2022年高考沖刺文科數(shù)學(天津卷)

2013年普通高等學校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學文史類(天津卷)第Ⅰ卷一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．(2013天津，文1)已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，則A∩B＝()．A．(－∞，2]B．[1,2]C．[－2,2]D．[－2,1]答案：D解析：解不等式|x|≤2，得－2≤x≤2，即A＝{x|－2≤x≤2}，A∩B＝{x|－2≤x≤1}，故選D.2．(2013天津，文2)設變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z＝y(tǒng)－2x的最小值為()．A．－7B．－4C．1D．2答案：A解析：作約束條件所表示的可行域，如圖所示，z＝y(tǒng)－2x可化為y＝2x＋z，z表示直線在y軸上的截距，截距越大z越大，作直線l0：y＝2x，平移l0，當l0過點A(5,3)時，z取最小值，且為－7，選A.3．(2013天津，文3)閱讀下邊的程序框圖，運行相應的程序，則輸出n的值為()．A．7B．6C．5D．4答案：D解析：由程序框圖可知，n＝1時，S＝－1；n＝2時，S＝1；n＝3時，S＝－2；n＝4時，S＝2≥2，輸出n的值為4，故選D.4．(2013天津，文4)設a，b∈R，則“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的()．A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：A解析：因為a2≥0，而(a－b)a2＜0，所以a－b＜0，即a＜b；由a＜b，a2≥0，得到(a－b)a2≤0可以為0，所以“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的充分而不必要條件．5．(2013天津，文5)已知過點P(2,2)的直線與圓(x－1)2＋y2＝5相切，且與直線ax－y＋1＝0垂直，則a＝()．A．B．1C．2D．答案：C解析：由題意知點P(2,2)在圓(x－1)2＋y2＝5上，設切線的斜率為k，則＝－1，解得，直線ax－y＋1＝0的斜率為a，其與切線垂直，所以＝－1，解得a＝2，故選C.6．(2013天津，文6)函數(shù)在區(qū)間上的最小值為()．A．－1B．C．D．0答案：B解析：因為x∈，所以，當，即x＝0時，f(x)取得最小值.7．(2013天津，文7)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞)上單調遞增．若實數(shù)a滿足f(log2a)＋≤2f(1)，則a的取值范圍是()．A．[1,2]B．C．D．(0,2]答案：C解析：因為＝－log2a，所以f(log2a)＋＝f(log2a)＋f(－log2a)＝2f(log2a)，原不等式變?yōu)?f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1)．又因為f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上遞增，所以|log2a|≤1，即－1≤log2a≤1，解得≤a≤2，故選C.8．(2013天津，文8)設函數(shù)f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3.若實數(shù)a，b滿足f(a)＝0，g(b)＝0，則()．A．g(a)＜0＜f(b)B．f(b)＜0＜g(a)C．0＜g(a)＜f(b)D．f(b)＜g(a)＜0答案：A解析：由f(a)＝ea＋a－2＝0得0＜a＜1.由g(b)＝lnb＋b2－3＝0得1＜b＜2.因為g(a)＝lna＋a2－3＜0，f(b)＝eb＋b－2＞0，所以f(b)＞0＞g(a)，故選A.第Ⅱ卷二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．9．(2013天津，文9)i是虛數(shù)單位，復數(shù)(3＋i)(1－2i)＝__________.答案：5－5i解析：(3＋i)(1－2i)＝3－6i＋i－2i2＝5－5i.10．(2013天津，文10)已知一個正方體的所有頂點在一個球面上．若球的體積為，則正方體的棱長為__________．答案：解析：由題意知，.設正方體的棱長為a，則＝2R，a＝，所以正方體的棱長為.11．(2013天津，文11)已知拋物線y2＝8x的準線過雙曲線(a＞0，b＞0)的一個焦點，且雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的方程為__________．答案解析：拋物線y2＝8x的準線為x＝－2，則雙曲線的一個焦點為(－2,0)，即c＝2，離心率e＝＝2，故a＝1，由a2＋b2＝c2得b2＝3，所以雙曲線的方程為.12．(2013天津，文12)在平行四邊形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E為CD的中點．若·＝1，則AB的長為__________．答案：解析：取平面的一組基底{，}，則＝＋，＝＋＝＋，·＝(＋)·＝||2＋||2＋·＝||2＋||＋1＝1，解方程得||＝(舍去||＝0)，所以線段AB的長為.13．(2013天津，文13)如圖，在圓內接梯形ABCD中，AB∥DC.過點A作圓的切線與CB的延長線交于點E.若AB＝AD＝5，BE＝4，則弦BD的長為__________．答案：解析：因為在圓內接梯形ABCD中，AB∥DC，所以AD＝BC，∠BAD＋∠BCD＝180°，∠ABE＝∠BCD.所以∠BAD＋∠ABE＝180°.又因為AE為圓的切線，所以AE2＝BE·EC＝4×9＝36，故AE＝6.在△ABE中，由余弦定理得cos∠ABE＝，cos∠BAD＝cos(180°－∠ABE)＝－cos∠ABE＝，在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝，所以BD＝.14．(2013天津，文14)設a＋b＝2，b＞0，則的最小值為__________．答案：解析：因為a＋b＝2，所以＝1，＝≥，，當且僅當b＝2|a|時，等號成立．當a＞0時，，故；當a＜0時，，.綜上可得最小值為.三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．(2013天津，文15)(本小題滿分13分)某產品的三個質量指標分別為x，y，z，用綜合指標S＝x＋y＋z評價該產品的等級．若S≤4，則該產品為一等品．