2022年高考沖刺數(shù)學(xué)（理）試題（福建卷）

2014年高考數(shù)學(xué)（理）試題（福建卷）一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)等于（）答案：C答案解析：由復(fù)數(shù)z＝(3－2i)i＝2＋3i，得復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)z＝2－3i.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的計(jì)算難度：易2.某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是（）圓柱圓錐四面體三棱柱答案：A答案解析：由空間幾何體的三視圖可知，圓柱的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都不可能是三角形．考點(diǎn)：三視圖難度：易3.等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則()答案：C答案解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，得S3＝3×2＋eq\f(3×2,2)d＝12，解得d＝2，則a6＝a1＋(6－1)d＝2＋5×2＝12.考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)難度：易4.若函數(shù)的圖像如右圖所示，則下列函數(shù)圖像正確的是（）A.B.C.D.答案：B答案解析：由函數(shù)y＝logax的圖像過點(diǎn)(3，1)，得a＝3.選項(xiàng)A中的函數(shù)為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)，則其函數(shù)圖像不正確；選項(xiàng)B中的函數(shù)為y＝x3，則其函數(shù)圖像正確；選項(xiàng)C中的函數(shù)為y＝(－x)3，則其函數(shù)圖像不正確；選項(xiàng)D中的函數(shù)為y＝log3(－x)，則其函數(shù)圖像不正確．考點(diǎn)：函數(shù)的圖像的判斷難度：易5.閱讀右圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的得值等于（）答案：B答案解析：輸入S＝0，n＝1，第一次循環(huán)，S＝0＋2＋1＝3，n＝2；第二次循環(huán)，S＝3＋22＋2＝9，n＝3；第三次循環(huán)，S＝9＋23＋3＝20，n＝4，滿足S≥15，結(jié)束循環(huán)，輸出S＝20.考點(diǎn)：程序框圖的計(jì)算難度：易6.直線與圓相交于兩點(diǎn)，則是“的面積為”的（）充分而不必要條件必要而不充分條件充分必要條件既不充分又不必要條件答案：A答案解析：由直線l與圓O相交，得圓心O到直線l的距離d＝eq\f(1,\r(k2＋1))<1，解得k≠0.當(dāng)k＝1時(shí)，d＝eq\f(1,\r(2))，|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝eq\r(2)，則△OAB的面積為eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(1,\r(2))＝eq\f(1,2)；當(dāng)k＝－1時(shí)，同理可得△OAB的面積為eq\f(1,2)，則“k＝1”是“△OAB的面積為eq\f(1,2)”的充分不必要條件．考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系充要條件的判斷難度：易7.已知函數(shù)則下列結(jié)論正確的是（）是偶函數(shù)B.是增函數(shù)C.是周期函數(shù)D.的值域?yàn)榇鸢福篋答案解析：由函數(shù)f(x)的解析式知，f(1)＝2，f(－1)＝cos(－1)＝cos1，f(1)≠f(－1)，則f(x)不是偶函數(shù)；當(dāng)x>0時(shí)，令f(x)＝x2＋1，則f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù)，且函數(shù)值f(x)>1；當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝cosx，則f(x)在區(qū)間(－∞，0]上不是單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)值f(x)∈[－1，1]；∴函數(shù)f(x)不是單調(diào)函數(shù)，也不是周期函數(shù)，其值域?yàn)閇－1，＋∞)．考點(diǎn)：分段函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性難度：易8.在下列向量組中，可以把向量表示出來的是（）B.C.D.答案：B答案解析：由向量共線定理，選項(xiàng)A，C，D中的向量組是共線向量，不能作為基底；而選項(xiàng)B中的向量組不共線，可以作為基底，故選B.考點(diǎn)：平面向量的基本定理難度：易9.設(shè)分別為和橢圓上的點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的最大距離是（）B.C.D.答案：Ｄ答案解析：設(shè)圓心為點(diǎn)C，則圓x2＋(y－6)2＝2的圓心為C(0，6)，半徑r＝eq\r(2).設(shè)點(diǎn)Q(x0，y0)是橢圓上任意一點(diǎn)，則eq\f(xeq\o\al(2,0),10)＋yeq\o\al(2,0)＝1，即xeq\o\al(2,0)＝10－10yeq\o\al(2,0)，∴|CQ|＝eq\r(10－10yeq\o\al(2,0)＋（y0－6）2)＝eq\r(－9yeq\o\al(2,0)－12y0＋46)＝eq\r(－9\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(2,3)))\s\up12(2)＋50)，當(dāng)y0＝－eq\f(2,3)時(shí)，|CQ|有最大值5eq\r(2)，則P，Q兩點(diǎn)間的最大距離為5eq\r(2)＋r＝6eq\r(2).考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系數(shù)形結(jié)合的思想難度：易10.用代表紅球，代表藍(lán)球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，從1個(gè)紅球和1個(gè)籃球中取出若干個(gè)球的所有取法可由的展開式表示出來，如：“1”表示一個(gè)球都不取、“”表示取出一個(gè)紅球，面“”用表示把紅球和籃球都取出來.以此類推，下列各式中，其展開式可用來表示從5個(gè)無區(qū)別的紅球、5個(gè)無區(qū)別的藍(lán)球、5個(gè)有區(qū)別的黑球中取出若干個(gè)球，且所有的籃球都取出或都不取出的所有取法的是B.C.D.