江蘇省高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識點(diǎn)按難度與題型歸納(數(shù)學(xué)應(yīng)試筆記)

江蘇省高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識點(diǎn)按難度與題型歸納（數(shù)學(xué)應(yīng)試筆記）

第I卷160分部分

一、填空題

答卷提醒：重視填空題的解法與得分，盡可能減少失誤，這是取得好成績的基石!

A、1～4題，基礎(chǔ)送分題，做到不失一題！A1.集合性質(zhì)與運(yùn)算1、性質(zhì)：

①任何一個集合是它本身的子集，記為AA；②空集是任何集合的子集，記為A；

③空集是任何非空集合的真子集；如果AB，同時BA，那么A=B．

如果AB，BC，那么AC．

【注意】：

①Z={整數(shù)}（√）Z={全體整數(shù)}（×）

②已知集合S中A的補(bǔ)集是一個有限集，則集合A也是有限集．（×）③空集的補(bǔ)集是全集．

④若集合A=集合B，則CBA=，CAB=CS（CAB）=D（注：CAB=）．

2、若Ａ={a1,a2,a3an}，則Ａ的子集有2n個，真子集有2n1個，非空真子集有2n2個.3、A（BC）（AB）（AC）,A（BC）（AB）（AC）；

（AB）CA（BC）,（AB）CA（BC）

4、DeMorgan公式:CU(AB)CUACUB；CU(AB)CUACUB.

【提醒】：數(shù)軸和韋恩圖是進(jìn)行交、并、補(bǔ)運(yùn)算的有力工具.在具體計算時不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況，補(bǔ)集思想常運(yùn)用于解決否定型或正面較復(fù)雜的有關(guān)問題。

A2.命題的否定與否命題

*1.命題pq的否定與它的否命題的區(qū)別：

命題pq的否定是pq,否命題是pq.

命題“p或q”的否定是“p且q”,“p且q”的否定是“p或q”.*2.常考模式：

全稱命題p：xM,p(x)；全稱命題p的否定p：xM,p(x).特稱命題p：xM,p(x)；特稱命題p的否定p：xM,p(x).A3.復(fù)數(shù)運(yùn)算

*1.運(yùn)算律：?zmznzmn；?(zm)nzmn；?(z1z2)mz1mz2m(m,nN).

【提示】注意復(fù)數(shù)、向量、導(dǎo)數(shù)、三角等運(yùn)算率的適用范圍.*2.模的性質(zhì)：

?|z1z2||z1||z2|；?|*3.重要結(jié)論：

?|z1z2||z1z2|2(|z1||z2|?z1z2

2

2

2

z1|z1|nn

；?zz.|

z2|z2|

2

2

2

2

)；

1i1i

i，i；1i1ii,i4n1.

1

22

i.

x

zz；?1i2i；?

4n1

?i性質(zhì)：T=4；i

3

i,i4n21,i4n3

2

【拓展】：1110

1或A4.冪函數(shù)的的性質(zhì)及圖像變化規(guī)律：

(1)所有的冪函數(shù)在(0,)都有定義，并且圖像都過點(diǎn)(1,1)；

(2)a0時，冪函數(shù)的圖像通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0,)上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)a1時，冪函數(shù)的圖像下凸；當(dāng)0a1時，冪函數(shù)的圖像上凸；(3)a0時，冪函數(shù)的圖像在區(qū)間(0,)上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向原點(diǎn)時，圖像在y

軸右方無限地逼近y軸正半軸，當(dāng)趨于時，圖像在軸上方無限地逼近軸正半軸．

【說明】：對于冪函數(shù)我們只要求掌握a1,2,3,1,1的這5類，它們的圖像都經(jīng)過一個定點(diǎn)(0,0)和(0,1)，23

并且x1時圖像都經(jīng)過(1,1)，把握好冪函數(shù)在第一象限組距

③所有小長方形面積的和=各組頻率和=1.

【提醒】：直方圖的縱軸(小矩形的高)一般是頻率除以組距的商(而不是頻率)，橫軸一般是數(shù)據(jù)的大小，小矩形的面積表示頻率.

?莖葉圖

當(dāng)數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時，用中間的數(shù)字表示十位數(shù)，即第一個有效數(shù)字，兩邊的數(shù)字表示個位數(shù)，即第二個有效數(shù)字，它的中間部分像植物的莖，兩邊像植物莖上長出來的葉子，這種表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖。

3.用樣本的算術(shù)平均數(shù)作為對總體期望值的估計；

11n

樣本平均數(shù)：x(x1x2xn)xinni1

4.用樣本方差的大小估計總體數(shù)據(jù)波動性的好差(方差大波動差).

(1)一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3,,xn①樣本方差

11n1n21n2222S[(x1)(x2)(xn)](xi)(xi)(xi)2；ni1ni1ni1n2

②樣本標(biāo)準(zhǔn)差

(2)兩組數(shù)據(jù)x1,x2,x3,,xn與y1,y2,y3,,yn,其中yaxib,i1,2,3,,n.則b,它們的方差為SyaSx,標(biāo)準(zhǔn)差為y|a|x

③若x1,x2,,xn的平均數(shù)為x，方差為s，則ax1b,ax2b,,axnb的平均數(shù)為axb，方差為as.

樣本數(shù)據(jù)做如此變換：xiaxib，則xaxb，(S)aS.

B、(5～9，中檔題，易丟分，防漏/多解)

B1.線性規(guī)劃

1、二元一次不等式表示的平面區(qū)域：

（1）當(dāng)A0時，若AxByC0表示直線l的右邊，若AxByC0則表示直線l的左邊.

（2）當(dāng)B0時，若AxByC0表示直線l的上方，若AxByC0則表示直線l的下方.

2、設(shè)曲線C:(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0（A1A2B1B20），則’’222222222

(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面區(qū)域：

兩直線A1xB1yC10和A2xB2yC20所成的對頂角區(qū)域（上下或左右兩部分）.

3、點(diǎn)P0(x0,y0)與曲線f(x,y)的位置關(guān)系：

若曲線f(x,y)為封閉曲線（圓、橢圓、曲線|xa||yb|m等），則f(x0,y0)0，稱點(diǎn)在

曲線外部；

若f(x,y)為開放曲線（拋物線、雙曲線等），則f(x0,y0)0，稱點(diǎn)亦在曲線“外部”.

4、已知直線l:AxByC0，目標(biāo)函數(shù)zAxBy.

①當(dāng)B0時，將直線l向上平移，則z的值越來越大；直線l向下平移，則z的值越來越小；②當(dāng)B0時，將直線l向上平移，則z的值越來越小；直線l向下平移，則z的值越來越大；

5、明確線性規(guī)劃中的幾個目標(biāo)函數(shù)（方程）的幾何意義：

（1）zaxby，若b0，直線在y軸上的截距越大，z越大，若b0，直線在y軸上的截距越大，

z越小.

（2）ym

xn表示過兩點(diǎn)x,y,n,m的直線的斜率，特別

22yx表示過原點(diǎn)和n,m的直線的斜率.（3）txmyn表示圓心固定，半徑變化的動圓，也可以認(rèn)為是二元方程的覆蓋問題.

表示x,y到點(diǎn)0,0的距離.

（5）F(cos,sin)；（4）

y（6

）d22（7）aabb；；

【點(diǎn)撥】：通過構(gòu)造距離函數(shù)、斜率函數(shù)、截距函數(shù)、單位圓x+y=1上的點(diǎn)(cos,sin)及余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化達(dá)到解題目的。

B2.三角變換：

三角函數(shù)式的恒等變形或用三角式來代換代數(shù)式稱為三角變換．

三角恒等變形是以同角三角公式，誘導(dǎo)公式，和、差、倍、半角公式，和差化積和積化和差公式，萬能公式為基礎(chǔ)．

三角代換是以三角函數(shù)的值域?yàn)楦鶕?jù)，進(jìn)行恰如其分的代換，使代數(shù)式轉(zhuǎn)化為三角式，然后再使用上述諸公式進(jìn)行恒等變形，使問題得以解決．

三角變換是指角(“配”與“湊”)、函數(shù)名(切割化弦)、次數(shù)(降與升)、系數(shù)(常值“1”)和運(yùn)算結(jié)構(gòu)(和與積)的變換，其核心是“角的變換”.

