拋物線對(duì)稱(chēng)軸l于點(diǎn)E，∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A〔﹣1，0〕，B〔3，0〕兩點(diǎn)，∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1．當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)C、P關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，此時(shí)存在點(diǎn)M，使得四邊形CDPM是平行四邊形．∵拋物線的表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為〔0，3〕，點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔2，3〕，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔1，6〕；當(dāng)t≠2時(shí)，不存在，理由如下：假設(shè)四邊形CDPM是平行四邊形，那么CE=PE，∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為0，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為0，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)t=1×2﹣0=2．又∵t≠2，∴不存在．〔3〕①在圖2中，過(guò)點(diǎn)P作PF∥y軸，交BC于點(diǎn)F．設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n〔m≠0〕，將B〔3，0〕、C〔0，3〕代入y=mx+n，，解得：，∴直線BC的解析式為y=﹣x+3．∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔t，﹣t2+2t+3〕，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為〔t，﹣t+3〕，∴PF=﹣t2+2t+3﹣〔﹣t+3〕=﹣t2+3t，∴S=PF?OB=﹣t2+t=﹣〔t﹣〕2+．②∵﹣＜0，∴當(dāng)t=時(shí)，S取最大值，最大值為．∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔3，0〕，點(diǎn)C的坐標(biāo)為〔0，3〕，∴線段BC==3，∴P點(diǎn)到直線BC的距離的最大值為=，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔，〕．3．如圖，拋物線y=a〔x﹣1〕〔x﹣3〕〔a＞0〕與x軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線上另有一點(diǎn)C在x軸下方，且使△OCA∽△OBC．〔1〕求線段OC的長(zhǎng)度；〔2〕設(shè)直線BC與y軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)C是BM的中點(diǎn)時(shí)，求直線BM和拋物線的解析式；〔3〕在〔2〕的條件下，直線BC下方拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形ABPC面積最大？假設(shè)存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：〔1〕由題可知當(dāng)y=0時(shí)，a〔x﹣1〕〔x﹣3〕=0，解得：x1=1，x2=3，即A〔1，0〕，B〔3，0〕，∴OA=1，OB=3∵△OCA∽△OBC，∴OC：OB=OA：OC，∴OC2=OA?OB=3，那么OC=；〔2〕∵C是BM的中點(diǎn)，即OC為斜邊BM的中線，∴OC=BC，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，又OC=，點(diǎn)C在x軸下方，∴C〔，﹣〕，設(shè)直線BM的解析式為y=kx+b，把點(diǎn)B〔3，0〕，C〔，﹣〕代入得：，解得：b=﹣，k=，∴y=x﹣，又∵點(diǎn)C〔，﹣〕在拋物線上，代入拋物線解析式，解得：a=，∴拋物線解析式為y=x2﹣x+2；〔3〕點(diǎn)P存在，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為〔x，x2﹣x+2〕，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸交直線BM于點(diǎn)Q，那么Q〔x，x﹣〕，∴PQ=x﹣﹣〔x2﹣x+2〕=﹣x2+3x﹣3，當(dāng)△BCP面積最大時(shí)，四邊形ABPC的面積最大，S△BCP=PQ〔3﹣x〕+PQ〔x﹣〕=PQ=﹣x2+x﹣，當(dāng)x=﹣=時(shí)，S△BCP有最大值，四邊形ABPC的面積最大，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔，﹣〕．4．如圖，拋物線y=ax2+bx〔a＜0〕過(guò)點(diǎn)E〔10，0〕，矩形ABCD的邊AB在線段OE上〔點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊〕，點(diǎn)C，D在拋物線上．設(shè)A〔t，0〕，當(dāng)t=2時(shí)，AD=4．〔1〕求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．〔2〕當(dāng)t為何值時(shí)，矩形ABCD的周長(zhǎng)有最大值？最大值是多少？〔3〕保持t=2時(shí)的矩形ABCD不動(dòng)，向右平移拋物線．當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)G，H，且直線GH平分矩形的面積時(shí)，求拋物線平移的距離．【解答】解：〔1〕設(shè)拋物線解析式為y=ax〔x﹣10〕，∵當(dāng)t=2時(shí)，AD=4，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為〔2，4〕，∴將點(diǎn)D坐標(biāo)代入解析式得﹣16a=4，解得：a=﹣，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣x2+x；〔2〕由拋物線的對(duì)稱(chēng)性得BE=OA=t，∴AB=10﹣2t，當(dāng)x=t時(shí)，AD=﹣t2+t，∴矩形ABCD的周長(zhǎng)=2〔AB+AD〕=2[〔10﹣2t〕+〔﹣t2+t〕]=﹣t2+t+20=﹣〔t﹣1〕2+，∵﹣＜0，∴當(dāng)t=1時(shí)，矩形ABCD的周長(zhǎng)有最大值，最大值為；〔3〕如圖，當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別為〔2，0〕、〔8，0〕、〔8，4〕、〔2，4〕，∴矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔5，2〕，當(dāng)平移后的拋物線過(guò)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)H的坐標(biāo)為〔4，4〕，此時(shí)GH不能將矩形面積平分；當(dāng)平移后的拋物線過(guò)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為〔6，0〕，此時(shí)GH也不能將矩形面積平分；∴當(dāng)G、H中有一點(diǎn)落在線段AD或BC上時(shí)，直線GH不可能將矩形的面積平分，當(dāng)點(diǎn)G、H分別落在線段AB、DC上時(shí)，直線GH過(guò)點(diǎn)P，必平分矩形ABCD的面積，∵AB∥CD，∴線段OD平移后得到的線段GH，∴線段OD的中點(diǎn)Q平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是P，在△OBD中，PQ是中位線，∴PQ=OB=4，所以拋物線向右平移的距離是4個(gè)單位．5．如圖，點(diǎn)P為拋物線y=x2上一動(dòng)點(diǎn)．〔1〕假設(shè)拋物線y=x2是由拋物線y=〔x+2〕2﹣1通過(guò)圖象平移得到的，請(qǐng)寫(xiě)出平移的過(guò)程；〔2〕假設(shè)直線l經(jīng)過(guò)y軸上一點(diǎn)N，且平行于x軸，點(diǎn)N的坐標(biāo)為〔0，﹣1〕，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥l于M．①問(wèn)題探究：如圖一，在對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一定點(diǎn)F，使得PM=PF恒成立？