2022年高考沖刺數學（理）試題（江蘇卷）3

2015年高考數學（理）試題（江蘇卷）一、填空題：本大題共14個小題,每小題5分,共70分.1.已知集合，，則集合中元素的個數為_______.答案：5解析：知識點：集合運算2.已知一組數據4，6，5，8，7，6，那么這組數據的平均數為________.答案：6解析：知識點：平均數3.設復數z滿足（i是虛數單位），則z的模為_______.答案：解析：知識點：復數的模4.根據如圖所示的偽代碼，可知輸出的結果S為________.SS1I1WhileI<10SS+2II+3EndWhilePrintS答案：7解析：第一次循環(huán)：;第二次循環(huán)：;第三次循環(huán)：;結束循環(huán)，輸出S=7。知識點：循環(huán)結構流程圖5.袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為________.答案：解析：從4只球中隨機摸出2只，共有6種摸法，其中兩只球顏色不同的共有5種，所以其概率為知識點：古典概型概率6.已知向量a=，b=,若ma+nb=(),的值為______.答案：-3解析：由題意得：知識點：向量相等7.不等式的解集為________.答案：解析：由題意得：，解集為知識點：解指數不等式與一元二次不等式8.已知，，則的值為_______.答案：3解析：知識點：兩角差正切公式9.現有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個。若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐與圓柱各一個，則新的底面半徑為答案：解析：由體積相等得：知識點：圓柱及圓錐體積10.在平面直角坐標系中，以點為圓心且與直線相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為答案：解析：由題意得：半徑等于，所以把所求圓為.知識點：直線與圓位置關系11.數列滿足，且（），則數列的前10項和為答案：解析：由題意得：，所以。知識點：數列通項，裂項求和12.在平面直角坐標系中，為雙曲線右支上的一個動點。若點到直線的距離大于c恒成立，則是實數c的最大值為答案：解析：設，因為直線x-y+1=0平行于漸近線x-y=0，所以c的最大值為直線x-y+1=0與漸近線x-y=0之間距離，為知識點：雙曲線漸近線，恒成立轉化13.已知函數，，則方程實根的個數為答案：4解析：由題意得：求函數與交點個數以及函數與交點個數之和，因為，所以函數與有兩個交點，又，所以函數與有兩個交點，因此共有4個交點知識點：函數與方程14.設向量，則的值為答案：解析：akak+1因為的周期皆為6，一個周期的和皆為零，因此(akak+1).知識點：向量數量積，三角函數性質二、解答題（本大題共6小題，共90分.）15.（本小題滿分14分）在中，已知.（1）求的長；（2）求的值.答案：（1）（2）解析：（1）由余弦定理可知，，所以BC=.(2)由正弦定理可知，，所以；因為AB<BC，所以C為銳角，則，因此。知識點：余弦定理，二倍角公式16.（本題滿分14分）如圖，在直三棱柱中，已知，，設的中點為，.求證：（1）；（2）.答案：（1）詳見解析（2）詳見解析解析：（1）根據題意，得；E為B1C的中點，D為AB1的中點，所以DE∥AC；又因為DE?平面AA1C1C，AC?平面AA1C1C，