角的變換主要有：已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.

變換化簡技巧：角的拆變，公式變用，切割化弦，倍角降次，“1”的變幻，設(shè)元轉(zhuǎn)化，引入輔角，平方消元等.

具體地：

（1）角的“配”與“湊”：掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后，還應(yīng)注意一些配湊變形

技巧，如下：

2，2；2

，2；222222

()()

22

22[()]2[()]()()()()；22；

2()，2()；

154530,754530；

等.42

數(shù)學(xué)應(yīng)試筆記第2頁4

（2）“降冪”與“升冪”（次的變化）

利用二倍角公式cos2cos2sin22cos2112sin2和二倍角公式的等價變形

sin2，cos2，可以進(jìn)行“升”與“降”的變換，即“二次”與“一次”的互化.

（3）切割化弦（名的變化）

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，將不同名的三角函數(shù)化成同名的三角函數(shù)，以便于解題.經(jīng)常用

的手段是“切化弦”和“弦化切”.

（4）常值變換

可作特殊角的三角函數(shù)值來代換.此外，對常值“1”可作如下代2換：1sin2xcos2xsec2xtan2xtanxcotx2sin30tansincos0等.常值42

（5）引入輔助角

一般的，asinbcosbcostan.a)sin(

)，期中

特別的，sinAcosAA);4

sinxx2sin(x)，

3

xcosx2sin(x)等.6

（6）特殊結(jié)構(gòu)的構(gòu)造

構(gòu)造對偶式，可以回避復(fù)雜三角代換，化繁為簡.

舉例：Asin20cos50sin20cos50，Bcos20sin50cos20sin50可以通過AB2sin70,AB

（7）整體代換

舉例：sinxcosxm2sinxcosxm1

sin()m，sin()n，可求出sincos,cossin整體值，作為代換之用.

B3.三角形中的三角變換

三角形中的三角變換，除了應(yīng)用公式和變換方法外，還要注意三角形自身的特點(diǎn)．

(1)角的變換

因?yàn)樵贏BC中，ABC（三內(nèi)角和定理），所以

任意兩角和：與第三個角總互補(bǔ)，任意兩半角和與第三個角的半角總互余.

銳角三角形：①三內(nèi)角都是銳角；②三內(nèi)角的余弦值為正值；

③任兩角和都是鈍角；④任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.

即，sinAsin(BC)；cosAcos(BC)；tanAtan(BC)．222221sin70兩式和，作進(jìn)一步化簡.2

sinA

2cosBC2；cosA2sinBC2；tanA2cotBC2.

(2)三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理．

11面積公式：SshaabsinCrp.22

ABBCCA其中r為三角形內(nèi)切圓半徑，p為周長之半．tantantantantantan1222222

(3)對任意ABC，；

在非直角ABC中，tanAtanBtanCtanAtanBtanC．

(4)在ABC中，熟記并會證明：

*1.A,B,C成等差數(shù)列的充分必要條件是B60．

*2.ABC是正三角形的充分必要條件是A,B,C成等差數(shù)列且a,b,c,成等比數(shù)列．

*3.三邊a,b,c成等差數(shù)列2bac2sinAsinBsinCtan

*4.三邊a,b,c,成等比數(shù)列b2acsin2AsinBsinC,B≤

(5)銳角ABC中,AB

2AC1tan；B≤.32233.sinAcosB,sinBcosC,sinCcosA，a2b2c2；

sinAsinBsinCcosAcosBcosC.

【思考】：鈍角ABC中的類比結(jié)論

(6)兩第4頁

轉(zhuǎn)化為等可能事件的概率(常常采用排列組合的知識)；轉(zhuǎn)化為若干個互斥事件中有一個發(fā)生的概率；利用對立事件的概率，轉(zhuǎn)化為相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率；看作某一事件在n次實(shí)驗(yàn)中恰有k次發(fā)生的概率，但要注意公式的使用條件.事件互斥是事件獨(dú)立的必要非充分條件，反之，事件對立是事件互斥的充分非必要條件.

【說明】：條件概率：稱P(B|A)P(AB)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率。P(A)

注意：①0P(B|A)1；②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。

B6.排列、組合

（1）解決有限制條件的(有序排列，無序組合)問題方法是：位置分析法

元素分析法用加法原理（分類）①直接法：插入法（不相鄰問題）用乘法原理（分步）捆綁法（相鄰問題）

②間接法：即排除不符合要求的情形

③一般先從特殊元素和特殊位置入手.

（2）解排列組合問題的方法有：

①特殊元素、特殊位置優(yōu)先法

元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；

位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置）。

②間接法（對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉）)。

③相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列）。

④不相鄰(相間)問題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法，即先安排好沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間）。

⑤多排問題單排法。

⑥多元問題分類法。

⑦有序問題組合法。

⑧選取問題先選后排法。

⑨至多至少問題間接法。

⑩相同元素分組可采用隔板法。

?涂色問題先分步考慮至某一步時再分類.

（3）分組問題：要注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組，平均分成n組問題別忘除以n!.

B7.最值定理

①x,y0,由xy≥xyP(定值)，則當(dāng)xy時和x

y有最小值

②x,y0,由xy≥xyS(定值)，則當(dāng)xy是積xy有最大值

【推廣】：已知x,yR，則有(xy)(xy)2xy.

（1）若積xy是定值，則當(dāng)|xy|最大時，|xy|最大；當(dāng)|xy|最小時，|xy|最小.

（2）若和|xy|是定值，則當(dāng)|xy|最大時，|xy|最?。划?dāng)|xy|最小時，|xy|最大.

③已知a,x,b,yR，若axby

1，則有：

1

x111byax(axby)()ab≥abyxyxy

12s.42222

xyxy

B8.求函數(shù)值域的常用方法：

①配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用二次函數(shù)的特征來求解；

【點(diǎn)撥】：二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類：一是求閉區(qū)間[m,n]上的最值；二是求區(qū)間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。求二次函數(shù)的最值問題，勿忘數(shù)形結(jié)合，注意開口方向和對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系.

②逆求法：通過反解，用y來表示x，再由x的取值范圍，通過解不等式，得出y的取值范圍，型如④a,x,b,yR，若ab1則有：xy

xy(aybx)ab

yaxb

cxd,x(m,n)的函數(shù)值域；

④換元法：化繁為間，構(gòu)造中間函數(shù)，把一個較復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹唵我浊笾涤虻暮瘮?shù)，其函數(shù)特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，通過代換構(gòu)造容易求值域的簡單函數(shù)，再求其值域；

⑤三角有界法：直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，如轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，再運(yùn)用其有界性來求值域；

⑥不等式法：

利用基本不等式aba,bR)求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，型如yxk(k0)，解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技x

巧；

⑦單調(diào)性法：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域，常結(jié)合導(dǎo)數(shù)法綜合求解；

⑧數(shù)形結(jié)合法：函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，可根據(jù)函數(shù)的幾何意義，如斜率、距離、絕對值等，利用數(shù)與形相互配合的方法來求值域；

⑨分離常數(shù)法：對于分子、分母同次的分式形式的函數(shù)求值域問題，把函數(shù)分離成一個常數(shù)和一個分式和的形式，進(jìn)而可利用函數(shù)單調(diào)性確定其值域．a(chǎn)1x2b1xc1⑩判別式法：對于形如y（a1,a2不同時為0）的函數(shù)常采用此法．a(chǎn)2x2b2xc2

【說明】：對分式函數(shù)（分子或分母中有一個是二次）都可通用，但這類題型有時也可以用其它方法進(jìn)行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過部分分式后，再利用均值不等式：b型，可直接用不等式性質(zhì)；kx2

bx2.y2型，先化簡，再用均值不等式；xmxn

x2mxn3.y2型，通常用判別式法；xmxn

x2mxn4.y型，可用判別式法或均值不等式法；mxn1.y

?導(dǎo)數(shù)法：一般適用于高次多項(xiàng)式函數(shù)求值域.??

B9.函數(shù)值域的題型

(一)常規(guī)函數(shù)求值域：畫圖像，定區(qū)間，截段.

常規(guī)函數(shù)有：一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，對號函數(shù).

(二)非常規(guī)函數(shù)求值域：想法設(shè)法變形成常規(guī)函數(shù)求值域.