假設(shè)存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)：假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．②問(wèn)題解決：如圖二，假設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為〔1，5〕，求QP+PF的最小值．【解答】解：〔1〕∵拋物線y=〔x+2〕2﹣1的頂點(diǎn)為〔﹣2，﹣1〕∴拋物線y=〔x+2〕2﹣1的圖象向上平移1個(gè)單位，再向右2個(gè)單位得到拋物線y=x2的圖象．〔2〕①存在一定點(diǎn)F，使得PM=PF恒成立．如圖一，過(guò)點(diǎn)P作PB⊥y軸于點(diǎn)B設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為〔a，a2〕∴PM=PF=a2+1∵PB=a∴Rt△PBF中BF=∴OF=1∴點(diǎn)F坐標(biāo)為〔0，1〕②由①，PM=PFQP+PF的最小值為QP+PM的最小值當(dāng)Q、P、M三點(diǎn)共線時(shí)，QP+PM有最小值，最小值為點(diǎn)Q縱坐標(biāo)加M縱坐標(biāo)的絕對(duì)值．∴QP+PF的最小值為6．6．直線y=x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在線段OA上，從O點(diǎn)出發(fā)，向點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)N在線段AB上，從點(diǎn)A出發(fā)，向點(diǎn)B以每秒個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)，連接MN，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒〔1〕求拋物線解析式；〔2〕當(dāng)t為何值時(shí)，△AMN為直角三角形；〔3〕過(guò)N作NH∥y軸交拋物線于H，連接MH，是否存在點(diǎn)H使MH∥AB，假設(shè)存在，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：〔1〕∵直線y=x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔﹣3，0〕，點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔0，3〕．將A〔﹣3，0〕、B〔0，3〕代入y=x2+bx+c，得：，解得：，∴拋物線解析式為y=x2+4x+3．〔2〕當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔﹣t，0〕，點(diǎn)N的坐標(biāo)為〔t﹣3，t〕，∴AM=3﹣t，AN=t．∵△AMN為直角三角形，∠MAN=45°，∴△AMN為等腰直角三角形〔如圖1〕．當(dāng)∠ANM=90°時(shí)，有AM=AN，即3﹣t=2t，解得：t=1；當(dāng)∠AMN=90°時(shí)，有t﹣3=﹣t，解得：t=．綜上所述：當(dāng)t為1秒或秒時(shí)，△AMN為直角三角形．〔3〕設(shè)NH與x軸交于點(diǎn)E，如圖2所示．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔﹣t，0〕，點(diǎn)N的坐標(biāo)為〔t﹣3，t〕，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為〔t﹣3，0〕，點(diǎn)H的坐標(biāo)為〔t﹣3，t2﹣2t〕．∵M(jìn)H∥AB，∴∠EMH=45°，∴△EMH為等腰直角三角形，∴ME=HE，即|2t﹣3|=|t2﹣2t|，解得：t1=1，t2=3〔舍去〕，t3=，t4=﹣〔舍去〕．當(dāng)t=時(shí)，點(diǎn)E在點(diǎn)M的右邊，點(diǎn)H在x軸下方，∴此時(shí)MH⊥AB，∴t=1．∴存在點(diǎn)H使MH∥AB，點(diǎn)H的坐標(biāo)為〔﹣2，﹣1〕．7．如圖，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O〔0，0〕，點(diǎn)A〔1，1〕，點(diǎn)．〔1〕求拋物線解析式；〔2〕連接OA，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OA交拋物線于C，連接OC，求△AOC的面積；〔3〕點(diǎn)M是y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接OM，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥OM交x軸于點(diǎn)N．問(wèn)：是否存在點(diǎn)M，使以點(diǎn)O，M，N為頂點(diǎn)的三角形與〔2〕中的△AOC相似，假設(shè)存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由．【解答】解：〔1〕設(shè)拋物線解析式為y=ax〔x﹣〕，把A〔1，1〕代入得a?1〔1﹣〕=1，解得a=﹣，∴拋物線解析式為y=﹣x〔x﹣〕，即y=﹣x2+x；〔2〕延長(zhǎng)CA交y軸于D，如圖1，∵A〔1，1〕，∴OA=，∠DOA=45°，∴△AOD為等腰直角三角形，∵OA⊥AC，∴OD=OA=2，∴D〔0，2〕，易得直線AD的解析式為y=﹣x+2，解方程組得或，那么C〔5，﹣3〕，∴S△AOC=S△COD﹣S△AOD=×2×5﹣×2×1=4；〔3〕存在．如圖2，作MH⊥x軸于H，AC==4，OA=，設(shè)M〔x，﹣x2+x〕〔x＞0〕，∵∠OHM=∠OAC，∴當(dāng)=時(shí)，△OHM∽△OAC，即=，解方程﹣x2+x=4x得x1=0〔舍去〕，x2=﹣〔舍去〕，解方程﹣x2+x=﹣4x得x1=0〔舍去〕，x2=，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為〔，﹣54〕；當(dāng)=時(shí)，△OHM∽△CAO，即=，解方程﹣x2+x=x得x1=0〔舍去〕，x2=，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為〔，〕，解方程﹣x2+x=﹣x得x1=0〔舍去〕，x2=﹣，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為〔，﹣〕；∵M(jìn)N⊥OM，∴∠OMN=90°，∴∠MON=∠HOM，∴△OMH∽△ONM，∴當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為〔，﹣54〕或〔，〕或〔，﹣〕時(shí)，以點(diǎn)O，M，N為頂點(diǎn)的三角形與〔2〕中的△AOC相似．8．如圖，二次函數(shù)y=ax2+1〔a≠0，a為實(shí)數(shù)〕的圖象過(guò)點(diǎn)A〔﹣2，2〕，一次函數(shù)y=kx+b〔k≠0，k，b為實(shí)數(shù)〕的圖象l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B〔0，2〕．〔1〕求a值并寫(xiě)出二次函數(shù)表達(dá)式；〔2〕求b值；〔3〕設(shè)直線l與二次函數(shù)圖象交于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M作MC垂直x軸于點(diǎn)C，試證明：MB=MC；〔4〕在〔3〕的條件下，請(qǐng)判斷以線段MN為直徑的圓與x軸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【解答】解：〔1〕∵二次函數(shù)y=ax2+1〔a≠0，a為實(shí)數(shù)〕的圖象過(guò)點(diǎn)A〔﹣2，2〕，∴2=4a+1，解得：a=，∴二次函數(shù)表達(dá)式為y=x2+1．〔2〕∵一次函數(shù)y=kx+b〔k≠0，k，b為實(shí)數(shù)〕的圖象l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B〔0，2〕，∴2=k×0+b，∴b=2．〔3〕證明：過(guò)點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，如圖1所示．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔x，x2+1〕，那么MC=x2+1，∴ME=|x|，EB=|x2+1﹣2|=|x2﹣1|，∴MB=，=，=，=，=x2+1．∴MB=MC．