答案：Ａ答案解析：從5個(gè)無區(qū)別的紅球中取出若干個(gè)球，可以1個(gè)球都不取、或取1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)球，共6種情況，則其所有取法為1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5；從5個(gè)無區(qū)別的藍(lán)球中取出若干個(gè)球，由所有的藍(lán)球都取出或都不取出，得其所有取法為1＋b5；從5個(gè)有區(qū)別的黑球中取出若干個(gè)球，可以1個(gè)球都不取、或取1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)球，共6種情況，則其所有取法為1＋Ceq\o\al(1,5)c＋Ceq\o\al(2,5)c2＋Ceq\o\al(3,5)c3＋Ceq\o\al(4,5)c4＋Ceq\o\al(5,5)c5＝(1＋c)5，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得，適合要求的所有取法是(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5.考點(diǎn)：新定義二項(xiàng)式的定理的展開式難度：難二、填空題，共5小題，共25分11.若變量滿足約束條件則的最小值為________.答案：１答案解析：依題意如圖可得目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)A時(shí)截距最大.即.考點(diǎn)：易難度：線性規(guī)劃12.在中，,則的面積等于_________.答案：答案解析：由eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)，得sinB＝eq\f(4sin60°,2\r(3))＝1，∴B＝90°，C＝180°－(A＋B)＝30°，則S△ABC＝eq\f(1,2)·AC·BCsinC＝eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)sin30°＝2eq\r(3)，即△ABC的面積等于2eq\r(3).考點(diǎn)：正弦定理、三角形的面積的計(jì)算難度：難13.要制作一個(gè)容器為4，高為的無蓋長(zhǎng)方形容器，已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是_______（單位：元）.答案：160答案解析：設(shè)底面矩形的一邊長(zhǎng)為x，由容器的容積為4m3，高為1m得，另一邊長(zhǎng)為eq\f(4,x)m.記容器的總造價(jià)為y元，則y＝4×20＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))×1×10＝80＋20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))≥80＋20×2eq\r(x·\f(4,x))＝160(元)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(4,x)，即x＝2時(shí)，等號(hào)成立．因此，當(dāng)x＝2時(shí)，y取得最小值160元，即容器的最低總造價(jià)為160元．考點(diǎn)：函數(shù)的最值難度：中14.如圖，在邊長(zhǎng)為（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則他落到陰影部分的概率為______.答案：答案解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝lnx的圖像與函數(shù)y＝ex的圖像關(guān)于正方形的對(duì)角線所在直線y＝x對(duì)稱，則圖中的兩塊陰影部分的面積為S＝2eq\i\in(1,e,)lnxdx＝2(xlnx－x)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(,,))eq\s\up12(e)1＝2[(elne－e)－(ln1－1)]＝2，故根據(jù)幾何概型的概率公式得，該粒黃豆落到陰影部分的概率P＝eq\f(2,e2).難度：易考點(diǎn)：幾何概型定積分的計(jì)算15.若集合且下列四個(gè)關(guān)系：①；②；③；④有且只有一個(gè)是正確的，則符合條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)是_________.答案：６答案解析：若①正確，則②③④不正確，可得b≠1不正確，即b＝1，與a＝1矛盾，故①不正確；若②正確，則①③④不正確，由④不正確，得d＝4；由a≠1，b≠1，c≠2，得滿足條件的有序數(shù)組為a＝3，b＝2，c＝1，d＝4或a＝2，b＝3，c＝1，d＝4.若③正確，則①②④不正確，由④不正確，得d＝4；由②不正確，得b＝1，則滿足條件的有序數(shù)組為a＝3，b＝1，c＝2，d＝4；若④正確，則①②③不正確，由②不正確，得b＝1，由a≠1，c≠2，d≠4，得滿足條件的有序數(shù)組為a＝2，b＝1，c＝4，d＝3或a＝3，b＝1，c＝4，d＝2或a＝4，b＝1，c＝3，d＝2；綜上所述，滿足條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)為6.難度：易考點(diǎn)：集合的相等16.已知函數(shù).若，且，求的值；求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.答案：（1）；（2），答案解析：(1)因?yàn)樗?所以(2)因?yàn)?所以.由得.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.解法二：（1）因?yàn)樗詮亩?）由得.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.考點(diǎn)：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式、兩角和與差的三角函數(shù)及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)難度：易17.（本小題滿分12分）在平行四邊形中，，.將沿折起，使得平面平面，如圖.求證：ABCD；若為中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.答案：（１）略；（２）答案解析：(1)因?yàn)槠矫?平面平面平面所以平面又平面所以.(2)過點(diǎn)在平面內(nèi)作,如圖.由(1)知平面平面平面所以.以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以的方向?yàn)檩S,軸,軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.依題意,得.則.設(shè)平面的法向量.則即.取得平面的一個(gè)法向量.設(shè)直線與平面所成角為,則即直線與平面所成角的正弦值為.考點(diǎn)：空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系難度：中18.（本小題滿分13分）為回饋顧客，某商場(chǎng)擬通過摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額.