債券的風(fēng)險(xiǎn)度量

債券的風(fēng)險(xiǎn)度量久期的介紹凸度的介紹程序?qū)崿F(xiàn)方法上機(jī)實(shí)驗(yàn)檢查內(nèi)容債券的久期久期的概念久期的概念最早是馬考勒(Macaulay)在1938年提出來的，所以又稱馬考勒久期（簡記為D）。馬考勒久期是使用加權(quán)平均數(shù)的形式計(jì)算債券的平均到期時(shí)間。它是債券在未來產(chǎn)生現(xiàn)金流的時(shí)間的加權(quán)平均,其權(quán)重是各期現(xiàn)金值在債券價(jià)格中所占的比重。

保羅·薩繆爾森、約翰·斯克斯和瑞丁敦在隨后的若干年獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了久期這一理論范疇，特別是保羅·薩繆爾森和瑞丁敦將久期用于衡量資產(chǎn)/負(fù)債的利率敏感性的研究，使得久期具有了第二種含義，即：資產(chǎn)針對(duì)利率變化的價(jià)格變化率。

免疫策略久期是債券投資管理中的一個(gè)極其重要的策略----“免疫策略”的理論基礎(chǔ)，根據(jù)該策略，當(dāng)交易主體債券組合的久期與債權(quán)的持有期相等的時(shí)候，該交易主體短期內(nèi)就實(shí)現(xiàn)了“免疫”的目標(biāo)，即短期內(nèi)的總財(cái)富不受利率波動(dòng)的影響。

麥考雷(Macaulay)久期的計(jì)算公式：麥考雷久期(以期間計(jì))=麥考雷久期(年)=麥考雷久期(以期間計(jì))/k其中：PV（C_t)為以t期對(duì)應(yīng)的市場普遍收益率進(jìn)行貼現(xiàn)得到的債券在第t期的現(xiàn)金流現(xiàn)值；n為債券持有期內(nèi)現(xiàn)金流的期間總數(shù)；TPV為債券各期現(xiàn)金流的總現(xiàn)值;k為每年支付現(xiàn)金流的次數(shù)。

久期是反映債券價(jià)格波動(dòng)的一個(gè)指標(biāo)。它對(duì)到期時(shí)間進(jìn)行加權(quán)平均，權(quán)重等于各期現(xiàn)金流的現(xiàn)值占總債券現(xiàn)金流現(xiàn)值的比例。久期實(shí)際表示的是投資者收回初始投資的實(shí)際時(shí)間。

久期計(jì)算舉例假設(shè)面額為1000元的3年期變通債券，每年支付一次息票，年息票率為10%，此時(shí)到期收益率分別為為12%，5%，20%，則該種債券的久期為：

久期的一些特點(diǎn)從上面的計(jì)算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，久期隨著市場利率的下降而上升，隨著市場利率的升而下降，這說明兩者存在反比關(guān)系。

在持有期間不支付利息的金融工具，其久期等于到期期限或償還期限。分期付息的金融工具，其久期總是短于償還期限，是由于同等數(shù)量的現(xiàn)金流量，早兌付的比晚兌付的現(xiàn)值要高。金融工具到期期限越長其久期也越長；金融工具產(chǎn)生的現(xiàn)金流量越高，其久期越短。

修正久期=修正久期本質(zhì)上是債券的對(duì)數(shù)關(guān)于到期收益率的導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值，反映了債券關(guān)于到期收益率的變化強(qiáng)度，其近似的表達(dá)關(guān)系是：