〔4〕相切，理由如下：過(guò)點(diǎn)N作ND⊥x軸于D，取MN的中點(diǎn)為P，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)N作NH⊥MC于點(diǎn)H，交PF于點(diǎn)Q，如圖2所示．由〔3〕知NB=ND，∴MN=NB+MB=ND+MC．∵點(diǎn)P為MN的中點(diǎn)，PQ∥MH，∴PQ=MH．∵ND∥HC，NH∥DC，且四個(gè)角均為直角，∴四邊形NDCH為矩形，∴QF=ND，∴PF=PQ+QF=MH+ND=〔ND+MH+HC〕=〔ND+MC〕=MN．∴以MN為直徑的圓與x軸相切．9．如圖，拋物線y=ax2+x+4的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=3，且與x軸相交于A，B兩點(diǎn)〔B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)〕與y軸交于C點(diǎn)．〔1〕求拋物線的解折式和A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；〔2〕假設(shè)點(diǎn)P是拋物線上B、C兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)〔不與B、C重合〕，那么是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大．假設(shè)存在，請(qǐng)求出△PBC的最大面積；假設(shè)不存在，試說(shuō)明理由；〔3〕假設(shè)M是拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線BC于點(diǎn)N，當(dāng)MN=3時(shí)，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：〔1〕∵拋物線y=ax2+x+4的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=3，∴﹣=3，解得：a=﹣，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+4．當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+x+4=0，解得：x1=﹣2，x2=8，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔﹣2，0〕，點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔8，0〕．〔2〕當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣x2+x+4=4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為〔0，4〕．設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b〔k≠0〕．將B〔8，0〕、C〔0，4〕代入y=kx+b，，解得：，∴直線BC的解析式為y=﹣x+4．假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔x，﹣x2+x+4〕，過(guò)點(diǎn)P作PD∥y軸，交直線BC于點(diǎn)D，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)為〔x，﹣x+4〕，如下圖．∴PD=﹣x2+x+4﹣〔﹣x+4〕=﹣x2+2x，∴S△PBC=PD?OB=×8?〔﹣x2+2x〕=﹣x2+8x=﹣〔x﹣4〕2+16．∵﹣1＜0，∴當(dāng)x=4時(shí)，△PBC的面積最大，最大面積是16．∵0＜x＜8，∴存在點(diǎn)P，使△PBC的面積最大，最大面積是16．〔3〕設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔m，﹣m2+m+4〕，那么點(diǎn)N的坐標(biāo)為〔m，﹣m+4〕，∴MN=|﹣m2+m+4﹣〔﹣m+4〕|=|﹣m2+2m|．又∵M(jìn)N=3，∴|﹣m2+2m|=3．當(dāng)0＜m＜8時(shí)，有﹣m2+2m﹣3=0，解得：m1=2，m2=6，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔2，6〕或〔6，4〕；當(dāng)m＜0或m＞8時(shí)，有﹣m2+2m+3=0，解得：m3=4﹣2，m4=4+2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔4﹣2，﹣1〕或〔4+2，﹣﹣1〕．綜上所述：M點(diǎn)的坐標(biāo)為〔4﹣2，﹣1〕、〔2，6〕、〔6，4〕或〔4+2，﹣﹣1〕．10．：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A〔0，6〕，B〔6，0〕，C〔﹣2，0〕，點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PAB的面積有最大值？〔3〕過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交線段AB于點(diǎn)D，再過(guò)點(diǎn)P做PE∥x軸交拋物線于點(diǎn)E，連結(jié)DE，請(qǐng)問(wèn)是否存在點(diǎn)P使△PDE為等腰直角三角形？假設(shè)存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由．【解答】解：〔1〕∵拋物線過(guò)點(diǎn)B〔6，0〕、C〔﹣2，0〕，∴設(shè)拋物線解析式為y=a〔x﹣6〕〔x+2〕，將點(diǎn)A〔0，6〕代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣，所以拋物線解析式為y=﹣〔x﹣6〕〔x+2〕=﹣x2+2x+6；〔2〕如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OB與點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，作AG⊥PM于點(diǎn)G，設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，將點(diǎn)A〔0，6〕、B〔6，0〕代入，得：，解得：，那么直線AB解析式為y=﹣x+6，設(shè)P〔t，﹣t2+2t+6〕其中0＜t＜6，那么N〔t，﹣t+6〕，∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣〔﹣t+6〕=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t，∴S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN?AG+PN?BM=PN?〔AG+BM〕=PN?OB=×〔﹣t2+3t〕×6=﹣t2+9t=﹣〔t﹣3〕2+，∴當(dāng)t=3時(shí)，△PAB的面積有最大值；〔3〕如圖2，∵PH⊥OB于H，∴∠DHB=∠AOB=90°，∴DH∥AO，∵OA=OB=6，∴∠BDH=∠BAO=45°，∵PE∥x軸、PD⊥x軸，∴∠DPE=90°，假設(shè)△PDE為等腰直角三角形，那么PD=PE，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，∴PD=﹣a2+2a+6﹣〔﹣a+6〕=﹣a2+3a，PE=2|2﹣a|，∴﹣a2+3a=2|2﹣a|，解得：a=4或a=5﹣，所以P〔4，6〕或P〔5﹣，3﹣5〕．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2﹣x﹣4與x軸交于A，B兩點(diǎn)〔點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)〕，與y軸交于點(diǎn)C．〔1〕求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；〔2〕點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在線段AB上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，在線段BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為多少秒時(shí)，△PBQ的面積S最大，并求出其最大面積；〔3〕在〔2〕的條件下，當(dāng)△PBQ面積最大時(shí)，在BC下方的拋物線上是否存在點(diǎn)M，使△BMC的面積是△PBQ面積的1.6倍？