（1）若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元，其余3個(gè)均為10元，求①顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率②顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望;（2）商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡，請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說明理由.答案：（１），４０；（２）略答案解析：(1)設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)為X.①依題意,得.即顧客所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率為.②依題意,得X的所有可能取值為20,60..即X的分布列為X2060P所以顧客所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望為（元）.(2)根據(jù)商場(chǎng)的預(yù)算，每個(gè)顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)為60元.所以先尋找期望為60元的可能方案.對(duì)于面值由10元和50元組成的情況,如果選擇(10,10,10,50)的方案,因?yàn)?0元是面值之和的最大值,所以期望不可能為60元;如果選擇(50,50,50,10)的方案,因?yàn)?0元是面值之和的最小值,所以數(shù)學(xué)期望也不可能為60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),記為方案1.對(duì)于面值由20元和40元組成的情況,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),記為方案2.以下是對(duì)兩個(gè)方案的分析:對(duì)于方案1,即方案(10,10,50,50),設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)為,則的分布列為2060100的期望為,的方差為.對(duì)于方案2,即方案(20,20,40,40),設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)為,則的分布列為406080的期望為,的方差為.由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額都符合要求,但方案2獎(jiǎng)勵(lì)的方差比方案1的小,所以應(yīng)該選擇方案2.考點(diǎn)：古典概型、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差等難度：中19.（本小題滿分13分）已知雙曲線的兩條漸近線分別為.（1）求雙曲線的離心率；（2）如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線分別交直線于兩點(diǎn)（分別在第一，四象限），且的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線？若存在，求出雙曲線的方程；若不存在，說明理由。答案：（１）；（２）答案解析：解法一：(1)因?yàn)殡p曲線E的漸近線分別為和.所以,從而雙曲線E的離心率.(2)由(1)知,雙曲線E的方程為.設(shè)直線與x軸相交于點(diǎn)C.當(dāng)軸時(shí),若直線與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn),則,又因?yàn)榈拿娣e為8,所以.此時(shí)雙曲線E的方程為.若存在滿足條件的雙曲線E,則E的方程只能為.以下證明:當(dāng)直線不與x軸垂直時(shí)，雙曲線E：也滿足條件.設(shè)直線的方程為,依題意,得k>2或k<-2.則，記.由,得,同理得.由得,即.由得,.因?yàn)?所以,又因?yàn)?所以,即與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn).因此,存在總與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E,且E的方程為.考點(diǎn)：雙曲線的方程與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系難度：中20.（本小題滿分14分）已知函數(shù)（為常數(shù)）的圖像與軸交于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為-1.（=1\*ROMANI）求的值及函數(shù)的極值；（=2\*ROMANII）證明：當(dāng)時(shí)，；（=3\*ROMANIII）證明：對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在，使得當(dāng)，恒有.答案：（=1\*ROMANI）２，（=2\*ROMANII）略；（=3\*ROMANIII）略答案解析：解法一：（=1\*ROMANI）由，得.又,得.所以.令,得.當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí),取得極小值,且極小值為無極大值.（=2\*ROMANII）令,則.由（=1\*ROMANI）得,故在R上單調(diào)遞增,又,因此,當(dāng)時(shí),,即.（=3\*ROMANIII）①若,則.又由（=2\*ROMANII）知，當(dāng)時(shí),.所以當(dāng)時(shí),.取,當(dāng)時(shí)，恒有.②若,令,要使不等式成立，只要成立.而要使成立，則只要,只要成立.令,則.所以當(dāng)時(shí),在內(nèi)單調(diào)遞增.取,所以在內(nèi)單調(diào)遞增.又.易知.所以.即存在,當(dāng)時(shí)，恒有.綜上，對(duì)任意給定的正數(shù)c，總存在,當(dāng)時(shí),恒有.解法二：（=1\*ROMANI）同解法一（=2\*ROMANII）同解法一（=3\*ROMANIII）對(duì)任意給定的正數(shù)c，取由（=2\*ROMANII）知，當(dāng)x>0時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，因此，對(duì)任意給定的正數(shù)c，總存在,當(dāng)時(shí),恒有.考點(diǎn)：主導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、全稱量詞等難度：難21.選修4—2：矩陣與變換已知矩陣的逆矩陣.（=1\*ROMANI）求矩陣；（=2\*ROMANII）求矩陣的特征值以及屬于每個(gè)特征值的一個(gè)特征向量.答案：（=1\*ROMANI）；（=2\*ROMANII）略答案解析：（=1\*ROMANI）因?yàn)榫仃嘇是矩陣的逆矩陣,且,所以.（=2\*ROMANII）矩陣的特征多項(xiàng)式為,令,得矩陣的特征值為或,所以是矩陣的屬于特征值