需要注意的是，另一種理解是債券作為風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)目，其價(jià)格過程視為變化的，則此時(shí)，久期和凸度的概念就類似于股票的模型。這是值得注意的地方。債券組合的久期計(jì)算公式：債券組合的久期=其中：債券i市值總和在債券組合市值總和中所占的比重；債券i的修正久期；債券組合中債券的個(gè)數(shù)。數(shù)學(xué)上上的問問題久期可可以視視作債債券定定價(jià)函函數(shù)的的導(dǎo)數(shù)數(shù)（除除去定定價(jià)初初值）），而而導(dǎo)數(shù)數(shù)反映映了一一個(gè)函函數(shù)的的變化化強(qiáng)度度，因因此，，從線線性近近似的的程度度來說說，以以價(jià)格格-到到期收收益率率曲線線而言言，存存在導(dǎo)導(dǎo)數(shù)最最小和和最大大的點(diǎn)點(diǎn)，這這樣的的點(diǎn)具具有什什么樣樣的特特點(diǎn)，，這種種理解解是否否一定定正確確？如何尋尋找這這樣的的點(diǎn)？？回想到到期收收益率率的初初衷，，如何何平衡衡風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)和項(xiàng)項(xiàng)目的的可靠靠性之之間的的關(guān)系系？如如何確確定最最優(yōu)的的項(xiàng)目目的到到期收收益率率？上面的的問題題一和和問題題二是是要檢檢查的的內(nèi)容容。凸度度凸性是是指在在某一一到期收收益率率下,到到期收收益率率發(fā)生生變動(dòng)動(dòng)而引引起的的價(jià)格變動(dòng)幅幅度的的變動(dòng)動(dòng)程度度。凸凸性是是對(duì)債債券價(jià)價(jià)格曲曲線彎彎曲程程度的的一種種度量量。因因?yàn)樵谠诶事首兓容^較大的的情況況下久久期就就不能能完全全描述述債券價(jià)價(jià)格對(duì)利率率變動(dòng)動(dòng)的敏敏感性性。凸凸性越越大,債券券價(jià)格格曲線線彎曲曲程度度越大大,用用修正正久期期度量量債券券的利率風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)所產(chǎn)生生的誤誤差越越大。。凸度的的數(shù)學(xué)學(xué)原理理債券價(jià)價(jià)格——收益益率曲曲線凸度的的性質(zhì)質(zhì)凸性隨隨久期期的增增加而而增加加。若若收益益率、、久期期不變變，票票面利利率越越大，，凸性性越大大。利利率下下降時(shí)時(shí)，凸凸性增增加。。對(duì)于沒沒有隱隱含期權(quán)的債券券來說說，凸凸性總總大于于0，，即利利率下下降，，債券券價(jià)格格將以以加速速度上上升；；當(dāng)利利率上上升時(shí)時(shí)，債債券價(jià)價(jià)格以以減速速度下下降。。含有隱隱含期期權(quán)的的債券券的凸凸性一一般為為負(fù)，，即價(jià)價(jià)格隨隨著利利率的的下降降以減減速度度上升升，或或債券券的有有效持續(xù)期隨利率的的下降而而縮短，，隨利率率的上升升而延長長。因?yàn)闉槔氏孪陆禃r(shí)買入期權(quán)權(quán)的可能性性增加了了。債券定價(jià)價(jià)定理4：若債券期限限一定，同同等收益益率變化化下，債券收益益率上升導(dǎo)致致價(jià)格下下跌的量量，要小小于收益益率下降降導(dǎo)致價(jià)價(jià)格上升升的量。。例：三債債券的面面值都為為1000元，，到期期期限5年年，息票票率7%，當(dāng)?shù)降狡谑找嬉媛首兓瘯r(shí)。到期收益率(%)678價(jià)格1042.121000960.07債券價(jià)格變化率(%)4.210-4.00但是從久久期和凸凸度的近近似并不不能看出出這一點(diǎn)點(diǎn)。這是是值得關(guān)關(guān)注的地地方。債券凸性性投資價(jià)價(jià)值的評(píng)評(píng)估假設(shè)我們們面對(duì)兩兩個(gè)不同同期次，，具有相相同存續(xù)續(xù)期間的的政府公債債（無信用用風(fēng)險(xiǎn)）），兩者者的市場場到期收收益率也也正好相相同，投資人對(duì)這兩張張債券是否會(huì)有有不同的的偏好呢呢？基于于債券凸凸性的特特質(zhì)，如如果兩者者有著不不同的債券凸率率，理性投投資人應(yīng)應(yīng)該會(huì)偏偏好債券券凸率較較高的公債。