解題步驟：(1)換元變形；

(2)求變形完的常規(guī)函數(shù)的自變量取值范圍；

(3)畫圖像，定區(qū)間，截段。

(三)分式函數(shù)求值域：四種題型ccxdy(1)y(a0)：則且yR.aaxb

cxd(x2)：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x的范圍解不等式求y的范圍.(2)yaxb

2x23x2(3)y：6x2x1

1(2x1)(x2)x21(x)，則y且y1且yR.y(2x1)(3x1)3x123

2x1(4)求y2的值域，當(dāng)xR時，用判別式法求值域。xx1

2x1y2yx2(y2)xy10，(y2)24y(y1)0值域.xx1

數(shù)學(xué)應(yīng)試筆記第6頁

(四)不可變形的雜函數(shù)求值域：利用函數(shù)的單調(diào)性畫出函數(shù)趨勢圖像，定區(qū)間，截段.

判斷單調(diào)性的方法：選擇填空題首選復(fù)合函數(shù)法，其次求導(dǎo)數(shù)；大題首選求導(dǎo)數(shù)，其次用定義。詳情見單調(diào)性部分知識講解.

(五)原函數(shù)反函數(shù)對應(yīng)求值域：原函數(shù)的定義域等于反函數(shù)值域，原函數(shù)值域等于反函數(shù)定義域.

(六)已知值域求系數(shù)：利用求值域的前五種方法寫求值域的過程，將求出的以字母形式表示的值域與已知值域?qū)φ涨笞帜溉≈祷蚍秶?

B10.應(yīng)用基本不等式求最值的“八種變形技巧”：

?湊系數(shù)（乘、除變量系數(shù)）.例1.當(dāng)0x4時，求函的數(shù)yx(82x)最大值.

51，求函數(shù)f(x)4x2的最大值.44x5

x27x10?調(diào)整分子：例3.求函數(shù)f(x)(x1)的值域；x1

a2b2abab2ab,(?變用公式：基本不等

式有幾個常用變形：)

ab，222

aba2b2ab2().前兩個變形很直接，后兩個變形則不易想到，應(yīng)重視；例4.

求函數(shù)，222

15yx)的最大值；22

162?連用公式：例5.已知ab0，求ya的最小值；b(ab)

1lny?對數(shù)變換：例6.已知x,y1，且xye，求t(2x)的最大值；2?湊項(xiàng)（加、減常數(shù)項(xiàng)）：例2.已知x

?三角變換：例7.已知0y≤x

2，且tanx3tany，求txy的最大值；

?常數(shù)代換（逆用條件）：例8.已知a0,b0，且a2b1，求t

B11.“單調(diào)性”補(bǔ)了“基本不等式”的漏洞：

?平方和為定值11的最小值.ab

,y,，其中0≤2.

15①f(x,y)xy)在[0,],[,2)上是增函數(shù)，在444

15[,]上是減函數(shù)；44

113571357②g(x,y)xyasin2在[0,],[,],[,2)上是增函數(shù)，在[,],[,]上是減244444444若xya（a為定值，a0）

，可設(shè)x22

函數(shù)；

11xy.

令tsincos)，其

中xyxy42t[,1)(,.1由)t(211,2]cos，得2sintc2sinos，從

而1

2在[1)(1,1)上是減函數(shù).m(x,y)1t

)t③m(x,y)

?和為定值

若xyb（b為定值，b0），則ybx.

①g(x,y)xyxbx在(,]上是增函數(shù)，在[,)上是減函數(shù)；2b

2b2

bb11xyb.當(dāng)b0時，在(,0),(0,]上是減函數(shù)，在[,b),(b,)上2xyxyxbx22

bb是增函數(shù)；當(dāng)b0時，在(,b),(b,]上是減函數(shù)，在[,0),(0,)上是增函數(shù).22

bb2222③n(x,y)xy2x2bxb在(,]上是減函數(shù)，在[,)上是增函數(shù)；22②m(x,y)

?積為定值

若xyc（c為定值，c0），則y

①f(x,y)xyxc.xc.當(dāng)c

0時，在[

上是減函數(shù)，在(,)上是增x

函數(shù)；當(dāng)c0時，在(,0),(0,)上是增函數(shù)；11xy1c0上,是]減函數(shù)，

在②m(x,y)(x).當(dāng)c0時，

在[,0)xyxycx

(,)上是增函數(shù)；當(dāng)c0時，在(,0),(0,)上是減函數(shù)；c2c2③n(x,y)xyx2(x)

2c在(,

上是減函數(shù)，在()上是xx222

增函數(shù).

?倒數(shù)和為定值c1112111，則y.成等差數(shù)列且均不為零，可設(shè)公差為z，其中z，d,,）xydxdyxd

dd1111則z,z,得x,y..xdyd1dz1dz

2d1111①f(x)xy.當(dāng)時，在上是減函數(shù)，在(,),(,0][0,),(,)上是增函d0221dzdddd

1111數(shù)；當(dāng)d0時，在(,),(,0]上是增函數(shù)，在[0,),(,)上減函數(shù)；dddd

1111d2

.②g(x,y)xy.當(dāng)時，在上是減函數(shù)，在(,),(,0][0,),(,)上是增函d0221dzdddd

1111數(shù)；當(dāng)d0時，在(,),(,0]上是減函數(shù)，在[0,),(,)上是增函數(shù)；dddd

2d2(d2z21)2222.③n(x,y)xy.令tdz1，其中t≥1且t2，從而222(dz1)若

2d2t2d2

在[1,2)上是增函數(shù)，在(2,)上是減函數(shù).n(x,y)2(t2)t4t

B12.理解幾組概念

*1.廣義判別式

設(shè)f(x)是關(guān)于實(shí)數(shù)x的一個解析式，a,b,c都是與x有關(guān)或無關(guān)的實(shí)數(shù)且a0，則b4ac≥0是方程af(x)bf(x)c0有實(shí)根的必要條件，稱“”為廣義判別式.

*2.解決數(shù)學(xué)問題的兩類方法：

一是從具體條件入手,運(yùn)用有關(guān)性質(zhì),數(shù)據(jù),進(jìn)行計算推導(dǎo),從而使數(shù)學(xué)問題得以解決；二是從整體上考查命題結(jié)構(gòu),找出某些本質(zhì)屬性,進(jìn)行恰當(dāng)?shù)暮怂?從而使問題容易解決,這一方法稱為定性核算法.*3.二元函數(shù)

設(shè)有兩個獨(dú)立的變量x與y在其給定的變域中D中，任取一組數(shù)值時，第三個變量Z就以某一確定的法則有唯一確定的值與其對應(yīng)，那末變量Z稱為變量x與y的二元函數(shù).記作：Zf(x,y).其中x與y稱

數(shù)學(xué)應(yīng)試筆記第8頁22

為自變量，函數(shù)Z也叫做因變量，自變量x與y的變域D稱為函數(shù)的定義域.

把自變量x、y及因變量Z當(dāng)作空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)，先在xoy平面當(dāng)M點(diǎn)在D中變動時，對應(yīng)的P點(diǎn)的軌跡就是函數(shù)Zf(x,y)的幾何圖形.它通常是一張曲面，其定義域D就是此曲面在xoy平面上的投影.

*4.格點(diǎn)

在直角坐標(biāo)系中，各個坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做格點(diǎn)（又稱整數(shù)點(diǎn)）.在數(shù)論中，有所謂格點(diǎn)估計問題.在直角坐標(biāo)系中，如果一個多邊形的所有頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，這樣的多邊形叫做格點(diǎn)多邊形.特別是凸的格點(diǎn)多邊形，它是運(yùn)籌學(xué)中的一個基本概念.

*5.間斷點(diǎn)

我們通常把間斷點(diǎn)分成兩類：如果x0是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)，且其左、右極限都存在，我們把x0稱為函數(shù)f(x)的第一類間斷點(diǎn)；不是第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱為第二類間斷點(diǎn).

*6.拐點(diǎn)

連續(xù)函數(shù)上，上凹弧與下凹弧的分界點(diǎn)稱為此曲線上的拐點(diǎn).

如果yf(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，我們可按下列步驟來判定yf(x)的拐點(diǎn).