假設(shè)存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：〔1〕當(dāng)x=0時(shí)，y=x2﹣x﹣4=﹣4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為〔0，﹣4〕；當(dāng)y=0時(shí)，有x2﹣x﹣4=0，解得：x1=﹣2，x2=3，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔﹣2，0〕，點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔3，0〕．〔2〕設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b〔k≠0〕，將B〔3，0〕、C〔0，﹣4〕代入y=kx+b，，解得：，∴直線BC的解析式為y=x﹣4．過(guò)點(diǎn)Q作QE∥y軸，交x軸于點(diǎn)E，如圖1所示，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔2t﹣2，0〕，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為〔3﹣t，﹣t〕，∴PB=3﹣〔2t﹣2〕=5﹣2t，QE=t，∴S△PBQ=PB?QE=﹣t2+2t=﹣〔t﹣〕2+．∵﹣＜0，∴當(dāng)t=時(shí)，△PBQ的面積取最大值，最大值為．〔3〕當(dāng)△PBQ面積最大時(shí)，t=，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔，0〕，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為〔，﹣1〕．假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔m，m2﹣m﹣4〕，那么點(diǎn)F的坐標(biāo)為〔m，m﹣4〕，∴MF=m﹣4﹣〔m2﹣m﹣4〕=﹣m2+2m，∴S△BMC=MF?OB=﹣m2+3m．∵△BMC的面積是△PBQ面積的1.6倍，∴﹣m2+3m=×1.6，即m2﹣3m+2=0，解得：m1=1，m2=2．∵0＜m＜3，∴在BC下方的拋物線上存在點(diǎn)M，使△BMC的面積是△PBQ面積的1.6倍，點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔1，﹣4〕或〔2，﹣〕．12．綜合與探究如圖，拋物線y=x﹣4與x軸交于A，B兩點(diǎn)〔點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)〕，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，PM交BC于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AC交x軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．〔1〕求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；〔2〕試探究在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．假設(shè)存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；〔3〕請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示線段QF的長(zhǎng)，并求出m為何值時(shí)QF有最大值．【解答】解：〔1〕當(dāng)y=0，x﹣4=0，解得x1=﹣3，x2=4，∴A〔﹣3，0〕，B〔4，0〕，當(dāng)x=0，y=x﹣4=﹣4，∴C〔0，﹣4〕；〔2〕AC==5，易得直線BC的解析式為y=x﹣4，設(shè)Q〔m，m﹣4〕〔0＜m＜4〕，當(dāng)CQ=CA時(shí)，m2+〔m﹣4+4〕2=52，解得m1=，m2=﹣〔舍去〕，此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為〔，﹣4〕；當(dāng)AQ=AC時(shí)，〔m+3〕2+〔m﹣4〕2=52，解得m1=1，m2=0〔舍去〕，此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為〔1，﹣3〕；當(dāng)QA=QC時(shí)，〔m+3〕2+〔m﹣4〕2=52，解得m=〔舍去〕，綜上所述，滿(mǎn)足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)為〔，﹣4〕或〔1，﹣3〕；〔3〕解：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥PQ于點(diǎn)G，如圖，那么FG∥x軸．由B〔4，0〕，C〔0，﹣4〕得△OBC為等腰直角三角形∴∠OBC=∠QFG=45∴△FQG為等腰直角三角形，∴FG=QG=FQ，∵PE∥AC，PG∥CO，∴∠FPG=∠ACO，∵∠FGP=∠AOC=90°，∴△FGP～△AOC．∴=，即=，∴PG=FG=?FQ=FQ，∴PQ=PG+GQ=FQ+FQ=FQ，∴FQ=PQ，設(shè)P〔m，m2﹣m﹣4〕〔0＜m＜4〕，那么Q〔m，m﹣4〕，∴PQ=m﹣4﹣〔m2﹣m﹣4〕=﹣m2+m，∴FQ=〔﹣m2+m〕=﹣〔m﹣2〕2+∵﹣＜0，∴QF有最大值．∴當(dāng)m=2時(shí)，QF有最大值．13．拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A〔0，2〕．〔1〕假設(shè)點(diǎn)〔﹣，0〕也在該拋物線上，求a，b滿(mǎn)足的關(guān)系式；〔2〕假設(shè)該拋物線上任意不同兩點(diǎn)M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕都滿(mǎn)足：當(dāng)x1＜x2＜0時(shí)，〔x1﹣x2〕〔y1﹣y2〕＞0；當(dāng)0＜x1＜x2時(shí)，〔x1﹣x2〕〔y1﹣y2〕＜0．以原點(diǎn)O為心，OA為半徑的圓與拋物線的另兩個(gè)交點(diǎn)為B，C，且△ABC有一個(gè)內(nèi)角為60°．①求拋物線的解析式；②假設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱(chēng)，且O，M，N三點(diǎn)共線，求證：PA平分∠MPN．【解答】解：〔1〕∵拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A〔0，2〕，∴c=2．又∵點(diǎn)〔﹣，0〕也在該拋物線上，∴a〔﹣〕2+b〔﹣〕+c=0，∴2a﹣b+2=0〔a≠0〕．〔2〕①∵當(dāng)x1＜x2＜0時(shí)，〔x1﹣x2〕〔y1﹣y2〕＞0，∴x1﹣x2＜0，y1﹣y2＜0，∴當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大；同理：當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小，∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，開(kāi)口向下，∴b=0．∵OA為半徑的圓與拋物線的另兩個(gè)交點(diǎn)為B、C，∴△ABC為等腰三角形，又∵△ABC有一個(gè)內(nèi)角為60°，∴△ABC為等邊三角形．設(shè)線段BC與y軸交于點(diǎn)D，那么BD=CD，且∠OCD=30°，又∵OB=OC=OA=2，∴CD=OC?cos30°=，OD=OC?sin30°=1．不妨設(shè)點(diǎn)C在y軸右側(cè)，那么點(diǎn)C的坐標(biāo)為〔，﹣1〕．∵點(diǎn)C在拋物線上，且c=2，b=0，∴3a+2=﹣1，∴a=﹣1，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2．②證明：由①可知，點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔x1，﹣+2〕，點(diǎn)N的坐標(biāo)為〔x2，﹣+2〕．直線OM的解析式為y=k1x〔k1≠0〕．∵O、M、N三點(diǎn)共線，∴x1≠0，x2≠0，且=，∴﹣x1+=﹣x2+，∴x1﹣x2=﹣，∴x1x2=﹣2，即x2=﹣，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為〔﹣，﹣+2〕．設(shè)點(diǎn)N關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)N′，那么點(diǎn)N′的坐標(biāo)為〔，﹣+2〕．∵點(diǎn)P是點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，∴OP=2OA=4，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔0，4〕．