因此，，在市場供給需求的調(diào)整下下，我們們可以預(yù)預(yù)期兩公公債的到到期收益益率必將將有所調(diào)調(diào)整，以以反應(yīng)投投資人對(duì)對(duì)高凸率率公債的的偏好。。投資人對(duì)對(duì)于高凸凸率債券券的到期期收益率率要求將將會(huì)低于于凸率較較小的債債券，也就是說說，在其其他條件件相同的的情況下下，高凸凸率債券券的價(jià)格格應(yīng)該比比低凸率率債券為為高，以反應(yīng)債債券凸性性的價(jià)值，由此衍衍生的問問題是凸凸度的價(jià)價(jià)值問題題。一些詭異異的結(jié)論論然而，市市場中的的債券價(jià)價(jià)格果真真有反應(yīng)應(yīng)出債券券凸性的的價(jià)值嗎嗎？KahnandLochoff(1990)使使用1981年年至1986年年的美國國公債為為樣本，發(fā)現(xiàn)債債券凸性性在某些些情況下下會(huì)給投投資人帶帶來超額額投資報(bào)報(bào)酬，也也就是說說即使投投資人以以較高的的價(jià)格購購入具有有高債券券凸率的的債券，，其投資資報(bào)酬仍仍然要比比投資于于低凸率率債券為為佳，這顯示出出交易市場場對(duì)于債券券凸性的的定價(jià)并并不正確確，因此此存在有有超額獲獲利空間間。LaceyandNawalkha(1993)則則提出了了不同的的結(jié)論。。這兩位位學(xué)者以以1976到1987年的美美國公債債為樣本本作分析析，結(jié)果果并未發(fā)發(fā)現(xiàn)高債債券凸性性會(huì)帶給給投資人人超額的的報(bào)酬，，表示其其已被市市場正確確的定價(jià)價(jià)。中國的情情況林聰欽(1995)以以國內(nèi)公公債及公司債為樣本，，發(fā)現(xiàn)債債券凸性性對(duì)于超超額投資資報(bào)酬有有解釋能能力。李耀宗(1995)針針對(duì)國內(nèi)內(nèi)公司債債作分析析，也發(fā)發(fā)現(xiàn)債券券凸性是是超額投投資報(bào)酬酬的解釋釋因子之之一，顯顯示出針針對(duì)債券券凸性的的操作策策略是值值得投資資人重視視的。。(1997)使使用1992到到1996年國國內(nèi)所發(fā)發(fā)行之35期次次的政府府公債來來測(cè)試債債券凸性性以及其其他因子子解釋債債券超額額報(bào)酬的的能力。。發(fā)現(xiàn)債債券凸性性在解釋釋國內(nèi)公公債超額額報(bào)酬的的能力上上并不顯顯著，再再度驗(yàn)證證國內(nèi)公債市場場投資人對(duì)對(duì)于債券券凸性并并未做出出合理定定價(jià)，這這表示市市場投資資人或可可針對(duì)債債券凸性性找出套利機(jī)會(huì)。我們可以以做的工工作從前面的的幾件比比較烏龍龍的事件件可以看看出，對(duì)對(duì)于債券券凸度的的價(jià)值的的定價(jià)并并不同意意，檢驗(yàn)驗(yàn)方法也也有很大大的差別別，因此此在這個(gè)個(gè)領(lǐng)域存存在很多多有價(jià)值值的課題題。這些課題題及時(shí)本本科生也也可以做做出很有有意思的的成果。。已經(jīng)有相相關(guān)的工工作可以以做這件件事情，，但是很很多的開開問題值值得關(guān)注注。久期的計(jì)計(jì)算例子子例3.16面面值為100美美元，票票息率為為10%的5年年期債券券,收收益率為為10%,計(jì)計(jì)算久期期(以年年計(jì))及及修正久久期。dataa;c2=0;tc2=0;don=1to10;t=n;ifn<10thenc=5;elseifn=10thenc=105;a=1/((1+0.05)**n);c1=c/((1+0.05)**n);tc1=t*c1;c2=c2+c/((1+0.05)**n);tc2=tc2+t*c/((1+0.05)**n);ifn=10thend=tc2/(c2*2);md=d/(1+0.05);output;end;datab;seta;dropc2tc2n;labelt='時(shí)間'c='現(xiàn)金流流'a='1美元元的現(xiàn)值'c1='現(xiàn)金金流的現(xiàn)值'tc1='t*pvcf'd='久期(以年計(jì))'md='修正正久期';procprintdata=blabelnoobs;title'久期及修修正久期';vardmd;run;輸出結(jié)果：久期(以年計(jì)計(jì))修修正久期注：修正久期期可直接用SAS函數(shù)計(jì)計(jì)算：Modifdur=DURP(100,0.1,2,10,0.5,0.1);函數(shù)DURP用法：DURP(A,c,n,K,k0,y)，其中中A表示面值值，c表示名名義年票息率率，n為年付付息次數(shù)，K為生于付息息次數(shù)，k0為現(xiàn)在到下下一次付息日日的間隔，y為收益率。。