(1)求f(x)；

(2)令f(x)0，解出此方程在區(qū)間(a,b)內(nèi)實(shí)根；

(3)對于(2)中解出的每一個實(shí)根x0，檢查f(x)在x0左、右兩側(cè)鄰近的符號，若符號相反，則此

點(diǎn)是拐點(diǎn)，若相同，則不是拐點(diǎn).

*7.駐點(diǎn)

曲線f(x)在它的極值點(diǎn)x0處的切線都平行于x軸，即f(x0)0.這說明，可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是它的駐點(diǎn)(又稱穩(wěn)定點(diǎn)、臨界點(diǎn))；但是，反之，可導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)，卻不一定是它的極值點(diǎn).

*8.凹凸性

1則稱是f(x)上)≥[f(x1)f(x2)]，22

xx1的凸函數(shù).定義在D上的函數(shù)如果滿足：對任意的x1,x2D都有f(12)≤[f(x1)f(x2)]，則稱f(x)是D上22定義在D上的函數(shù)f(x)，如果滿足：對任意x1,x2D的都有f(x1x2

的凹函數(shù).

【注】：一次函數(shù)的圖像（直線）既是凸的又是凹的（上面不等式中的等號成立）.

若曲線弧上每一點(diǎn)的切線都位于曲線的下方，則稱這段弧是凹的；若曲線弧上每一點(diǎn)的切線都位于曲線的上方，則稱這段弧是凸的.連續(xù)曲線凹與凸部分的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn).

B13.了解幾個定理

*1.拉格朗日中值定理:

如果函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那末在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)c，使f(b)f(a)(ba)f(c)成立.這個定理的特殊情形，即：f(b)f(a)的情形.描述如下：

若(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且(a)(b)，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)c，使(c)0成立.

*2.零點(diǎn)定理：

設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)f(b)＜0．那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)（a＜＜b）使f()0．

*3.介值定理：

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同函數(shù)值，f(a)A,f(b)B，那么對于A,B之間任意的一個數(shù)C，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得f()C（a＜＜b）．

*4.夾逼定理：

設(shè)當(dāng)0＜|xx0|＜時，有g(shù)(x)≤f(x)≤h(x)，且limg(x)limh(x)A，則必有l(wèi)imf(x)A.xx0xx0xx0

【注】：|xx0|：表示以x0為的極限，則|xx0|就無限趨近于零．（為最小整數(shù)）

C、10～12，思維拓展題，稍有難度，要在方法切入上著力

C1.線段的定比分點(diǎn)公式

PP2（或2設(shè)P11P2的分點(diǎn)，是實(shí)數(shù)，且PP1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是線段P

11），

則

xy

x1x2

OPOP2111

）OPOPtOP1(1t)OP2（t

y1y2111

y1y2y2推廣1：當(dāng)1時，得線段P1P2的中點(diǎn)公式：

xx1x22

P

B

O

A

推廣2則PMPAPB（對應(yīng)終點(diǎn)向量）．

1

x1x2x3

x3三角形重心坐標(biāo)公式：△ABC的頂點(diǎn)Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，重心坐標(biāo)Gx,y：

yy1y2y33注意：在△ABC中，若0為重心，則，這是充要條件．

【公式理解】：

*1.λ是關(guān)鍵(1)

1

2

P1

P2

PP

P1

P2

(λ>0(外分)λ<0(λ<-1)(外分)λ<0(-1<λ<0)若P與P1重合，λ=0P與P2重合，λ不存在P離P2P1無窮遠(yuǎn)，λ=1*2.中點(diǎn)公式是定比分點(diǎn)公式1的特例；*3.始點(diǎn)終點(diǎn)很重要，如若P分P1P2的定比λ=*4.x1,x2,x,知三求一；

*5.利用有界性可求一些分式函數(shù)取值范圍；

*6.＝1OA2OB則121是三點(diǎn)P、A、B共線的充要條件.

C2.抽象函數(shù)

抽象函數(shù)通常是指沒有給出函數(shù)的具體的解析式，只給出了其它一些條件（如函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性、解析遞推式等）的函數(shù)問題.

求解抽象函數(shù)問題的常用方法是：(1)借助模型函數(shù)探究抽象函數(shù)：

①正比例函數(shù)型：f(x)cxf(xy)f(x)f(y),f(1)c.

②指數(shù)函數(shù)型：f(x)af(xy)f(x)f(y),f(xy)

x

x

1

，則P分P2P1的定比λ=2；2

f(x)f(y)

,f(1)a0.

③對數(shù)函數(shù)型：f(x)logaxf(xy)f(x)f(y),f()f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).

y

④冪函數(shù)型：f(x)xf(xy)f(x)f(y),f(1),f()

xf(x)f(y)

y

.

⑤三角函數(shù)型：f(x)cosx,g(x)sinx,f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y),f(0)1,lim

f(x)tanx,f(xy)

f(x)f(y)1f(x)f(y)

sinx

1.

x0x

.

數(shù)學(xué)應(yīng)試筆記第10頁

（2）利用函數(shù)的性質(zhì)（如奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等）進(jìn)行演繹探究：

（3）利用一些方法（如賦值法（令x＝0或1，求出f(0)或f(1)、令yx或yx等）、遞推法、反

證法等）進(jìn)行邏輯探究。

C3.函數(shù)圖像的對稱性

(1)一個函數(shù)圖像自身的對稱性性質(zhì)1：對于函數(shù)yf(x)，若存在常數(shù)a,b,使得函數(shù)定義域【注】：f(amx)f(bmx)(m0)亦然.【特例】，當(dāng)ab時，f(ax)f(ax)f(x)的圖像關(guān)于直線xa對稱.【注】：f(x)f(2ax)亦然.性質(zhì)2：對于函數(shù)yf(x)，若存在常數(shù)a,b,使得函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，都有f(ax)f(bx)f(x)的

,0)對稱.

2

【特例】：當(dāng)ab時，f(ax)f(ax)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)對稱.

圖像關(guān)于點(diǎn)(

ab

【注】：f(x)f(2ax)亦然.

事實(shí)上，上述結(jié)論是廣義奇(偶)函數(shù)的性質(zhì).

性質(zhì)3：設(shè)函數(shù)yf(x)，如果對于定義域內(nèi)任意的x，都有f(amx)f(bmx)(a,b,mR,且m0)，則

yf(x)的圖像關(guān)于直線x

ab2

對稱.(這實(shí)際上是偶函數(shù)的一般情形)廣義偶函數(shù).

性質(zhì)4：設(shè)函數(shù)yf(x)，如果對于定義域內(nèi)任意的x，都有f(amx)f(bmx)(a,b,mR,且m0)，

則yf(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(

ab2

,0)對稱.(實(shí)際上是奇函數(shù)的一般情形)廣義奇函數(shù).

【注】：f”放在“”的兩邊，則“f”前的正負(fù)號也相異.因?yàn)閷ΨQ性關(guān)乎翻轉(zhuǎn).

(2)兩個函數(shù)圖像之間的對稱性

1.函數(shù)yf(x)與yf(x)的圖像關(guān)于直線y0對稱.2.函數(shù)yf(x)與yf(x)的圖像關(guān)于直線x0對稱.3.函數(shù)yf(x)與yf(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對稱.

4.函數(shù)yf(x)與它的反函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于直線yx對稱.5.函數(shù)yf(amx)與yf(bmx)的圖像(a,b,mR,m0)關(guān)于直線x

特別地，函數(shù)yf(ax)與yf(bx)的圖像關(guān)于直線x

C4.幾個函數(shù)方程的周期(約定a0)

ba2

ba2m

1

對稱.

對稱.

2

aa1f(x)

(2)若f(x)f(xa)0，或f(xa)，或f(x)f(x)，或fxafxa，

1f(x)22

(1)若f(x)f(xa)，或f(x)f(x)，則f(x)的周期Ta；

a

2

a

或fxa或

1fx

(f(x)0)，或

faxfaxfaxfax

，或，

fx為奇函數(shù)fx為偶函數(shù)

1faxfax

，或

2fx為偶函數(shù)

1f(xa)

f(xa),(f(x)0,1)，則f(x)的周期T2a；

(3)若f(x)1(4)若

(f(x)0)，則f(x)的周期T3a；

faxfaxfaxfax，或，或fxafxa，或

fx為偶函數(shù)fx為奇函數(shù)

1f(x)1f(x)f(x1)f(x2)

，或f(xa)，或f(x1x2)且f(xa)

1f(x1)f(x2)1f(x)1f(x)

f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1x2|2a)，則f(x)的周期T4a；

(5)若f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)，則f(x)的周期

T5a；

(6)若f(xa)f(x)f(xa)，則f(x)的周期T6a.