所以DE∥平面AA1C1C；

（2）因為棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，

因為AC?平面ABC，所以AC⊥CC1；

又因為AC⊥BC，CC1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，BC∩CC1=C，

所以AC⊥平面BCC1B1；

又因為BC1?平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；

因為BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥平面B1AC；

又因為AB1?平面B1AC，所以BC1⊥AB1．知識點：線面平行判定定理，線面垂直判定定理17.（本小題滿分14分）某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區(qū)的交通現狀，計劃修建一條連接兩條公路的山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為，山區(qū)邊界曲線為C，計劃修建的公路為l，如圖所示，M，N為C的兩個端點，測得點M到的距離分別為5千米和40千米，點N到的距離分別為20千米和千米，以所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標系xOy，假設曲線C符合函數（其中a，b為常數）模型.（1）求a，b的值；（2）設公路l與曲線C相切于P點，P的橫坐標為t.=1\*GB3①請寫出公路l長度的函數解析式，并寫出其定義域；=2\*GB3②當t為何值時，公路l的長度最短？求出最短長度.答案：（1）a=1000，b=0；（2）①定義域為，②千米解析：（1）由題意知，點M、N的坐標分別為，．將其分別代入，得，解得．（2）=1\*GB3①由（1）知，（），則點P的坐標為，設在點P處的切線l交x，y軸分別于A、B點，，則l的方程為，由此得，．故，．=2\*GB3②設，則．令，解得．當時，，是減函數；當時，，是增函數．從而，當時，函數有極小值，也是最小值，所以，此時．答：當時，公路l的長度最短，最短長度為千米。知識點：利用導數求函數最值，導數幾何意義18.（本小題滿分16分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的離心率為，且右焦點F到左準線l的距離為3.（1）求橢圓的標準方程；（2）過F的直線與橢圓交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點P，C，若PC=2AB，求直線AB的方程.答案：（1）（2）y=x-1或y=-x+1．解析：（1）由題意，得且，解得，c=1，則b=1，所以橢圓的標準方程為．（2）當AB⊥x軸時，，又CP=3，不合題意．當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=k(x-1)，，，將AB的方程代入橢圓方程，得，則，C的坐標為，且．若k=0，則線段AB的垂直平分線為y軸，與左準線平行，不合題意．從而k≠0，故直線PC的方程為，則P點的坐標為，從而．因為PC=2AB，所以，解得．此時直線AB方程為或．致死點：橢圓方程，直線與橢圓位置關系19.（本小題滿分16分）已知函數.（1）試討論的單調性；（2）若（實數c是a與無關的常數），當函數有三個不同的零點時，a的取值范圍恰好是，求c的值.答案：（1）當a=0時，在上單調遞增；當a>0時，在，上單調遞增，在上單調遞減；當a<0時，在，上單調遞增，在上單調遞減．（2）c=1解析：（1），令，解得；當a=0時，因為，所以函數在上單調遞增；當a>0時，x∈時，，x∈時，，所以函數在，上單調遞增，在上單調遞減．（2）由（1）知，函數的兩個極值為，，則函數有三個：零點等價于，從而或．又b=c-a，所以當a>0時，或當a<0時，．設，因為函數有三個零點時，a的取值范圍恰好是，則在上，且在上均恒成立，從而，且，因此c=1．此時，，因函數有三個零點，則有兩個異于-1的不等實根，所以，且，解得．綜上c=1．知識點：利用導數求函數單調性、極值、函數零點20.（本小題滿分16分）設是各項為正數且公差為d的等差數列（1）證明：依次成等比數列；（2）是否存在，使得依次成等比數列，并說明理由；（3）是否存在及正整數，使得依次成等比數列，并說明理由.答案：（1）詳見解析（2）不存在（3）不存在解析：（1）證明：因為（n=1,2,3）是同一個常數，所以，，，依次構成等比數列．（2）令，則a1,a2,a3,a4分別為a-d，a，a+d，a+2d(a>d，a>-2d，d≠0)．假設存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次構成等比數列，則，且．令，則，且（，），化簡得（），且．將代入（）式，，則．顯然不是上面方程得解，矛盾，所以假設不成立，因此不存在a1，d，使得依次構成等比數列．（3）假設存在a1，d，及正整數n，k，使得依次構成等比數列，則，且．分別在兩個等式的兩邊同除以及，并令（，），則，且．將上述兩個等式兩邊取對數，得，且．化簡得，且．再將這兩式相除，化簡得（**）．令，則．令，則．令，則．令，則．由，，知，，，在和上均單調．故只有唯一零點t=0，即方程（**）只有唯一解t=0，故假設不成立．所以不存在a1，d及正整數n，k使得依次構成等比數列．知識點：等差、等比數列的定義及性質，函數與方程附加題21.（A）（本小題滿分10分）如圖，在中，，的外接圓圓O的弦交于點D求證：∽答案：詳見解析解析：因為AB=AC，所以∠ABD=∠C．又因為∠C=∠E，所以∠ABD=∠E，又∠BAE為公共角，可知△ABD∽△AEB．知識點：三角形相似21.（B）（本小題滿分10分）已知，向量是矩陣的屬性特征值的一個特征向量，矩陣以及它的另一個特征值.答案：,另一個特征值為1．解析：由已知，得，即，則，即，所以矩陣．從而矩陣A的特征多項式，所以矩陣A的另一個特征值為1．知識點：矩陣運算，特征值與特征向量21.（C）（本小題滿分10分）已知圓C的極坐標方程為，求圓C的半徑.答案：解析：以極坐標系的極點為平面直角坐標系的原點O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標系xOy．圓C的極坐標方程為，化簡，得．則圓C的直角坐標方程為，即，所以圓C的半徑為．知識點：圓的極坐標方程，極坐標與之間坐標互化21.（D）（本小題滿分10分）解不等式答案：解析：原不等式可化為或．解得或．綜上，原不等式的解集是．知識點：含絕對值不等式的解法22.（本小題滿分10分）如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，,（1）求平面與平面所成二面角的余弦值；（2）點Q是線段BP上的動點，當直線CQ與DP所成角最小時，求線段BQ的長PPABCDQ答案：（1）（2）解析：以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，則各點的坐標為，，，．（1）因為AD⊥平面PAB，所以是平面PAB的一個法向量，．因為，．設平面PCD的法向量為，則，，即．令y=1，解得z=1，x=1．所以是平面PCD的一個法向量．從而，所以平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值為．（2）因為，設（），又，則，又，從而；色1+2λ=t，t∈[1,3]，則，當且僅當，即時，的最大值為。因為y=cosx在上時減函數，此時直線CQ與DP所成角取得最小值。又因為BP=，所以知識點：空間向量、二面角、異面直線所成角23.（本小題滿分10分）已知集合，，Sn={(a,b)|a整除b或b整除a，a∈X，b∈Yn}，令表示集合所含元素的個數.（1）寫出的值；（2）當時，寫出的表達式，并用數學歸納法證明.答案：（1）13（2）解析：（1）．（2）當n≥6時，（t∈N*）下面用數學歸納法證明：①當n=6時，，結論成立；②假設n=k（k≥6）時結論成立，那么n=k+1時，Sk+1在Sk的基礎上