本章開始時(shí)所所提出的問題題，能否集合合這個(gè)函數(shù)來來實(shí)現(xiàn)？例3.19面面值為100美元，票票息率為10%，到期收收益率為10%的5年期期債券，以平平價(jià)出售，計(jì)計(jì)算久期。%macrod(i,y,p);dataa;x=100*(&i/2)*((1-1/((1+&y/2)**10))/(&y/2));h=x/&p;d=((1+(&y/2))/(&y/2))*h+(((&y/2)-(&i/2))/(&y/2))*10*(1-h);putd=;%mendd(i,y,p);%d(0.10,0.10,100);run;輸出結(jié)果：d=8.1078216756，這這是否說明久久期比發(fā)行期期限來的大？？修正久期的近近似計(jì)算近似久期=其中：V-為收益率率下降證證券的估計(jì)價(jià)價(jià)格；V+為收益率率上升證證券的的估計(jì)價(jià)格；；V0為證券初初始價(jià)格；為證券收益率率的變化。例3.20票票息率為7%，到期收收益率為10%的20年年期債券，以以74.26美元的價(jià)格格出售，收益益率上升或下下降20個(gè)基本點(diǎn)點(diǎn)的價(jià)格變化如如下所示，試試計(jì)算近似修修正久期。V-=75.64468623V+=72.917291682V0=74.261370469=0.002(半年變化化10個(gè)基本本點(diǎn))收益率上升或或下降20個(gè)個(gè)基本點(diǎn)的債債券初始價(jià)格格計(jì)算程序：dataa;delete;%macroa(n,y,cupon,par);dataa1;p1=0;%doi=1%to&n;p1=p1+&cupon*&par/(1+&y)**&i;output;%end;dataa1;seta1end=lasobs;iflasobs;p2=&par/(1+&y)**&n;p=p1+p2;y=200*&y;y1=100*&y;dataa;setaa1;putp=;%menda;%a(40,0.05,0.035,100);%a(40,0.052,0.035,100);%a(40,0.048,0.035,100);run;p=74.261370469p=71.611134614p=77.068604183近似久期計(jì)算算程序%macromd(Vu,Vd,V,y);dataa;md=(&vu-&vd)/(2*&v*&y);putmd=;%mendmd;%md(75.64,72.92,74.26,0.002);run;輸出結(jié)果：MD=9.15701589結(jié)果接近精確確值md=9.1802370384精確值計(jì)算程程序：%macrod(y,cupon,period,p0);dataa;c2=0;tc2=0;don=1to.t=n;ifn<&periodthenc=&cupon;elseifn=&periodthenc=&cupon+&p0;a=1/((1+&y)**n);c1=c/((1+&y)**n);tc1=t*c1;c2=c2+c/((1+&y)**n);tc2=tc2+t*c/((1+&y)**n);ifn=&periodthend=tc2/(c2*2);md=D/(1+&y);putd=md=;output;dropntc2c2;end;%mendd;%d(0.05,3.5,40,100);run;輸出結(jié)果為：：md=9.1802370384債券凸度計(jì)算算舉例例3.21假假設(shè)面值為為100美元元，5年期的的票息率為8%的債券,每半年付付息。假設(shè)該該債券的初始始收益率為10%，計(jì)算算該債券的凸凸度。