【說明】函數(shù)yfx滿足對定義域第12頁

1、定義在R上的函數(shù)f(x),若同時關(guān)于直線xa和x2a對稱,即對于任意的實(shí)數(shù)x,函數(shù)f(x)同時滿足f(ax)f(ax)，f(2ax)f(2ax)，則函數(shù)f(x)是以T2a為周期的周期函數(shù)，且是偶函數(shù).

2、定義在R上的函數(shù)f(x),若同時關(guān)于直線xa和點(diǎn)(2a,0)對稱,即對于任意的實(shí)數(shù)x,函數(shù)f(x)同時滿足f(ax)f(ax)，f(2ax)f(2ax)，則函數(shù)f(x)是以T4a為周期的周期函數(shù)，且是奇函數(shù).

3、定義在R上的函數(shù)f(x),若同時關(guān)于點(diǎn)(a,0)和直線x2a對稱,即對于任意的實(shí)數(shù)x,函數(shù)f(x)同時滿足f(ax)f(ax)，f(2ax)f(2ax)，則函數(shù)f(x)是以T4a為周期的周期函數(shù)，且是偶函數(shù).

4、定義在R上的函數(shù)f(x),若同時關(guān)于點(diǎn)(a,0)和點(diǎn)(2a,0)對稱,即對于任意的實(shí)數(shù)x,函數(shù)f(x)同時滿足f(ax)f(ax)，f(2ax)f(2ax)，則函數(shù)f(x)是以T2a為周期的周期函數(shù)，且是奇函數(shù).

5、若偶函數(shù)f(x)關(guān)于直線xa對稱，即對于任意的實(shí)數(shù)x,函數(shù)f(x)滿足f(ax)f(ax)，則f(x)是以T2a為周期的周期函數(shù).

6、若偶函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對稱，即對于任意的實(shí)數(shù)x,函數(shù)f(x)滿足f(ax)f(ax)，則f(x)是以T4a為周期的周期函數(shù).

7、若奇函數(shù)f(x)關(guān)于直線xa對稱，即對于任意的實(shí)數(shù)x,函數(shù)f(x)滿足f(ax)f(ax)，則f(x)是以T4a為周期的周期函數(shù).

8、若奇函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對稱，即對于任意的實(shí)數(shù)x,函數(shù)f(x)滿足f(ax)f(ax)，則f(x)是以T2a為周期的周期函數(shù).

【拓展】：

1、若函數(shù)yf(xa)為偶函數(shù)，則函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于直線xa對稱.

2、若函數(shù)yf(xa)為奇函數(shù)，則函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)對稱.

3、定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(ax)f(ax)，且方程f(x)0恰有2n個實(shí)根，則這2n個實(shí)根的和為2na.

4、定義在R上的函數(shù)yf(x)滿足f(ax)f(bx)c(a,b,c為常數(shù))，則函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(ab

c,)對稱.22

①如果奇函數(shù)yf(x)在區(qū)間0,上是遞增的,那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間,0上也是遞增的;②如果偶函數(shù)yf(x)在區(qū)間0,上是遞增的,那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間,0上是遞減的;C8.關(guān)于奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系.

【思考】：結(jié)論推導(dǎo)

C9.幾何體中數(shù)量運(yùn)算導(dǎo)出結(jié)論

數(shù)量運(yùn)算結(jié)論涉及到幾何體的棱、側(cè)面、對角面、截面等數(shù)量關(guān)系及幾何性質(zhì).

1.在長方體(a,b,c)中：

①體對角線長為abc，外接球直徑2R

②棱長總和為4(abc)；

③全(表)面積為2(abbcca)，體積Vabc；

④體對角線與過同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為,,,則有222

cos2+cos2+cos2=1，sin2+sin2+sin2=2.

⑤體對角線與過同一頂點(diǎn)的三側(cè)面所成的角分別為,,,則有

cos+cos+cos=2，sin+sin+sin=1.222222

2.在正三棱錐中：①側(cè)棱長相等(

側(cè)棱與底面所成角相等)頂點(diǎn)在底上射影為底面外心；②側(cè)棱兩兩垂直(兩對對棱垂直)頂點(diǎn)在底上射影為底面垂心；③斜高長相等(側(cè)面與底面所成角相等)且頂點(diǎn)在底上在底面【補(bǔ)充】：一、四面體．

1．對照平面幾何中的三角形，我們不難得到立體幾何中的四面體的類似性質(zhì)：

①四面體的六條棱的垂直平分面交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做此四面體的外接球的球心；

②四面體的四個面組成六個二面角的角平分面交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做此四面體的第14頁

A

O

D

④h=4r．

二、空間正余弦定理．

空間正弦定理：sin∠ABD/sin∠A-BC-D=sin∠ABC/sin∠A-BD-C=sin∠CBD/sin∠C-BA-D

空間余弦定理：cos∠ABD=cos∠ABCcos∠CBD+sin∠ABCsin∠CBDcos∠A-BC-D

6.直角四面體的性質(zhì)：

在直角四面體OABC中,OA,OB,OC兩兩垂直,令OAa,OBb,OCc,則

?底面三角形ABC為銳角三角形；

?直角頂點(diǎn)O在底面的射影H為三角形ABC的垂心；

?SBOCSBHCSABC；

?SAOBSBOCSCOASABC；

?1

OH2222221a2

1b21c2；

?外接球半徑R=R7.球的組合體(1)球與長方體的組合體:

長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長．

(2)球與正方體的組合體:

正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長,正方體的

徑是正方體的面對角線長,正方體的外接球的直徑是正

角線長．

(3)球與正四面體的組合體:

棱長為a

的正四面體的內(nèi)切球的半徑為外接球的半徑為bsin),asin)棱切球的直方體的體對N的軌跡是橢圓a,12a．4

C10.圓錐曲線幾何性質(zhì)

如果涉及到其兩“焦點(diǎn)”，優(yōu)先選用圓錐曲線第一定義；如果涉及到其“焦點(diǎn)”、“準(zhǔn)線”或“離心率”，優(yōu)先選用圓錐曲線第二定義；此外，如果涉及到焦點(diǎn)三角形的問題，也要重視焦半徑和三角形中正余弦定理等幾何性質(zhì)的應(yīng)用.PF1PF22aF1F2方程為橢圓,

橢圓方程的第一定義：PF1PF22aF1F2無軌跡,

PF1PF22aF1F2F1,F2為端點(diǎn)的線段

PF1PF22aF1F2方程為雙曲線雙曲線的第一定義：PF1PF22aF1F2無軌跡

PF1PF22aF1F2F1,F2的一個端點(diǎn)的一條射線

圓錐曲線第二定義（統(tǒng)一定義）：平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線l的距離之比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡．簡言之就是“e點(diǎn)點(diǎn)距（數(shù)的統(tǒng)一）”，橢圓，雙曲線，拋物線相對關(guān)系（形的統(tǒng)一）如右圖.點(diǎn)線距

當(dāng)0e1時，軌跡為橢圓；

當(dāng)e1時，軌跡為拋物線；

當(dāng)e1時，軌跡為雙曲線；

c當(dāng)e0時，軌跡為圓（e，當(dāng)c0,ab時）．a(chǎn)

圓錐曲線的對稱性、圓錐曲線的范圍、圓錐曲線的特殊點(diǎn)線、圓錐曲線的變化趨勢.其中

e，橢圓中

、雙曲線中.

圓錐曲線的焦半徑公式如下圖：

(a特征直角三角形、焦半徑的最值、焦點(diǎn)弦的最值及其“頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等相互之間與坐標(biāo)系無關(guān)的幾何性質(zhì)”，尤其是雙曲線中焦半徑最值、焦點(diǎn)弦最值的特點(diǎn).

d

C11.函數(shù)圖像變換（主要有平移變換、翻折變換、對稱變換和伸縮變換等）.

1.平移變換

向量平移法則：

yfx按a=(h,k)平移得yfxhk，即Fx,y0按a=(h,k)平移得Fxh,yk0，當(dāng)m0時，向右平移，m0時，向左平移.當(dāng)n0時，向上平移，n0時向下平移.對于“從yfx到y(tǒng)fxhk”是“左加右減，上加下減”，對于平移向量“a=(h,k)”是“左負(fù)右正，上正下負(fù)”.

