導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 課件

導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

在經(jīng)濟(jì)生活中，人們經(jīng)常遇到最優(yōu)化問題，例如為使經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)最大、生產(chǎn)效率最高，或?yàn)槭褂昧ψ钍?、用料最少、消耗最省等等，需要尋求相?yīng)的最佳方案或最佳策略，這些都是最優(yōu)化問題。實(shí)際問題利用導(dǎo)數(shù)求解的一般步驟(1)分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，找出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)；(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和極值點(diǎn)的函數(shù)值大小，最大(小)者為最大(小)值．例1.在邊長(zhǎng)為a的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起(如圖)，做成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體容器，為使其容積最大，截下的小正方形邊長(zhǎng)應(yīng)是多少？解：設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為xcm，則箱子容積典型例題所以令解得x1=a，x2=a（舍去），在區(qū)間(0，a)內(nèi)，且當(dāng)0<x<a時(shí)，V'(x)>0，當(dāng)a<x<a時(shí)，V'(x)<0，

由題意可知，當(dāng)x過小（接近0）或過大（接近a）時(shí)，箱子容積很小，

因此當(dāng)截下的正方形邊長(zhǎng)是a時(shí)，容積最大。因此x=a是極大值點(diǎn)，例2．橫截面為矩形的橫梁的強(qiáng)度同它的斷面高的平方與寬的積成正比，要將直徑為d的圓木鋸成強(qiáng)度最大的橫梁，斷面的寬度和高度應(yīng)是多少？解：如圖，設(shè)斷面的寬為x，高為h，則h2=d2－x2，橫梁的強(qiáng)度函數(shù)f(x)=kxh2(k為強(qiáng)度系數(shù),k>0)，所以f(x)=kx(d2－x2)，0<x<d，在開區(qū)間(0，d)內(nèi)，令f'(x)=k(d2－3x2)=0，

解得x=±d，其中負(fù)根沒有意義，舍去.當(dāng)0<x<d時(shí)，f’(x)>0，當(dāng)d<x<d時(shí)，f'(x)<0，

因此在區(qū)間(0，d)內(nèi)只有一個(gè)極大值點(diǎn)x=d，所以f(x)在x=d取得最大值，這就是橫梁強(qiáng)度的最大值，這時(shí)

即當(dāng)寬為d，高為時(shí)，橫梁的強(qiáng)度最大。例3．如圖，一海島駐扎一支部隊(duì)，海島離岸邊最近點(diǎn)B的距離是150km，在岸邊距點(diǎn)B300km的點(diǎn)A處有一軍需品倉(cāng)庫(kù)，有一批軍需品要盡快送達(dá)海島，A與B之間有一鐵路，現(xiàn)有海陸聯(lián)運(yùn)方式運(yùn)送?；疖嚂r(shí)速為50km，船時(shí)速為30km，試在岸邊選一點(diǎn)C，先將軍需品用火車送到點(diǎn)C，再用輪船從點(diǎn)C運(yùn)到海島，問點(diǎn)C選在何處可使運(yùn)輸時(shí)間最短？解:設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)B的距離是xkm，則運(yùn)輸時(shí)間(0≤x≤300)因?yàn)樗粤頣'(x)=0，則有即25x2=9(1502+x2)，解此方程，得x=±舍去負(fù)值，取x0=112.5.因?yàn)門(0)=11，T(300)=11.2，T(112.5)=則10是三數(shù)中最小者，

所以選點(diǎn)C在與點(diǎn)B距離為112.5km處,運(yùn)輸時(shí)間最小。例4．如圖，已知電源的電動(dòng)勢(shì)為ε，內(nèi)電阻為r，問當(dāng)外電阻取什么值時(shí)，輸出的功率最大？解：由歐姆定律得電流強(qiáng)度在負(fù)載電路上的輸出功率是P=