設(shè)直線PM的解析式為y=k2x+4，∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔x1，﹣+2〕，∴﹣+2=k2x1+4，∴k2=﹣，∴直線PM的解析式為y=﹣x+4．∵﹣?+4==﹣+2，∴點(diǎn)N′在直線PM上，∴PA平分∠MPN．14．如圖，拋物線y=ax2+bx與x軸分別交于原點(diǎn)O和點(diǎn)F〔10，0〕，與對(duì)稱(chēng)軸l交于點(diǎn)E〔5，5〕．矩形ABCD的邊AB在x軸正半軸上，且AB=1，邊AD，BC與拋物線分別交于點(diǎn)M，N．當(dāng)矩形ABCD沿x軸正方向平移，點(diǎn)M，N位于對(duì)稱(chēng)軸l的同側(cè)時(shí)，連接MN，此時(shí)，四邊形ABNM的面積記為S；點(diǎn)M，N位于對(duì)稱(chēng)軸l的兩側(cè)時(shí)，連接EM，EN，此時(shí)五邊形ABNEM的面積記為S．將點(diǎn)A與點(diǎn)O重合的位置作為矩形ABCD平移的起點(diǎn)，設(shè)矩形ABCD平移的長(zhǎng)度為t〔0≤t≤5〕．〔1〕求出這條拋物線的表達(dá)式；〔2〕當(dāng)t=0時(shí)，求S△OBN的值；〔3〕當(dāng)矩形ABCD沿著x軸的正方向平移時(shí)，求S關(guān)于t〔0＜t≤5〕的函數(shù)表達(dá)式，并求出t為何值時(shí)，S有最大值，最大值是多少？【解答】解：〔1〕將E〔5，5〕、F〔10，0〕代入y=ax2+bx，，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為y=﹣x2+2x．〔2〕當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔1，0〕，點(diǎn)N的坐標(biāo)為〔1，〕，∴BN=，OB=1，∴S△OBN=BN?OB=．〔3〕①當(dāng)0＜t≤4時(shí)〔圖1〕，點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔t，0〕，點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔t+1，0〕，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔t，﹣t2+2t〕，點(diǎn)N的坐標(biāo)為〔t+1，﹣〔t+1〕2+2〔t+1〕〕，∴AM=﹣t2+2t，BN=﹣〔t+1〕2+2〔t+1〕，∴S=〔AM+BN〕?AB=×1×[﹣t2+2t﹣〔t+1〕2+2〔t+1〕]，=﹣t2+t+，=﹣〔t﹣〕2+，∵﹣＜0，∴當(dāng)t=4時(shí)，S取最大值，最大值為；②當(dāng)4＜t≤5時(shí)〔圖2〕，點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔t，0〕，點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔t+1，0〕，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔t，﹣t2+2t〕，點(diǎn)N的坐標(biāo)為〔t+1，﹣〔t+1〕2+2〔t+1〕〕，∴AM=﹣t2+2t，BN=﹣〔t+1〕2+2〔t+1〕，∴S=〔5﹣t〕〔﹣t2+2t+5〕+〔t﹣4〕[5﹣〔t+1〕2+2〔t+1〕]，=〔t3﹣3t2+5t+25〕+〔﹣t3+t2+t﹣〕，=﹣t2+t﹣，=﹣〔t﹣〕2+，∵﹣＜0，∴當(dāng)t=時(shí)，S取最大值，最大值為．∵=＜，∴當(dāng)t=時(shí)，S有最大值，最大值是．15．如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A〔﹣1，0〕，B〔4，0〕，C〔0，2〕三點(diǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔m，0〕，過(guò)點(diǎn)P做x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q，交直線BD于點(diǎn)M．〔1〕求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；〔2〕點(diǎn)F〔0，〕，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試求m為何值時(shí)，四邊形DMQF是平行四邊形？〔3〕點(diǎn)P在線段AB運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B、Q、M為頂點(diǎn)的三角形與△BOD相似？假設(shè)存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：〔1〕由拋物線過(guò)點(diǎn)A〔﹣1，0〕、B〔4，0〕可設(shè)解析式為y=a〔x+1〕〔x﹣4〕，將點(diǎn)C〔0，2〕代入，得：﹣4a=2，解得：a=﹣，那么拋物線解析式為y=﹣〔x+1〕〔x﹣4〕=﹣x2+x+2；〔2〕由題意知點(diǎn)D坐標(biāo)為〔0，﹣2〕，設(shè)直線BD解析式為y=kx+b，將B〔4，0〕、D〔0，﹣2〕代入，得：，解得：，∴直線BD解析式為y=x﹣2，∵QM⊥x軸，P〔m，0〕，∴Q〔m，﹣m2+m+2〕、M〔m，m﹣2〕，那么QM=﹣m2+m+2﹣〔m﹣2〕=﹣m2+m+4，∵F〔0，〕、D〔0，﹣2〕，∴DF=，∵QM∥DF，∴當(dāng)﹣m2+m+4=時(shí)，四邊形DMQF是平行四邊形，解得：m=﹣1〔舍〕或m=3，即m=3時(shí)，四邊形DMQF是平行四邊形；〔3〕如下圖：∵QM∥DF，∴∠ODB=∠QMB，分以下兩種情況：①當(dāng)∠DOB=∠MBQ=90°時(shí)，△DOB∽△MBQ，那么===，∵∠MBQ=90°，∴∠MBP+∠PBQ=90°，∵∠MPB=∠BPQ=90°，∴∠MBP+∠BMP=90°，∴∠BMP=∠PBQ，∴△MBQ∽△BPQ，∴=，即=，解得：m1=3、m2=4，當(dāng)m=4時(shí)，點(diǎn)P、Q、M均與點(diǎn)B重合，不能構(gòu)成三角形，舍去，∴m=3，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為〔3，2〕；②當(dāng)∠BQM=90°時(shí)，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，△BOD∽△BQM′，此時(shí)m=﹣1，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為〔﹣1，0〕；綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為〔3，2〕或〔﹣1，0〕時(shí)，以點(diǎn)B、Q、M為頂點(diǎn)的三角形與△BOD相似．16．如圖，拋物線y=ax2﹣5ax+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，C，E三點(diǎn)，其中A〔﹣3，0〕，C〔0，4〕，點(diǎn)B在x軸上，AC=BC，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)M，N分別是線段CO，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且CM=BN，連接MN，AM，AN．〔1〕求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；〔2〕當(dāng)△CMN是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；〔3〕試求出AM+AN的最小值．【解答】解：〔1〕把A〔﹣3，0〕，C〔0，4〕代入y=ax2﹣5ax+c得，解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+4；∵AC=BC，CO⊥AB，∴OB=OA=3，∴B〔3，0〕，∵BD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，∴D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，當(dāng)x=3時(shí)，y=﹣×9+×3+4=5，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為〔3，5〕；〔2〕在Rt△OBC中，BC===5，設(shè)M〔0，m〕，那么BN=4﹣m，CN=5﹣〔4﹣m〕=m+1，∵∠MCN=∠OCB，∴當(dāng)=時(shí)，△CMN∽△COB，那么∠CMN=∠COB=90°，即=，解得m=，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為〔0，〕；當(dāng)=時(shí)，△CMN∽△CBO，那么∠CNM=∠COB=90°，即=，解得m=，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為〔0，〕；綜上所述，M點(diǎn)的坐標(biāo)為〔0，〕或〔0，〕；〔3〕連接DN，AD，如圖，∵AC=BC，CO⊥AB，∴OC平分∠ACB，∴∠ACO=∠BCO，∵BD∥OC，∴∠BCO=∠DBC，∵DB=BC=AC=5，CM=BN，∴△ACM≌△DBN，∴AM=DN，∴AM+AN=DN+AN，而DN+AN≥AD〔當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A、N、D共線時(shí)取等號(hào)〕，∴DN+AN的最小值==，∴AM+AN的最小值為．