【小結(jié)】：“按向量平移”的幾個結(jié)論

①點(diǎn)P(x,y)按向量a(h,k)平移后得到點(diǎn)P(xh,yk).

②函數(shù)yf(x)的圖像C按向量a(h,k)平移后得到圖像C，則C的函數(shù)解析式為’’’

yf(xh)k.

③圖像C按向量a(h,k)平移后得到圖像C，若C的解析式y(tǒng)f(x)，則C的函數(shù)解析式為’’

yf(xh)k.

④曲線C：f(x,y)0按向量a(h,k)平移后得到圖像C，則C的方程為f(xh,yk)0.⑤向量m(x,y)按向量a(h,k)平移后得到的向量仍然為m(x,y).

2.翻折變換

(1)由yfx得到y(tǒng)|f(x)|，就是把yfx的圖像在x軸下方的部分作關(guān)于x軸對稱的圖像，即把x軸下方的部分翻到x軸上方，而原來x軸上方的部分不變.

(2)由yfx得到y(tǒng)f(|x|)，就是把yfx的圖像在y軸右邊的部分作關(guān)于y軸對稱的圖像，即把y軸右邊的部分翻到y(tǒng)軸的左邊，而原來y軸左邊的部分去掉，右邊的部分不變.

3.伸縮變換

x/x0(1)設(shè)點(diǎn)Px,y是平面直角坐標(biāo)系第16頁

(1)函數(shù)yf(x)的圖像可以將函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于y軸對稱即可得到；

y軸

yfxyf(x)

(2)函數(shù)yf(x)的圖像可以將函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于x軸對稱即可得到；

x軸yfxyfx

(3)函數(shù)yf(x)的圖像可以將函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱即可得到；

原點(diǎn)yfxyf(x)

(4)函數(shù)xf(y)的圖像可以將函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于直線yx對稱得到.

直線yxyfxxfy

(5)函數(shù)yf(2ax)的圖像可以將函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于直線xa對稱即可得到；

yf(2ax).yfx

直線xa

【注意】：函數(shù)圖像平移和伸縮變換應(yīng)注意的問題

(1)觀察變換前后位置變化：.函數(shù)圖像的平移、伸縮變換中，圖像的特殊點(diǎn)、特殊線也作相應(yīng)的變換.(2)觀察變換前后量變化：直線、雙曲線、拋物線通過伸縮變換后仍分別為直線、雙曲線、拋物線，但可以改變直線的傾斜角，雙曲線的離心率、拋物線的開口大小及它們的位置；深刻理解圓錐曲線在形和數(shù)上的統(tǒng)一.

(2)圖像變換應(yīng)重視將所研究函數(shù)與常見函數(shù)（正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、對數(shù)函

(3)理解等軸雙曲線y(c0,adbc)與反比例函數(shù)y數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、“函數(shù)yxk0”及函數(shù)yxk0等）相互轉(zhuǎn)化.

k0圖像的本質(zhì)聯(lián)系.

(4)應(yīng)特別重視“二次三項(xiàng)式”、“二次方程”、“二次函數(shù)”、“二次曲線”之間的特別聯(lián)系,理解函數(shù)、方程、曲線及不等方程的聯(lián)系.

(1)

x1

11x；x1x.2n

1

(2)(1x)1

x(R)；1x.

1x

x

(3)e1x；ln(1x)x.(4)sinxx（x為弧度）；tanxx（x為弧度）；arctanxx（x為弧度）.

C14.大小比較常用方法：

①作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果；②作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；③分析法；④平方法；

⑤分子（或分母）有理化；⑥利用函數(shù)的單調(diào)性；

⑦尋找中間量與“0”比，與“1”比或放縮法；

⑧圖像法.其中比較法（作差、作商）是最基本的方法.C15.不定項(xiàng)填空題易誤知識點(diǎn)拾遺：(1)情況存在的“個數(shù)”問題

①空間中到四面體的四個頂點(diǎn)距離都相等的平面＿＿個.（7個）；

②過直線外一點(diǎn)有＿＿個平面與該直線平行（無數(shù)個）；

③一直線與一平面斜交，則平面面邊

體積面積；二面角平面角

面積線段長；??.

D、13～14，把關(guān)題，考點(diǎn)靈活/題型新穎/方法隱蔽

D1.熟知幾個重要函數(shù)

1.f(x)axb

x

(1)a0,b0時，f(x)為“雙鉤函數(shù)”：

①定義域：(,0)(0,)；值域?yàn)?,)；②奇偶性：奇函數(shù)（有對稱中心）；

③單調(diào)性：在區(qū)間(,)上單調(diào)遞增；在區(qū)間[④極值：x上單調(diào)遞減.時取到極大值，x時取到極小值.b

x⑤記住f(x)ax(a0,b0)的圖像的草圖.

數(shù)學(xué)應(yīng)試筆記第18頁

⑥不等式性質(zhì)：x

0時，f(x)ax≥xb；

x0時，

f(x)axb

x≤(2)a0,b0時，f(x)在區(qū)間上為增函數(shù).（，0）（,0，）

【思考】：圖像大致如何分布.

(3)常用地，當(dāng)ab1時，f(x)x

【探究】：①函數(shù)f(x)1的特殊性質(zhì)略.x1

axb

x的圖像變化趨勢怎樣？

②fxax2b

2,fxaxnbnnN的有關(guān)性質(zhì).xx

2.y(c

0,adbc)cxdy化簡為，ycxdxadd①定義域：(,)(,)；值域?yàn)閥的一切實(shí)數(shù)；ccc

②奇偶性：不作討論；

bdd③單調(diào)性：當(dāng)0時，在區(qū)間(,],[,)上單調(diào)遞增；ccc

bdd當(dāng)0時，在區(qū)間(,],[,)上單調(diào)遞減.ccc

④對稱中心是點(diǎn)(d,a)；⑤兩漸近線：直線xd和直線ya；【注意】：兩條漸近線分別由分母為零和分子、分母中x的系數(shù)確定.

⑥平移變換：y(c0,adbc)可由反比例函數(shù)y(k0)圖像經(jīng)過平移得到；x

⑦反函數(shù)為y；

【說明】

：分式函數(shù)y(c0,adbc)與反比例函數(shù)yc(c0)，，同源于x

2y2雙曲線221.ab

3.三次函數(shù)圖像與性質(zhì)初步

*1.定義：形如yaxbxcxd(a0)的函數(shù)叫做三次函數(shù).定義域?yàn)镽,值域?yàn)镽.*2.解析式：①一般式：f(x)axbxcxd(a0)；

②零點(diǎn)式：f(x)a(xx1)(xx2)(xx3)(a0)

*3.單調(diào)性：

【探究】：要嘗試研究一個陌生函數(shù)的一些性質(zhì)，以往

數(shù)問題時，我們需要考慮的因素：①開口方向；②對稱軸；

坐標(biāo)軸交點(diǎn)；⑤判別式；⑥兩根符號.在研究三角函數(shù)問題

“五點(diǎn)”作圖法.

323232在研究二次函③端點(diǎn)值；④與時，又采用過那三次函數(shù)f(x)axbxcxd(a0)的圖像及性質(zhì)，要從那里入手呢？

再結(jié)合探究工具“導(dǎo)數(shù)”，我們不妨從函數(shù)圖像幾何特征角度，如零點(diǎn)、極值點(diǎn)、拐點(diǎn)、凹凸性、極值點(diǎn)區(qū)間等，確定研究的方向，把握三次函數(shù)的一些粗淺性質(zhì).

yax3bx2cxd(a0)

所以，f(x)3ax2bxc，導(dǎo)函數(shù)對稱軸x2b

3a.

【注意】：拐點(diǎn)橫坐標(biāo)所在處，也有可能是駐點(diǎn)所在處.