現(xiàn)從一批該產品中，隨機抽取10件產品作為樣本，其質量指標列表如下：產品編號A1A2A3A4A5質量指標(x，y，z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)產品編號A6A7A8A9A10質量指標(x，y，z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)(1)利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計該批產品的一等品率；(2)在該樣本的一等品中，隨機抽取2件產品，①用產品編號列出所有可能的結果；②設事件B為“在取出的2件產品中，每件產品的綜合指標S都等于4”，求事件B發(fā)生的概率．答案:（1）；（2）{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，P(B)＝.解析：(1)計算10件產品的綜合指標S，如下表：產品編號A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故該樣本的一等品率為＝，從而可估計該批產品的一等品率為.(2)①在該樣本的一等品中，隨機抽取2件產品的所有可能結果為{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15種．②在該樣本的一等品中，綜合指標S等于4的產品編號分別為A1，A2，A5，A7，則事件B發(fā)生的所有可能結果為{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6種．所以P(B)＝.16．(2013天津，文16)(本小題滿分13分)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知bsinA＝3csinB，a＝3，cosB＝.(1)求b的值；(2)求的值．答案：（1）；（2）解析：(1)在△ABC中，由，可得bsinA＝asinB，又由bsinA＝3csinB，可得a＝3c，又a＝3，故c＝1.由b2＝a2＋c2－2accosB，，可得.(2)由，得sinB＝，進而得cos2B＝2cos2B－1＝，sin2B＝2sinBcosB＝.所以＝.17．(2013天津，文17)(本小題滿分13分)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱A1A⊥底面ABC，且各棱長均相等，D，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC，A1C1的中點．(1)證明EF∥平面A1CD；(2)證明平面A1CD⊥平面A1ABB1；(3)求直線BC與平面A1CD所成角的正弦值．答案：（1）（2）證明過程見解析；（3）解析：(1)證明：如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，連接ED，在△ABC中，因為D，E分別為AB，BC的中點，所以DE＝且DE∥AC，又因為F為A1C1的中點，可得A1F＝DE，且A1F∥DE，即四邊形A1DEF為平行四邊形，所以EF∥DA1.又EF?平面A1CD，DA1?平面A1CD，所以EF∥平面A1CD.(2)證明：由于底面ABC是正三角形，D為AB的中點，故CD⊥AB，又由于側棱A1A⊥底面ABC，CD?平面ABC，所以A1A⊥CD，又A1A∩AB＝A，因此CD⊥平面A1ABB1，而CD?平面A1CD，所以平面A1CD⊥平面A1ABB1.(3)解：在平面A1ABB1內，過點B作BG⊥A1D交直線A1D于點G，連接CG.由于平面A1CD⊥平面A1ABB1，而直線A1D是平面A1CD與平面A1ABB1的交線，故BG⊥平面A1CD.由此得∠BCG為直線BC與平面A1CD所成的角．設棱長為a，可得A1D＝，由△A1AD∽△BGD，易得BG＝.在Rt△BGC中，sin∠BCG＝.所以直線BC與平面A1CD所成角的正弦值為.18．(2013天津，文18)(本小題滿分13分)設橢圓(a＞b＞0)的左焦點為F，離心率為，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.(1)求橢圓的方程；(2)設A，B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點．若·＋·＝8，求k的值．答案：（1）；（2）解析：(1)設F(－c,0)，由，知.過點F且與x軸垂直的直線為x＝－c，代入橢圓方程有，解得，于是，解得b＝，又a2－c2＝b2，從而a＝，c＝1，所以橢圓的方程為.(2)設點C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直線CD的方程為y＝k(x＋1)，由方程組消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.求解可得x1＋x2＝，x1x2＝.因為A(，0)，B(，0)，所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝.由已知得＝8，解得k＝.

19．(2013天津，文19)(本小題滿分14分)已知首項為的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)證明(n∈N*)．答案：（1）；（2）略解析：(1)解：設等比數(shù)列{an}的公比為q，因為－2S2，S3,4S4成等差數(shù)列，所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，可得2a4＝－a3，于是.又a1＝，所以等比數(shù)列{an}的通項公式為.(2)證明，當n為奇數(shù)時，隨n的增大而減小，所以.當n為偶數(shù)時，隨n的增大而減小，所以.故對于n∈N*，有.20．(2013天津，文20)(本小題滿分14分)設a∈[－2,0]，已知函數(shù)(1)證明f(x)在區(qū)間(－1,1)內單調遞減，在區(qū)間(1，＋∞)內單調遞增；(2)設曲線y＝f(x)在點Pi(xi，f(xi))(i＝1,2,3)處的切線相互平行，且x1x2x3≠0.證明x1＋x2＋x3＞.答案：（1）（2）略解析：證明：(1)設函數(shù)f1(x)＝x3－(a＋5)x(x≤0)，f2(x)＝(x≥0)，①f1′(x)＝3x2－(a＋5)，由a∈[－2,0]，從而當－1＜x＜0時，f1′(x)＝3x2－(a＋5)＜3－a－5≤0，所以函數(shù)f1(x)在區(qū)間(－1,0]內單調遞減．②f2′(x)＝3x2－(a＋3)x＋a＝(3x－a)(x－1)，由于a∈[－2,0]，所以當0＜x＜1時，f2′(x)＜0；當x＞1時，f2′(x)＞0.即函數(shù)f2(x)在區(qū)間[0,1)內單調遞減，在區(qū)間(1，＋∞)內單調遞增．綜合①，②及f1(0)＝f2(0)，可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1,1)內單調遞減，在區(qū)間(1，＋∞)內單調遞增．(2)由(1)知f′(x)在區(qū)間(－∞，0)內單調遞減，在區(qū)間內單調遞減，在區(qū)