17．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A〔﹣1，0〕、B〔3，0〕兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C．〔1〕求拋物線的表達(dá)式；〔2〕如圖②，用寬為4個(gè)單位長(zhǎng)度的直尺垂直于x軸，并沿x軸左右平移，直尺的左右兩邊所在的直線與拋物線相交于P、Q兩點(diǎn)〔點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)〕，連接PQ，在線段PQ上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)D，連接DP、DQ．〔1〕假設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣，求△DPQ面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；〔Ⅱ〕直尺在平移過(guò)程中，△DPQ面積是否有最大值？假設(shè)有，求出面積的最大值；假設(shè)沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：〔1〕將A〔﹣1，0〕、B〔3，0〕代入y=ax2+bx+3，得：，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3．〔2〕〔I〕當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣時(shí)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔﹣，〕，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為〔，﹣〕．設(shè)直線PQ的表達(dá)式為y=mx+n，將P〔﹣，〕、Q〔，﹣〕代入y=mx+n，得：，解得：，∴直線PQ的表達(dá)式為y=﹣x+．如圖②，過(guò)點(diǎn)D作DE∥y軸交直線PQ于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為〔x，﹣x2+2x+3〕，那么點(diǎn)E的坐標(biāo)為〔x，﹣x+〕，∴DE=﹣x2+2x+3﹣〔﹣x+〕=﹣x2+3x+，∴S△DPQ=DE?〔xQ﹣xP〕=﹣2x2+6x+=﹣2〔x﹣〕2+8．∵﹣2＜0，∴當(dāng)x=時(shí)，△DPQ的面積取最大值，最大值為8，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為〔，〕．〔II〕假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，那么點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為4+t，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔t，﹣t2+2t+3〕，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為〔4+t，﹣〔4+t〕2+2〔4+t〕+3〕，利用待定系數(shù)法易知，直線PQ的表達(dá)式為y=﹣2〔t+1〕x+t2+4t+3．設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為〔x，﹣x2+2x+3〕，那么點(diǎn)E的坐標(biāo)為〔x，﹣2〔t+1〕x+t2+4t+3〕，∴DE=﹣x2+2x+3﹣[﹣2〔t+1〕x+t2+4t+3]=﹣x2+2〔t+2〕x﹣t2﹣4t，∴S△DPQ=DE?〔xQ﹣xP〕=﹣2x2+4〔t+2〕x﹣2t2﹣8t=﹣2[x﹣〔t+2〕]2+8．∵﹣2＜0，∴當(dāng)x=t+2時(shí)，△DPQ的面積取最大值，最大值為8．∴假設(shè)成立，即直尺在平移過(guò)程中，△DPQ面積有最大值，面積的最大值為8．18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為〔2，0〕，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)〔4，1〕，如圖，直線y=x與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，直線l為y=﹣1．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕在l上是否存在一點(diǎn)P，使PA+PB取得最小值？假設(shè)存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．〔3〕知F〔x0，y0〕為平面內(nèi)一定點(diǎn)，M〔m，n〕為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等，求定點(diǎn)F的坐標(biāo)．【解答】解：〔1〕∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為〔2，0〕，設(shè)拋物線的解析式為y=a〔x﹣2〕2．∵該拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)〔4，1〕，∴1=4a，解得：a=，∴拋物線的解析式為y=〔x﹣2〕2=x2﹣x+1．〔2〕聯(lián)立直線AB與拋物線解析式成方程組，得：，解得：，，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔1，〕，點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔4，1〕．作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接AB′交直線l于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB取得最小值〔如圖1所示〕．∵點(diǎn)B〔4，1〕，直線l為y=﹣1，∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為〔4，﹣3〕．設(shè)直線AB′的解析式為y=kx+b〔k≠0〕，將A〔1，〕、B′〔4，﹣3〕代入y=kx+b，得：，解得：，∴直線AB′的解析式為y=﹣x+，當(dāng)y=﹣1時(shí)，有﹣x+=﹣1，解得：x=，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔，﹣1〕．〔3〕∵點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等，∴〔m﹣x0〕2+〔n﹣y0〕2=〔n+1〕2，∴m2﹣2x0m+x02﹣2y0n+y02=2n+1．∵M(jìn)〔m，n〕為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，∴n=m2﹣m+1，∴m2﹣2x0m+x02﹣2y0〔m2﹣m+1〕+y02=2〔m2﹣m+1〕+1，整理得：〔1﹣﹣y0〕m2+〔2﹣2x0+2y0〕m+x02+y02﹣2y0﹣3=0．∵m為任意值，∴，∴，∴定點(diǎn)F的坐標(biāo)為〔2，1〕．19．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O〔0，0〕，點(diǎn)A〔1，0〕．拋物線y=x2+mx﹣2m〔m是常數(shù)〕，頂點(diǎn)為P．〔Ⅰ〕當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，求頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；〔Ⅱ〕假設(shè)點(diǎn)P在x軸下方，當(dāng)∠AOP=45°時(shí)，求拋物線的解析式；〔Ⅲ〕無(wú)論m取何值，該拋物線都經(jīng)過(guò)定點(diǎn)H．當(dāng)∠AHP=45°時(shí)，求拋物線的解析式．