“極值判別式”，當(dāng)判別式小于等于零時，無極值點(diǎn)）12ac（

2（一）若4b12ac0

2bc令f(x)0，由根與系數(shù)關(guān)系知：x1x2，x1x23a3a4b2

bb23acbb23ac,x2兩極值點(diǎn)：x13a3a

（1）當(dāng)a0，b0，c0，約定d0，則拐點(diǎn)在y軸左邊，極值點(diǎn)分布在y軸左邊.根據(jù)零點(diǎn)的個數(shù)，嘗試做出如下圖像：

（2）當(dāng)a0，b0，c0值點(diǎn)絕對值；

第20頁

（3）當(dāng)a0，b0，c0時，拐點(diǎn)在y軸右邊，極值點(diǎn)分布在y軸右邊，且左極值點(diǎn)絕對值大于右極值點(diǎn)絕對值.圖略

（4）當(dāng)a0，b0，c0時，拐點(diǎn)在y軸右邊，極值點(diǎn)分布在y軸兩邊，且左極值點(diǎn)絕對值小于右極值點(diǎn)絕對值.圖略（二）若4b12ac

0

由x1x2

2

點(diǎn)橫坐標(biāo)仍為

b

3a

，所以圖像如右圖所示.

2

f(x)

在

（三）若0即b3ac0時，f’(x)0在R上恒成立，即

(,)為增函數(shù).

*4.極值：

函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的充要條件是什么？等價表述，和單調(diào)性的聯(lián)系

(1)若b3ac≤0，則f(x)在R上無極值；

(2)若b3ac0，則f(x)在R上有兩個極值；且f(x)在xx1處取得極大值，在xx2處取得

極小值.

*5.零點(diǎn)個數(shù)(根的性質(zhì))函數(shù)f(x)axbxcxd(a0)的圖像與x軸有幾個交點(diǎn)？和函數(shù)的哪些性質(zhì)相聯(lián)系？

（聯(lián)系函數(shù)的極值，進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化）

一個交點(diǎn)：極大值小于0，或者是極小值大于0.也可以表述為“極大值與極小值同號”；兩個交點(diǎn)：極大值等于零，或者極小值等于零；三個交點(diǎn)：極大值大于零，極小值小于零.

D2.幾個重要圖像

1.yaxb（ab0）

3

2

22

b3.yxaxb（ab0）4.yxaxb（ab0）

B

2

5.xaybm6.xaybm

D3.函數(shù)yF(x)f(x)g(x)的零點(diǎn)處理：

（1）yF(x)的零點(diǎn)（不是點(diǎn)而是數(shù)）F(x)0的根

yF(x)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

yf(x),yg(x)的交點(diǎn)問題.

（2）注意討論周期函數(shù)（特別是三角函數(shù)）在某區(qū)間③更比定理：；bdacbdcdacabcdacabcd④合比定理；；⑤分比定理：；bdbdbdbd

acabcdacabcd⑥合分比定理：；⑦分合比定理：；bdabcdbdabcd

aaaa2a3ana1aa.⑧等比定理：若123n，b1b2b3bn0，則1

b1b2b3bnb1b2b3bnb1①比例基本性質(zhì)：

D5.（1）三角形中的“三線定理”（斯德瓦定理）

數(shù)學(xué)應(yīng)試筆記第22頁

AC2BDAB2BC在△ABC中，D是BC上任意一點(diǎn)，則ADBDDC．BC

1①若AD是BC上的中線，ma2b22c2a2；2

2②若AD是∠A的平分線，tappa，其中p為半周長；bc

2③若AD是BC上的高，happapbpc，其中p

為半周長．a(chǎn)2（2）三角形“五心”的向量性質(zhì)(P為平面ABC④O為ABC的外心(OAOB)AB(OBOC)BC(OCOA)CA0

22OAOBOC；⑤O為ABC中A的旁心|BC|OA|AC|OB|AB|OC；

D6.含絕對值不等式

(1)復(fù)數(shù)集【注意】：)(a,bR)(a,bR)，ab≤(22222②3(abc)≥(abc)2≥3(abbcca)(當(dāng)且僅當(dāng)abc時取“=”號)．

2、均值不等式：

兩個正數(shù)a、b的調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、均方根之間的關(guān)系，即“平方平均≥算術(shù)平均≥幾何平均≥調(diào)和平均”

【拓展】：

①冪平均不等式：

1222

a12a2...an≥(a1a2...an)(a,b,cR,a

bc時取等)

n

②“算術(shù)平均≥幾何平均（a1、a2?an為正數(shù)）”：

a1a2an（a1=a2=?=an時取等）

n

3、含立方的幾個重要不等式（a、b、c為正數(shù)）：

①a3b3≥a2bab2

②abc3abc(abc)(abcabacbc)

；a3b3c3≥3abc（abc

0等式即可成立，abc或abc0時取等）

abcabc3a3b3c3abc≤()≤

3334、柯西不等式：

①（代數(shù)形式）設(shè)a,b,c,d均為實(shí)數(shù)，則

3

3

3

2

2

2

(a2b2)(c2d2)≥(acbd)2，其中等號當(dāng)且僅當(dāng)adbc時成立.

②（向量形式）設(shè)，為平面上的兩個向量，則||||≥||，其中等號當(dāng)且僅當(dāng)兩個向量方

向相同或相反（即兩個向量共線）時成立.

③（三角形式）設(shè)

x1,y1

,

x2,y2,x3,y3為任意實(shí)數(shù)，則：

【思考】：

三角形不等式中等號成立的條件是什么？

④（推廣形式）設(shè)ai,biR(i1,2,,n),則

22222

(a1b1a2b2anbn)2≤(a21a2an)(b1b2bn)

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)

aa1a2

n時成立．（約定ai0時，bi0）b1b2bn

5、絕對值不等式：a1a2a3≤a1a2a3

ababab(ab0時,取等)

雙向不等式：ab≤ab≤ab

（左邊當(dāng)ab≤0(≥0)時取得等號，右邊當(dāng)ab≥0(≤0)時取得等號.）

6、放縮不等式：

①ab0，am0，則【說明】：

bmbbm

.amaam

bbm（ab0,m0，糖水的濃度問題）.aam

bbmana1.aambnb

【拓展】：ab0，m0，n0，則②a,b,cR，

bdb

bdd

，則；acaa

cc

③n

N

數(shù)學(xué)應(yīng)試筆記第24頁

111112.nn1nn1n

x⑤lnx≤1x(x0),e≥x1(xR).④nN,n1，

D8.三角函數(shù)最值題型及解題捷徑

①yasinxbcosx；22②yasinxbsinxcosxccosx；

③yasinxbcosxc；2④yasinxcosx（均值不等式法）；⑤含有sinxcosx或sinxcosx；⑥y2asinxc.bcosxd

D9.數(shù)論中的一些淺顯結(jié)論

數(shù)論可以分為：初等數(shù)論，代數(shù)數(shù)論，幾何數(shù)論，解析數(shù)論等.數(shù)論問題，常常涉及整數(shù)的整除性、帶余除法、奇數(shù)與偶數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、約數(shù)與倍數(shù)、整數(shù)的分解與分拆.

主要結(jié)論有：

①帶余除法：若a,b是兩個整數(shù)，b＞0，則存在兩個整數(shù)q,r,使得abqr（0≤r＜b），q、r是唯一的.特別地，如果r0，那么abq.這時a被b整除，記作b|a，也稱b是a的約數(shù)，a是b的倍數(shù).

②若a|c，b|c，且a,b互質(zhì)，則ab|c.

12n③唯一分解定理：每一個大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即P1P2…Pn,(1)其中aaa

p1＜p2＜＜pk為質(zhì)數(shù)，a1,a2,,ak為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的.（1）式稱為n的質(zhì)因數(shù)分解或標(biāo)準(zhǔn)

分解.

④約數(shù)個數(shù)定理：設(shè)n的標(biāo)準(zhǔn)分解式為（1），則它的正約數(shù)個數(shù)為：d(n)(a11)(a21)…(ak1)

⑤整數(shù)集的離散性：n與n1之間不再有其他整數(shù).因此，不等式x＜y與x≤y1是等價的.

二、解答題

做題提醒：獲得高分不僅需要采取多奪分策略，還須謹(jǐn)記堅持少丟分策略

第十五題（三角基礎(chǔ)題）——基礎(chǔ)題你答對了嗎？

15.1、正弦定理

1.知識工具：

在△ABC中，a

sinAb

sinBc

sinC2R（2R是ABC外接圓直徑）.