ifn=&periodthenconcave=tc2/(c2*((1+&y)**2));yearlyconcave=concave/4;putconcave=;putyearlyconcave=;output;dropntc2c2;end;procprintdata=a;%mendd;%d(0.05,4,10,100);run;計(jì)算結(jié)果：凸度(以半年年記)concave=78.29424228凸度(以年計(jì)計(jì))yearlyconcave=19.57356057%macro(y,cupon,period,p0);dataa;c2=0;tc2=0;don=1to.t=n;ifn<&periodthenc=&cupon;elseifn=&periodthenc=&cupon+&p0;a=1/((1+&y)**n);c1=c/((1+&y)**n);tc1=t*(t+1)*c1;c2=c2+c/((1+&y)**n);tc2=tc2+t*(t+1)*c/((1+&y)**n);注：也可以用用SAS函數(shù)數(shù)直接計(jì)算：：convx=convxp(100,0.08,2,10,0.5,0.1);同久久期期一一樣樣，，能能否否結(jié)結(jié)合合這這個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)，，實(shí)實(shí)現(xiàn)現(xiàn)求求凸凸度度最最大大的的點(diǎn)點(diǎn)？？例3.22假假設(shè)設(shè)面面值值為為100美美元元，，5年年期期的的零零息息票票債債券券，，年年收收益益率率為為10%，，計(jì)計(jì)算算凸凸度度。。%macroconcave(n,y);dataa;concave=&n*(&n+1)/((1+&y)**2);putconcave=;%mendconcave;%concave(10,0.05);run;計(jì)算算結(jié)結(jié)果果：：凸度度concave=99.77324263計(jì)算算凸凸度度引引起起的的價(jià)價(jià)格格變變化化凸度度引引起起價(jià)價(jià)格格變變化化百百分分比比的的估估計(jì)計(jì)值值=例3.24面面值值為為100美美元元，，期期限限為為15年年的的票票息息率率為為8%的的債債券券，，每每半半年年付付息息，，其其初初始始收收益益率率為為10%。。若若收收益益率率由由10%增增長長到到13%，，計(jì)計(jì)算算凸凸度度引引起起的的價(jià)價(jià)格格變變化化。。首先先計(jì)計(jì)算算年年凸凸度度：：只只需需要要將將上上面面凸凸度度計(jì)計(jì)算算程程序序中中的的宏宏參參數(shù)數(shù)值值改改為為%d(0.05,4,30,100)即即可可求求得得年年凸凸度度為為94.3571。。%macrovp(x,y);dataa;caused=0.5*&x*(&y**2)*100;putcaused=’%’;%mendvp;%vp(94.3571,0.03);run;計(jì)算結(jié)果：凸凸度引起的價(jià)價(jià)格變化為caused=4.2460695%美元凸度美元凸度=凸凸度×初始價(jià)價(jià)格.為確定美元引引起的價(jià)格變變化幅度，可可以利用以下下公式：凸度解釋的價(jià)價(jià)格變化幅度度=例3.25期期限為15年的票息率率為8%的債債券，收益率率為10%，，計(jì)算每100美元面值值債券的美元元凸度。首先計(jì)算凸度度和初始價(jià)格格：凸度=94.36初初始價(jià)價(jià)格=84.627548973凸度前面已經(jīng)經(jīng)計(jì)算過，初初始價(jià)格的計(jì)計(jì)算程序?yàn)椋海篸ataa;delete;%macroa(n,y,cupon,par);dataa1;p1=0;%doi=1%to&n;p1=p1+&cupon*&par/(1+&y)**&i;output;%end;dataa1;seta1end=lasobs;iflasobs;p2=&par/(1+&y)**&n;p=p1+p2;y=200*&y;y1=100*&y;dataa;setaa1;%menda;%a(30,0.05,0.04,100);putp=;run;計(jì)算的初始價(jià)價(jià)格為p=84.627548973計(jì)算美元凸度度程序：%macroanlaye(x,y,p);dataa;concave=&x*&p;vp=0.5*concave*(&y**2);putconcave=;putvp=;%mendanlaye;%anlaye(94.36,0.01,84.627548973);%anlaye(94.36,0.02,84.627548973);run;計(jì)算結(jié)果：美元凸度concave==7985.4555211100基點(diǎn)的價(jià)格變變化vp=0.3992727761200基點(diǎn)的價(jià)格格變化vp=1.5970911042近似凸度近似凸度=其中：V-為收益益率下降證證券券的估計(jì)價(jià)價(jià)格；V+為收