【解答】解：〔Ⅰ〕∵拋物線y=x2+mx﹣2m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A〔1，0〕，∴0=1+m﹣2m，解得：m=1，∴拋物線解析式為y=x2+x﹣2，∵y=x2+x﹣2=〔x+〕2﹣，∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔﹣，﹣〕；〔Ⅱ〕拋物線y=x2+mx﹣2m的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔﹣，﹣〕，由點(diǎn)A〔1，0〕在x軸的正半軸上，點(diǎn)P在x軸的下方，∠AOP=45°知點(diǎn)P在第四象限，如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，那么∠POQ=∠OPQ=45°，可知PQ=OQ，即=﹣，解得：m1=0，m2=﹣10，當(dāng)m=0時(shí)，點(diǎn)P不在第四象限，舍去；∴m=﹣10，∴拋物線的解析式為y=x2﹣10x+20；〔Ⅲ〕由y=x2+mx﹣2m=x2+m〔x﹣2〕可知當(dāng)x=2時(shí)，無(wú)論m取何值時(shí)y都等于4，∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為〔2，4〕，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥AH，交射線HP于點(diǎn)D，分別過(guò)點(diǎn)D、H作x軸的垂線，垂足分別為E、G，那么∠DEA=∠AGH=90°，∵∠DAH=90°，∠AHD=45°，∴∠ADH=45°，∴AH=AD，∵∠DAE+∠HAG=∠AHG+∠HAG=90°，∴∠DAE=∠AHG，∴△ADE≌△HAG，∴DE=AG=1、AE=HG=4，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)為〔﹣3，1〕或〔5，﹣1〕；①當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為〔﹣3，1〕時(shí)，可得直線DH的解析式為y=x+，∵點(diǎn)P〔﹣，﹣〕在直線y=x+上，∴﹣=×〔﹣〕+，解得：m1=﹣4、m2=﹣，當(dāng)m=﹣4時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)H重合，不符合題意，∴m=﹣；②當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為〔5，﹣1〕時(shí)，可得直線DH的解析式為y=﹣x+，∵點(diǎn)P〔﹣，﹣〕在直線y=﹣x+上，∴﹣=﹣×〔﹣〕+，解得：m1=﹣4〔舍〕，m2=﹣，綜上，m=﹣或m=﹣，那么拋物線的解析式為y=x2﹣x+或y=x2﹣x+．20．如下圖，將二次函數(shù)y=x2+2x+1的圖象沿x軸翻折，然后向右平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象．函數(shù)y=x2+2x+1的圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn)A．函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn)B，和x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)C，D〔點(diǎn)D位于點(diǎn)C的左側(cè)〕．〔1〕求函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式；〔2〕從點(diǎn)A，C，D三個(gè)點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)和點(diǎn)B構(gòu)造三角形，求構(gòu)造的三角形是等腰三角形的概率；〔3〕假設(shè)點(diǎn)M是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是△ABC三邊上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在以AM為斜邊的Rt△AMN，使△AMN的面積為△ABC面積的？假設(shè)存在，求tan∠MAN的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：〔1〕y=x2+2x+1=〔x+1〕2的圖象沿x軸翻折，得y=﹣〔x+1〕2．把y=﹣〔x+1〕2向右平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得y=﹣x2+4，∴所求的函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式為y=﹣x2+4；〔2〕∵y=x2+2x+1=〔x+1〕2，∴A〔﹣1，0〕，當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+4=0，解得x=±2，那么D〔﹣2，0〕，C〔2，0〕；當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣x2+4=4，那么B〔0，4〕，從點(diǎn)A，C，D三個(gè)點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)和點(diǎn)B構(gòu)造三角形的有：△ACB，△ADB，△CDB，∵AC=3，AD=1，CD=4，AB=，BC=2，BD=2，∴△BCD為等腰三角形，∴構(gòu)造的三角形是等腰三角形的概率=；〔3〕存在．易得BC的解析是為y=﹣2x+4，S△ABC=AC?OB=×3×4=6，M點(diǎn)的坐標(biāo)為〔m，﹣2m+4〕〔0≤m≤2〕，①當(dāng)N點(diǎn)在AC上，如圖1，∴△AMN的面積為△ABC面積的，∴〔m+1〕〔﹣2m+4〕=2，解得m1=0，m2=1，當(dāng)m=0時(shí)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為〔0，4〕，N〔0，0〕，那么AN=1，MN=4，∴tan∠MAC===4；當(dāng)m=1時(shí)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為〔1，2〕，N〔1，0〕，那么AN=2，MN=2，∴tan∠MAC===1；②當(dāng)N點(diǎn)在BC上，如圖2，BC==2，∵BC?AN=AC?BC，解得AN==，∵S△AMN=AN?MN=2，∴MN==，∴∠MAC===；③當(dāng)N點(diǎn)在AB上，如圖3，作AH⊥BC于H，設(shè)AN=t，那么BN=﹣t，由②得AH=，那么BH==，∵∠NBG=∠HBA，∴△BNM∽△BHA，∴=，即=，∴MN=，∵AN?MN=2，即?〔﹣t〕?=2，整理得3t2﹣3t+14=0，△=〔﹣3〕2﹣4×3×14=﹣15＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，∴點(diǎn)N在AB上不符合條件，綜上所述，tan∠MAN的值為1或4或．21．如圖，拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0〕經(jīng)過(guò)點(diǎn)A〔3，0〕，B〔﹣1，0〕，C〔0，﹣3〕．〔1〕求該拋物線的解析式；〔2〕假設(shè)以點(diǎn)A為圓心的圓與直線BC相切于點(diǎn)M，求切點(diǎn)M的坐標(biāo)；〔3〕假設(shè)點(diǎn)Q在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上，是否存在以點(diǎn)B，C，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？假設(shè)存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：〔1〕把A〔3，0〕，B〔﹣1，0〕，C〔0，﹣3〕代入拋物線解析式得：，解得：，那么該拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3；〔2〕設(shè)直線BC解析式為y=kx﹣3，把B〔﹣1，0〕代入得：﹣k﹣3=0，即k=﹣3，∴直線BC解析式為y=﹣3x﹣3，∴直線AM解析式為y=x+m，把A〔3，0〕代入得：1+m=0，即m=﹣1，∴直線AM解析式為y=x﹣1，聯(lián)立得：，解得：，那么M〔﹣，﹣〕；〔3〕存在以點(diǎn)B，C，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，分三種情況考慮：設(shè)Q〔x，0〕，P〔m，m2﹣2m﹣3〕，當(dāng)四邊形BCQP為平行四邊形時(shí)，由B〔﹣1，0〕，C〔0，﹣3〕，根據(jù)平移規(guī)律得：﹣1+x=0+m，0+0=﹣3+m2﹣2m﹣3，解得：m=1±，x=2±，當(dāng)m=1+時(shí)，m2﹣2m﹣3=8+2﹣2﹣2﹣3=3，即P〔1+，2〕；當(dāng)m=1﹣時(shí)，m2﹣2m﹣3=8﹣2﹣2+2﹣3=3，即P〔1﹣，2〕；當(dāng)四邊形BCPQ為平行四邊形時(shí)，由B〔﹣1，0〕，C〔0，﹣3〕，根據(jù)平移規(guī)律得：﹣1+m=0+x，0+m2﹣2m﹣3=﹣3+0，解得：m=0或2，當(dāng)m=0時(shí)，P〔0，﹣3〕〔舍去〕；當(dāng)m=2時(shí)，P〔2，﹣3〕，當(dāng)四邊形BQCP是平行四邊形時(shí)，由平移規(guī)律得：﹣1+0=m+x，0﹣3=m2﹣2m﹣3，解得：m=0或2，x=﹣1或﹣3，當(dāng)m=0時(shí)，P〔0，﹣3〕〔舍去〕；當(dāng)m=2時(shí)，P〔2，﹣3〕，綜上，存在以點(diǎn)B，C，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，P的坐標(biāo)為〔1+，3〕或〔1﹣，3〕或〔2，﹣3〕．