【變式】：①a:b:csinA:sinB:sinC；

②a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC；abcabc。sinAsinBsinCsinAsinBsinC

abc,sinB,sinC④sinA2R2R2R③

在這個式子當(dāng)中，已知兩邊和一角或已知兩角和一邊，可以求出其它所有的邊和角.

【注明】：正弦定理的作用是進(jìn)行三角形中的邊角互化，在變形中，注意三角形中其他條件的應(yīng)用：

(1)三角形24R

AB

2cosC

2，cos(4)三角函數(shù)的恒等變形sin(AB)sinC，sin(AB)cosC，sinABCsin22

2.三種題型

①利用正弦定理公式原型解三角形

②利用正弦定理公式的變形(邊角互化)解三角形：關(guān)于邊或角的齊次式可以直接邊角互化.

③三角形解的個數(shù)的判定：

方法一：畫圖觀察

已知a,b,A，其中hbsinA，?A為銳角時：①ah時，無解；

②ah時，一解（直角）；③hab時，兩解（一銳角，一鈍角）；

A④a≥b時，一解（一銳角）.

?A為直角或鈍角時：

①a≤b時，無解；

②ab時，一解（銳角）.

方法二：通過正弦定理解三角形，利用三角形第26頁

和余弦定理進(jìn)行求解.

15.3、常見結(jié)論

1.①三角學(xué)中的射影公式：在ABC中，abcosCccosB…….AB；CDADDB.②三角學(xué)中的射影定理：在RtABC中，ACAD【思考】“射影定理”、“勾股定理”關(guān)系.22

ABtanab.2.正切定理：abtanAB

2

3.三角形面積公式

①S12

1aha121AB；bhbchc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）211②SabsinCacsinBbcsinA；

③S2abc224R；④S2RsinAsinBsinC（R為外接圓半徑）；2

a2sinBsinCb2sinCsinAc2sinAsinB【變形】：S＝＝＝．2sin(BC)2sin(CA)2sin(AB)

；⑤Sabcr（r為圖2圖3

CBCD圖4圖5

附：三角形的五個“心”：

重心：三角形三條中線交點(diǎn)．

外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn)．

內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn)．

垂心：三角形三邊上的高相交于一點(diǎn)．

旁心：三角形一內(nèi)角的平分線與另兩條內(nèi)角的外角平分線相交一點(diǎn)．

abc（5）已知⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，若BC=a，AC=b，AB=c[注：s為△ABC的半周長,即]，則：2

AE=sa=1/2（b+c-a）；

BN=sb=1/2（a+c-b）；

FC=sc=1/2（a+b-c）；

綜合上述：由已知得，一個角的鄰邊的切線長，等于半周長減去對邊（如圖4）．a(chǎn)aa

特例：已知在Rt△ABC，c為斜邊，則ABx1,y1,ACx2,y2；

⑦Sabcab（如圖3）．2abc

可由2

及向量的數(shù)量積公式可得；⑧S(其中Pabc).2

第十六題（立幾基礎(chǔ)題）——推證不漏一個條件

16.1、位置關(guān)系證明（主要方法）：

（1）線面平行

思考途徑I.轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點(diǎn)；

II.轉(zhuǎn)化為線線平行；

III.轉(zhuǎn)化為面面平行

a//b//aa//支持定理①ba//；②；③a//aaa

配圖助記

（2）線線平行：

思考途徑I.轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點(diǎn)；

II.轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；

III.轉(zhuǎn)化為線面平行；

IV.轉(zhuǎn)化為線面垂直；

V.轉(zhuǎn)化為面面平行.

支持定理

a////aa//b①a；②；③；④a//baa//ba//bc//ba//cbbb

配圖助記baabb

（3）面面平行：

思考途徑I.轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點(diǎn)；

II.轉(zhuǎn)化為線面平行；

III.轉(zhuǎn)化為線面垂直.

a,ba//////支持定理①abo；②；③//a//a//,b//

數(shù)學(xué)應(yīng)試筆記第28頁

配圖助記

a

（4）線線垂直：

思考途徑I.轉(zhuǎn)化為相交垂直；

II.轉(zhuǎn)化為線面垂直；

III.轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；IV.轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.

支持定理

PO

a0①ab；②所成角為90；③aaPA(三垂線及逆定理)；b

aAO

配圖助記

a

P

（5）線面垂直：

思考途徑I轉(zhuǎn)化為該直線與平面I.轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；

II.轉(zhuǎn)化為線面垂直.

支持定理①二面角90；②配圖助記

aa//

；③

aa

a

16.2、求解空間角、距離和體積

(一)求角：（步驟------Ⅰ.找或作平面角；Ⅱ.求角）

?異面直線所成角的求法：

①平移法：平移直線，構(gòu)造三角形；

②補(bǔ)形法：補(bǔ)成正方體、平行六面體、長方體等，發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系.

(理科還可用向量法，轉(zhuǎn)化為兩直線方向向量的夾角.)

?直線與平面所成的角：

①直接法（利用線面角定義）；

②先求斜線上的點(diǎn)到平面距離h，與斜線段長度作比，得sin.

（理科還可用向量法，轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面法向量的夾角.）

?二面角的求法：

①定義法：在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)），作出平面角，再求解；

②三垂線法：由一個半面第30頁

|12|≤≤180(12)(當(dāng)且僅當(dāng)90時

（4）最小角定理(立平斜公式)：

設(shè)AC是MF1ex0a

MF2ex0a

（與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號計算，而雙曲線不帶符號）

x2y2

雙曲線221：ba

MF1ey0aMF1ey0a

；

MF2ey0aMFeya

20p

(2)拋物線：

PFx0

2.弦長公式：

11yy(1)[(y1y2)24y1y2]；2122kk

【注】：(1)焦點(diǎn)弦長：i．橢圓：|AB|2ae(x1x2)；

ii．拋物線：AB＝x1x2p

2p

；

sin2

2b2

(2)通徑（最短弦）：i．橢圓、雙曲線：；

a

ii．拋物線：2p.

3.過兩點(diǎn)的橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為：mxny1（m,n同時大于0時表示橢圓，mn0時表示雙曲線）；4.橢圓中的結(jié)論：

(1)第32頁

的=．

nd2PF2

e

常用結(jié)論2：從雙曲線一個焦點(diǎn)到另一條漸近線的距離等于b．

(8)直線與雙曲線的位置關(guān)系：

區(qū)域①：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計2條；

區(qū)域②：即定點(diǎn)在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計3條；區(qū)域③：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計4條；

區(qū)域④：即定點(diǎn)在漸近線上且非原點(diǎn)，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計2條；區(qū)域⑤：即過原點(diǎn)，無切線，無與漸近線平行的直線．

小結(jié)：過定點(diǎn)作直線與雙曲線有且僅有一個交點(diǎn)，可以作出的直線數(shù)目可能有0、2、3、4條．

若直線與雙曲線一支有交點(diǎn)，交點(diǎn)為二個時，求確定直線的斜率可用代入法與漸近線求交和兩根“”之和與兩根之積同號．6.拋物線中的結(jié)論：

(1)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)弦AB性質(zhì)：

2

i．x1x2p；y1y2p2；

4

ii．

112

；|AF||BF|p

iii．以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；

iv．以AF（或BF）為直徑的圓與y軸相切；v．SAOB

p2

.2sin

2

2

(2)拋物線y22px(p0)內(nèi)結(jié)直角三角形OAB的性質(zhì)：i．x1x24P,y1y24P；ii．lAB恒過定點(diǎn)(2p,0)；

iii．A,B中點(diǎn)軌跡方程：yp(x2p)；

iv．OMAB，則M軌跡方程為：(xp)yp；v．(SAOB)min4p.

(3)拋物線y22px(p0)，對稱軸上一定點(diǎn)A(a,0)，則：i．當(dāng)0a≤p時，頂點(diǎn)到點(diǎn)A距離最小，最小值為a；

ii．當(dāng)ap時，拋物線上有關(guān)于x軸對稱的兩點(diǎn)到點(diǎn)A距離最小，最小值為2app.

17.2、兩個常見的曲線系方程

2

2

2

222

(1)過曲線f1(x,y)0,f2(x,y)0的交點(diǎn)的曲線系方程是f1(x,y)f2(x,y)0(為參數(shù)).

x2y2

21,其中kmax{a2,b2}.(2)共焦點(diǎn)的