福建省福州市2023-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題理

福建省福州市2023-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題理考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分2023.4.27第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.每題有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把答案填在答卷相應(yīng)位置上） 1．復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是 A． B． C． D．2.下列推理過程屬于演繹推理的為A．老鼠、猴子與人在身體結(jié)構(gòu)上有相似之處，某醫(yī)藥先在猴子身上試驗(yàn)，試驗(yàn)成功后再用于人體試驗(yàn)B．由，，，…得出C．由三角形的三條中線交于一點(diǎn)聯(lián)想到四面體四條中線（四面體每一個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)面重心的連線）交于一點(diǎn)D．通項(xiàng)公式形如的數(shù)列為等比數(shù)列，則數(shù)列為等比數(shù)列3.在“近似替代”中，函數(shù)在區(qū)間上的近似值A(chǔ).只能是左端點(diǎn)的函數(shù)值B.只能是右端點(diǎn)的函數(shù)值C.可以是該區(qū)間內(nèi)的任一函數(shù)值）D.以上答案均正確4.設(shè)是可導(dǎo)函數(shù)，且，則A．B．C．D．5.某個(gè)自然數(shù)有關(guān)的命題，如果當(dāng)時(shí)，該命題不成立，那么可推得時(shí)，該命題不成立．現(xiàn)已知當(dāng)時(shí)，該命題成立，那么，可推得A．時(shí)，該命題成立B．時(shí)，該命題成立C．時(shí)，該命題不成立D．時(shí)，該命題不成立6.若，，，則、的大小關(guān)系是A.B.C.D.由的取值確定7.函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．B．C．D．8．設(shè)，則，A．都不大于2B．都不小于2 C．至少有一個(gè)不小于2D．至少有一個(gè)不大于29．下面給出了四個(gè)類比推理．①為實(shí)數(shù)，若則；類比推出：、為復(fù)數(shù)，若，則．②若數(shù)列是等差數(shù)列，，則數(shù)列也是等差數(shù)列；類比推出：若數(shù)列是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，，則數(shù)列也是等比數(shù)列．③若,則；類比推出：若、、為三個(gè)向量．則.④若圓的半徑為，則圓的面積為；類比推出：若橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，則橢圓的面積為．上述四個(gè)推理中，結(jié)論正確的是A．①②B．②③C．①④D．②④10.記為函數(shù)的階導(dǎo)函數(shù)，即．若，且集合，則集合中元素的個(gè)數(shù)為A．1006B．1007 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）11.若純虛數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)等于．12．計(jì)算定積分=．13.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）時(shí)，由時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證的不等式是．14.二維空間中，圓的—維測(cè)度（周長(zhǎng)）；二維測(cè)度（面積）；一維空間中球的二維測(cè)度（表面積），三維測(cè)度（體積），應(yīng)用合情推理，若四維空間中，“超球”的三維測(cè)度，則其四維測(cè)度．三、解答題（本大題共有3個(gè)小題，共40分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.）15．（本小題滿分14分）復(fù)數(shù)，（其中為虛數(shù)單位，），（1），求復(fù)數(shù)的模；（2）當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)；（3）當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限？16．（本小題滿分12分）設(shè)點(diǎn)在曲線上，從原點(diǎn)向移動(dòng)，如果直線，曲線及直線所圍成的陰影部分面積分別記為、．（Ⅰ）當(dāng)=時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（Ⅱ）當(dāng)+有最小值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)和最小值．17．（本小題滿分14分）已知函數(shù)，，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）求證：在（Ⅰ）的條件下；（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.第Ⅱ卷 四、選擇題（本大題共4小題，每小題4分，共16分.每題有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把答案填在答卷相應(yīng)位置上）18.若，則是的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．即不充分又不必要條件19.某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成員同時(shí)搶4個(gè)紅包，每人最多搶一個(gè)，且紅包被全部搶光，4個(gè)紅包中有兩個(gè)2元，兩個(gè)3元（紅包中金額相同視為相同的紅包），則甲乙兩人都搶到紅包的情況有（）A．35種B．24種C．18種D．9種20.在下面的四個(gè)圖象中，其中一個(gè)圖象是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則等于xxyOxyOxyOxyOA.B．C.D．或21.已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)滿足：，則與（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的大小關(guān)系A(chǔ).B.C.D.不確定 五、填空題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）22.展開式中項(xiàng)的系數(shù)是_____________.23.觀察下列等式：…則當(dāng)且時(shí)，=_____.（最后結(jié)果用表示） 六、解答題（本大題共有2個(gè)小題，共24分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.）24.（本小題滿分12分）某學(xué)校記者團(tuán)由理科組和文科組構(gòu)成，具體數(shù)據(jù)如下表所示：組別理科文科性別男生女生男生女生人數(shù)3331學(xué)校準(zhǔn)備從中選4人到社區(qū)舉行的大型公益活動(dòng)中進(jìn)行采訪，每選出一名男生，給其所在小組記1分，每選出一名女生，給其所在小組記2分，若要求被選出的4人中理科組、文科組的學(xué)生都有.（Ⅰ）求理科組恰好記4分的概率；（Ⅱ）設(shè)文科組男生被選出的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.25.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，試求函數(shù)圖像過點(diǎn)的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的方程有唯一實(shí)數(shù)解，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)、，且不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.高二數(shù)學(xué)（理）試卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.每題有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把答案填在答卷相應(yīng)位置上）1-10BDCCBACCDD二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）11.112．13.14.三、解答題（本大題共有3個(gè)小題，共40分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.）15．解：由已知整理得：……………2分（1）當(dāng)，………………6分（2）當(dāng)，，，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)……………10分（3）當(dāng)，，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限………………14分16．解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，，因?yàn)?，，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為.……6分（Ⅱ）=+=+=，令得，因?yàn)闀r(shí)，；時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．………………12分17．解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，……………1分當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增.所以的極小值為故：的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，極小值為，無(wú)極大值.…………4分（Ⅱ）令，………5分當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，所以，………7分由（Ⅰ）知，所以在（Ⅰ）的條件下.………9分（Ⅲ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使有最小值3，.………………10分當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，在上單調(diào)遞減，所以，解得（舍去）………11分當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得，滿足條件.………12分當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以，解得（舍去）…13分綜上，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)的最小值為3.………14分第Ⅱ卷一、選擇題（本大題共4小題，每小題4分，共16分.每題有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把答案填在答卷相應(yīng)位置上）18-21ACAA二、填空題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）22.-1023.三、解答題（本大題共有2個(gè)小題，共24分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.）24.解:(Ⅰ)要求被選出的4人中理科組、文科組學(xué)生都有,共有種結(jié)果，………………2分其中“理科組恰好記4分“的選法有兩種情況:①?gòu)睦砜平M選2男1女,文科組任選1人，有種方法,②從理科組中選2女,再?gòu)奈目平M任選2人，有種方法所以.………………6分(Ⅱ)由題意可得=0，1，2，3.……10分其分布列為0123………………11分?jǐn)?shù)學(xué)期望.………………12分25.解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，有過點(diǎn)的切線方程為：即.……………3分（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，有，其定義域?yàn)閺亩匠炭苫癁椋毫睿瑒t………4分由得，得在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且