《微積分（第二版）》課件第四節(jié)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)

一、曲線凹凸性與拐點(diǎn)的定義二、曲線凹凸性的判別第四節(jié)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)

函數(shù)圖形向上彎曲（曲線為凹的），函數(shù)圖形向下彎曲（曲線為凸的）.

問題導(dǎo)言：為了描繪函數(shù)的圖形，僅知道函數(shù)的增減性和極值是不夠的．還要了解曲線的彎曲方向.第四節(jié)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)

如函數(shù)與都是上單調(diào)增加函數(shù)，但它們的圖形彎曲方向卻有明顯的差異.1xy

問題：對曲線的彎曲方向，即曲線的凹凸性進(jìn)行研究是必要的.

問題觀察：觀察曲線的彎曲方向與區(qū)間內(nèi)點(diǎn)的函數(shù)值之間的關(guān)系.曲線弧為凹的曲線弧為凸的

定義設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù)，如果對I上任意兩點(diǎn)

幾何特征是凹曲線位于弦線下側(cè)，凸曲線位于弦線的上側(cè).

問題觀察：觀察曲線的凹凸方向與曲線的切線間的位置關(guān)系.xyoy=f(x)xyoy=f(x)凹曲線在切線的上側(cè)，隨著x的增大，切線斜率隨之增大，即凸曲線在切線的下側(cè)，隨著x的增大，切線斜率隨之增大，即

定理(曲線凹凸性的判定法)

設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo).若在(a,b)內(nèi),則曲線弧y=f(x)在[a,b]

上為凹的.(2)若在(a,b)內(nèi),則曲線弧y=f(x)在[a,b]

上為凸的.

定理結(jié)論可由函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證.當(dāng)時,曲線為凹的.當(dāng)時,曲線為凸的.所給曲線在內(nèi)為連續(xù)曲線弧.由于解故

在內(nèi)為凹的.例判定曲線弧

的凹凸性.判定曲線弧的凹凸性.當(dāng)x<0時，,可知為凸的.當(dāng)x>0時，,可知為凹的.例所給曲線在內(nèi)為連續(xù)曲線弧.由于解在此,原點(diǎn)(0,0)為曲線弧凹凸區(qū)間的分界點(diǎn).xyo

若曲線在區(qū)間內(nèi)具有凹凸性，區(qū)間稱為凹凸區(qū)間曲線上凹與凸區(qū)間的分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn)．

定義設(shè)曲線在點(diǎn)處有穿過曲線的切線，且在切點(diǎn)兩側(cè)近旁曲線的凹向不同，這時稱點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn)．

對于具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)而言，由曲線的凹向判別條件知，拐點(diǎn)的兩則二階導(dǎo)數(shù)符號相異，由此可得

定理（拐點(diǎn)存在的必要條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，若點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn)，則xyo

例求曲線弧的拐點(diǎn).當(dāng)x<0時，,曲線為凸的.從而知點(diǎn)(0,0)為曲線弧的拐點(diǎn).解

由此可以看到曲線的拐點(diǎn)可能在二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)以及不可導(dǎo)處取得.xyo求曲線與的拐點(diǎn).當(dāng)x<0時，,為凸的.當(dāng)x>0時，,為凹的.例所給曲線在內(nèi)為連續(xù)曲線弧.由于解xyo所以，原點(diǎn)(0,0)為與的拐點(diǎn).當(dāng)x<0時，,曲線為凸的.當(dāng)x>0時，,曲線為凹的.

由此可以看到曲線的拐點(diǎn)可能在二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)以及不可導(dǎo)處取得.(1)在f(x)所定義的區(qū)間內(nèi),求出二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn).(2)求出二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).判斷連續(xù)曲線弧拐點(diǎn)的步驟：(3)判定上述點(diǎn)兩側(cè)是否異號.如果兩側(cè)異號則為曲線弧的y=f(x)的拐點(diǎn).如果兩側(cè)同號，則非曲線弧y=f(x)的拐點(diǎn).凹+拐點(diǎn)凸拐點(diǎn)凹y0－0+2(1,2)1x討論的凹凸性與拐點(diǎn).例函數(shù)內(nèi)連續(xù).解可知曲線在內(nèi)為凹的.在(1,2)為凸的.拐點(diǎn)為點(diǎn)(1,－3)與點(diǎn)(2,6).討論曲線