22．頂點(diǎn)為A拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕如圖1，直線AB與x軸相交于點(diǎn)M，y軸相交于點(diǎn)E，拋物線與y軸相交于點(diǎn)F，在直線AB上有一點(diǎn)P，假設(shè)∠OPM=∠MAF，求△POE的面積；〔3〕如圖2，點(diǎn)Q是折線A﹣B﹣C上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QN∥y軸，過(guò)點(diǎn)E作EN∥x軸，直線QN與直線EN相交于點(diǎn)N，連接QE，將△QEN沿QE翻折得到△QEN1，假設(shè)點(diǎn)N1落在x軸上，請(qǐng)直接寫(xiě)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：〔1〕把點(diǎn)代入，解得：a=1，∴拋物線的解析式為：；〔2〕由知A〔，﹣2〕，設(shè)直線AB解析式為：y=kx+b，代入點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，得：，解得：，∴直線AB的解析式為：y=﹣2x﹣1，易求E〔0，1〕，，，假設(shè)∠OPM=∠MAF，∴OP∥AF，∴△OPE∽△FAE，∴，∴，設(shè)點(diǎn)P〔t，﹣2t﹣1〕，那么：解得，，由對(duì)稱(chēng)性知；當(dāng)時(shí)，也滿(mǎn)足∠OPM=∠MAF，∴，都滿(mǎn)足條件，∵△POE的面積=，∴△POE的面積為或．〔3〕假設(shè)點(diǎn)Q在AB上運(yùn)動(dòng)，如圖1，設(shè)Q〔a，﹣2a﹣1〕，那么NE=﹣a、QN=﹣2a，由翻折知QN′=QN=﹣2a、N′E=NE=﹣a，由∠QN′E=∠N=90°易知△QRN′∽△N′SE，∴==，即===2，∴QR=2、ES=，由NE+ES=NS=QR可得﹣a+=2，解得：a=﹣，∴Q〔﹣，〕；假設(shè)點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)，且Q在y軸左側(cè)，如圖2，設(shè)NE=a，那么N′E=a，易知RN′=2、SN′=1、QN′=QN=3，∴QR=、SE=﹣a，在Rt△SEN′中，〔﹣a〕2+12=a2，解得：a=，∴Q〔﹣，2〕；假設(shè)點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)Q在y軸右側(cè)，如圖3，設(shè)NE=a，那么N′E=a，易知RN′=2、SN′=1、QN′=QN=3，∴QR=、SE=﹣a，在Rt△SEN′中，〔﹣a〕2+12=a2，解得：a=，∴Q〔，2〕．綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為〔﹣，〕或〔﹣，2〕或〔，2〕．23．拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A〔0，2〕，且拋物線上任意不同兩點(diǎn)M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕都滿(mǎn)足：當(dāng)x1＜x2＜0時(shí)，〔x1﹣x2〕〔y1﹣y2〕＞0；當(dāng)0＜x1＜x2時(shí)，〔x1﹣x2〕〔y1﹣y2〕＜0．以原點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓與拋物線的另兩個(gè)交點(diǎn)為B，C，且B在C的左側(cè)，△ABC有一個(gè)內(nèi)角為60°．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕假設(shè)MN與直線y=﹣2x平行，且M，N位于直線BC的兩側(cè)，y1＞y2，解決以下問(wèn)題：①求證：BC平分∠MBN；②求△MBC外心的縱坐標(biāo)的取值范圍．【解答】解：〔1〕∵拋物線過(guò)點(diǎn)A〔0，2〕，∴c=2，當(dāng)x1＜x2＜0時(shí)，x1﹣x2＜0，由〔x1﹣x2〕〔y1﹣y2〕＞0，得到y(tǒng)1﹣y2＜0，∴當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大，同理當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小，∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，且開(kāi)口向下，即b=0，∵以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與拋物線交于另兩點(diǎn)B，C，如圖1所示，∴△ABC為等腰三角形，∵△ABC中有一個(gè)角為60°，∴△ABC為等邊三角形，且OC=OA=2，設(shè)線段BC與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)D，那么有BD=CD，且∠OBD=30°，∴BD=OB?cos30°=，OD=OB?sin30°=1，∵B在C的左側(cè)，∴B的坐標(biāo)為〔﹣，﹣1〕，∵B點(diǎn)在拋物線上，且c=2，b=0，∴3a+2=﹣1，解得：a=﹣1，那么拋物線解析式為y=﹣x2+2；〔2〕①由〔1〕知，點(diǎn)M〔x1，﹣x12+2〕，N〔x2，﹣x22+2〕，∵M(jìn)N與直線y=﹣2x平行，∴設(shè)直線MN的解析式為y=﹣2x+m，那么有﹣x12+2=﹣2x1+m，即m=﹣x12+2x1+2，∴直線MN解析式為y=﹣2x﹣x12+2x1+2，把y=﹣2x﹣x12+2x1+2代入y=﹣x2+2，解得：x=x1或x=2﹣x1，∴x2=2﹣x1，即y2=﹣〔2﹣x1〕2+2=﹣x12+4x1﹣10，作ME⊥BC，NF⊥BC，垂足為E，F(xiàn)，如圖2所示，∵M(jìn)，N位于直線BC的兩側(cè)，且y1＞y2，那么y2＜﹣1＜y1≤2，且﹣＜x1＜x2，∴ME=y1﹣〔﹣1〕=﹣x12+3，BE=x1﹣〔﹣〕=x1+，NF=﹣1﹣y2=x12﹣4x1+9，BF=x2﹣〔﹣〕=3﹣x1，在Rt△BEM中，tan∠MBE===﹣x1，在Rt△BFN中，tan∠NBF=====﹣x1，∵tan∠MBE=tan∠NBF，∴∠MBE=∠NBF，那么BC平分∠MBN；②∵y軸為BC的垂直平分線，∴設(shè)△MBC的外心為P〔0，y0〕，那么PB=PM，即PB2=PM2，根據(jù)勾股定理得：3+〔y0+1〕2=x12+〔y0﹣y1〕2，∵x12=2﹣y1，∴y02+2y0+4=〔2﹣y1〕+〔y0﹣y1〕2，即y0=y1﹣1，由①得：﹣1＜y1≤2，∴﹣＜y0≤0，那么△MBC的外心的縱坐標(biāo)的取值范圍是﹣＜y0≤0．24．如圖，二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)O〔0，0〕．A〔8，4〕，與x軸交于另一點(diǎn)B，且對(duì)稱(chēng)軸是直線x=3．〔1〕求該二次函數(shù)的解析式；〔2〕假設(shè)M是OB上的一點(diǎn)，作MN∥AB交OA于N，當(dāng)△ANM面積最大時(shí)，求M的坐標(biāo)；〔3〕P是x軸上的點(diǎn)，過(guò)P作PQ⊥x軸與拋物線交于Q．過(guò)A作AC⊥x軸于C，當(dāng)以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與以O(shè)，A，C為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：〔1〕∵拋物線過(guò)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是直線x=3，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為〔6，0〕，設(shè)拋物線解析式為y=ax〔x﹣