正態(tài)分布-【新教材】2020-2021學年人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第三冊同步講義（機構專用）

PAGE7.5正態(tài)分布知識梳理知識梳理1、函數(shù)。其中為參數(shù)。對任意的，，它的圖象在x軸的上方，x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1，稱為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線。若隨機變量X的概率密度函數(shù)為，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記為。特別地，當，時，稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布2、正態(tài)曲線的特點(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；(2)曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱；(3)曲線在x＝μ處達到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；(4)曲線與x軸之間的面積為1；(5)當σ一定時，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；(6)當μ一定時，曲線的形狀由σ確定．σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．3、正態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù)(1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827；(2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9545；(3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.9973.知識典例知識典例題型一正態(tài)分布的計算例1已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(0，σ2)．若P(X>2)＝0.023，則P(－2≤X≤2)＝()A．0.477 B．0.628C．0.954 D．0.977C[解析]因為μ＝0，所以P(X>2)＝P(X<－2)＝0.023，所以P(－2≤X≤2)＝1－2×0.023＝0.954.鞏固練習鞏固練習已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(1，σ2)，若P(X＞2)＝0.15，則P(0≤X≤1)＝()A．0.85 B．0.70C．0.35 D．0.15【解析】P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)＝0.5－P(X＞2)＝0.35.題型二正態(tài)分布實際應用例2某投資者在兩個投資方案中選擇一個,這兩個投資方案的利潤X(單位:萬元)分別服從正態(tài)分布N(8,32)和N(7,12).投資者要求“利潤超過5萬元”的概率盡量大,那么他應該選擇哪一個方案?解對于第一個方案有X~N(8,32),其中μ1=8,σ1=3,P(X>5)=1+P(5≤X≤11)2對于第二個方案有X~N(7,12),其中μ2=7,σ2=1,P(X>5)=1+P(5≤X≤9)2顯然第二個方案“利潤超過5萬元”的概率比較大,故他應該選擇第二個方案.鞏固練習鞏固練習從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件,測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值,由測量結果得頻率分布直方圖如圖所示.(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表).(2)由直方圖可以認為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數(shù)x,σ2近似為樣本方差s2.①利用該正態(tài)分布,求P(187.8<Z<212.2);②某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品,記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù).利用①的結果,求E(X).附:150≈12.2.若Z~N(μ,σ2),則P(μ-σ<Z<μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)≈0.9545.解(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2分別為x=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.(2)①由(1)知,Z~N(200,150),從而P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)≈0.6827.②由①知,一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值位于區(qū)間(187.8,212.2)的概率為0.6827,依題意知X~B(100,0.6827),所以E(X)=100×0.6827=68.27.鞏固提升鞏固提升1、若隨機變量X～N(μ，σ2)，且P(X>5)＝P(X<－1)＝0.2，則P(2<X<5)＝________．[解析]因為隨機變量X～N(μ，σ2)，所以正態(tài)曲線關于直線x＝μ對稱．又P(X>5)＝P(X<－1)＝0.2，所以μ＝eq\f(5－1,2)＝2，所以P(2<X<5)＝P(X>2)－P(X>5)＝0.5－0.2＝0.3.[答案]0.32、已知某批零件的長度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0，32)，從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間(3，6)內(nèi)的概率為()(附：若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)≈68.27%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)≈95.45%)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%由正態(tài)分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)≈0.6827，P(－6＜ξ＜6)≈0.9545，故P(3＜ξ＜6)＝eq\f(P（－6＜ξ＜6）－P（－3＜ξ＜3）,2)＝eq\f(0.9545－0.6827,2)＝0.1359＝13.59%，故選B．3、已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2),若P(ξ<4)=0.9,則P(-2<ξ<1)=()A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6解析由題意可知正態(tài)曲線關于x=1對稱,P(ξ>4)=1-P(ξ<4)=0.1,根據(jù)對稱性可知,P(ξ<-2)=P(ξ>4)=0.1,故P(-2<ξ<1)=0.5-P(ξ<-2)=0.5-0.1=0.4.答案C4、某班有50名學生,一次考試的數(shù)學成績ξ服從正態(tài)分布N(100,σ2),已知P(90≤ξ≤100)=0.3,估計該班學生數(shù)學成績在110分以上的人數(shù)為.

解析由題意知,P(ξ>110)=1-2P(90≤ξ≤100)2=0.2,故估計該班學生數(shù)學成績在110答案105、已知某地農(nóng)民工年均收入X服從正態(tài)分布,其正態(tài)曲線如圖所示.(1)寫出此地農(nóng)民工年均收入的密度函數(shù)解析式;(2)求此地農(nóng)民工年均收入在8000~8500元之間的人數(shù)所占的百分比.解設此地農(nóng)民工年均收入X~N(μ,σ2),結合題圖可知,μ=8000,σ=500.(1)此地農(nóng)民工年均收入的密度函數(shù)解析式為f(x)=15002πe-(2)∵P(7500≤X≤8500)=P(8000-500≤X≤8000+500)≈0.6827,∴P(8000<X≤8500)=12P(7500≤X≤8500)≈0.34135=34.135%故此地農(nóng)民工年均收入在8000~8500元之間的人數(shù)所占的百分比為34.135%.6、云南省2016年全省高中男生身高統(tǒng)計調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：全省100000名高中男生的身高服從正態(tài)分布N(170.5，16)．現(xiàn)從云南省某校高三年級男生中隨機抽取50名測量身高，測量發(fā)現(xiàn)被測學生身高全部介于157.5cm和187.5cm之間，將測量結果按如下方式分成6組：第1組[157.5，162.5)，第2組[162.5，167.5)，…，第6組[182.5，187.5]，如圖是按上述分組方式得到的頻率分布直方圖．(1)試評估該校高三年級男生在全省高中男生中的平均身高狀況；(2)求這50名男生身高在177.5cm以上(含177.5cm)的人數(shù)；(3)從這50名男生身高在177.5cm以上(含177.5cm)的人中任意抽取2人，該2人中身高排名(從高到低)在全省前135名的人數(shù)記為ξ，求ξ的數(shù)學期望．參考數(shù)據(jù)：若ξ～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.9973.[解](1)由頻率分布直方圖知，該校高三年級男生平均身高為160×0.1＋165×0.2＋170×0.3＋175×0.2＋180×0.1＋185×0.1＝171.5(cm)，該校高三年級男生的平均身高高于全省高中男生身高的平均值170.5(cm)．(2)由頻率分布直方圖知，后兩組頻率和為0.2，所以人數(shù)和為0.2×50＝10，即這50名男生中身高在177.5cm以上(含177.5cm)的人數(shù)為10.(3)因為P(170.5－3×4<ξ≤170.5＋3×4)≈0.9973，所以P(ξ≥182.5)＝eq\f(1－0.9973,2)＝0.00135，又0.00135×100000＝135.所以身高在182.5cm以上(含182.5cm)的高中男生可排進全省前135名．因為該校這50名男生中身高在182.5cm以上(含182.5cm)的有5人，身高在177.5cm以上(含177.5cm)的有10人，隨機變量ξ可取0，1，2，于是P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(10,45)＝eq\f(2,9)，P(ξ