2022年江蘇省無錫外國語學校九年級數(shù)學第一學期期末綜合測試試題含解析

2022-2023學年九上數(shù)學期末模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如果兩個相似三角形的相似比是1:2，那么它們的面積比是()A．1:2 B．1:4 C．1: D．2:12．已知關(guān)于x的方程x2﹣2x+3k＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＜ B．k＜﹣ C．k＜3 D．k＞﹣33．如圖，在中，分別為邊上的中點，則與的面積之比是（）A． B． C． D．4．如圖，A、B兩點在雙曲線y=上，分別經(jīng)過A、B兩點向軸作垂線段，已知S陰影=1，則S1+S2=（）A．3 B．4 C．5 D．65．如圖，已知a∥b∥c，直線AC，DF與a、b、c相交，且AB=6，BC=4，DF=8，則DE=（

）A．12 B． C． D．36．如圖所示，的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則的值為（）A． B． C． D．7．已知是一元二次方程的解，則的值為()A．-5 B．5 C．4 D．-48．若一個圓錐的主視圖是腰長為5，底邊長為6的等腰三角形，則該圓錐的側(cè)面積是（）A．15π B．20π C．24π D．30π9．一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一個根是x＝1，則另一個根是（）A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．310．下列圖形中是中心對稱圖形的共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個11．如圖，中，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到，點經(jīng)過的路徑為則圖中涂色部分的面積為（）A． B． C． D．12．在二次函數(shù)的圖像中，若隨的增大而增大，則的取值范圍是A． B． C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．)已知反比例函數(shù)y＝－，下列結(jié)論：①圖象必經(jīng)過點(－1,2)；②y隨x的增大而增大；③圖象在第二、四象限內(nèi)；④若x＞1，則y＞－2.其中正確的有__________．(填序號)14．如圖，已知△ABC，AB=6，AC=5，D是邊AB的中點，E是邊AC上一點，∠ADE=∠C，∠BAC的平分線分別交DE、BC于點F、G，那么的值為__________．15．拋物線的對稱軸為__________．16．如圖，菱形ABCD的邊AD⊥y軸，垂足為點E，頂點A在第二象限，頂點B在y軸的正半軸上，反比例函數(shù)y＝(k≠0，x＞0)的圖象經(jīng)過頂點C、D，若點C的橫坐標為5，BE＝3DE，則k的值為______．17．已知方程x2﹣3x﹣5=0的兩根為x1，x2，則x12+x22=_________．18．如圖，將矩形ABCD繞點A旋轉(zhuǎn)至矩形AB′C′D′位置，此時AC′的中點恰好與D點重合，AB′交CD于點E．若AB=6，則△AEC的面積為_____．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，直線y＝x+與x軸交于點A，與y軸交于點B，點F是點B關(guān)于x軸的對稱點，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A和點F，與直線AB交于點C．（1）求b和c的值；（2）點P是直線AC下方的拋物線上的一動點，連結(jié)PA，PB．求△PAB的最大面積及點P到直線AC的最大距離；（3）點Q是拋物線上一點，點D在坐標軸上，在（2）的條件下，是否存在以A，P，D，Q為頂點且AP為邊的平行四邊形，若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由．20．（8分）化簡求值：，其中a=2cos30°+tan45°．21．（8分）如圖，Rt△ABO的頂點A是雙曲線與直線y=?x?(k+1)在第二象限的交點，AB⊥x軸于B且S△ABO=．（1）求這兩個函數(shù)的解析式．（2）求直線與雙曲線的兩個交點A，C的坐標和△AOC的面積．22．（10分）已知，如圖在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，點P由點A出發(fā)沿AB方向向終點B勻速移動，速度為1cm/s，點Q由點B出發(fā)沿BC方向向終點C勻速移動，速度為2cm/s．如果動點P，Q同時從A，B出發(fā)，當P或Q到達終點時運動停止．幾秒后，以Q，B，P為頂點的三角形與△ABC相似？23．（10分）（問題呈現(xiàn)）阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，點M是的中點，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即CD＝DB+BA．下面是運用“截長法”證明CD＝DB+BA的部分證明過程．證明：如圖2，在CD上截取CG＝AB，連接MA、MB、MC和MG．∵M是的中點，∴MA＝MC①又∵∠A＝∠C②∴△MAB≌△MCG③∴MB＝MG又∵MD⊥BC∴BD＝DG∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA根據(jù)證明過程，分別寫出下列步驟的理由：①，②，③；（理解運用）如圖1，AB、BC是⊙O的兩條弦，AB＝4，BC＝6，點M是的中點，MD⊥BC于點D，則BD＝；（變式探究）如圖3，若點M是的中點，（問題呈現(xiàn)）中的其他條件不變，判斷CD、DB、BA之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．（實踐應(yīng)用）根據(jù)你對阿基米德折弦定理的理解完成下列問題：如圖4，BC是⊙O的直徑，點A圓上一定點，點D圓上一動點，且滿足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半徑為5，求AD長．24．（10分）用配方法把二次函數(shù)y=﹣2x2+6x+4化為y=a（x+m）2+k的形式，再指出該函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標．25．（12分）有5張不透明的卡片，除正面上的圖案不同外，其他均相同．將這5張卡片背面向上洗勻后放在桌面上．（1）從中隨機抽取1張卡片，卡片上的圖案是中心對稱圖形的概率為_____．（2）若從中隨機抽取1張卡片后不放回，再隨機抽取1張，請用畫樹狀圖或列表的方法，求兩次所抽取的卡片恰好都是軸對稱圖形的概率．26．公司經(jīng)銷的一種產(chǎn)品，按要求必須在15天內(nèi)完成銷售任務(wù)．已知該產(chǎn)品的銷售價為62元/件，推銷員小李第x天的銷售數(shù)量為y件，y與x滿足如下關(guān)系：y＝（1）小李第幾天銷售的產(chǎn)品數(shù)量為70件？（2）設(shè)第x天銷售的產(chǎn)品成本為m元/件，m與x的函數(shù)圖象如圖，小李第x天銷售的利潤為w元，求w與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出第幾天時利潤最大，最大利潤是多少？

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方即可得出．【詳解】∵兩個相似三角形的相似比是1：2，∴它們的面積比是1：1．故選B．【點睛】本題是一道考查相似三角形性質(zhì)的基本題目，比較簡單．2、A【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式△＞0，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范圍．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程x2﹣2x+3k＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×3k＞0，解得：k＜．故選A．【點睛】本題考查了根的判別式，牢記“當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．3、A【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】由題意可知：是的中位線，，，，故選：A．【點睛】本題考查相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運用相似三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于基礎(chǔ)題型．4、D【分析】欲求S1+S1，只要求出過A、B兩點向x軸、y軸作垂線段與坐標軸所形成的矩形的面積即可，而矩形面積為雙曲線y=的系數(shù)k，由此即可求出S1+S1．【詳解】∵點A、B是雙曲線y=上的點，分別經(jīng)過A、B兩點向x軸、y軸作垂線段，

則根據(jù)反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)得兩個矩形的面積都等于|k|=4，

∴S1+S1=4+4-1×1=2．

故選D．5、C【解析】解：∵a∥b∥c，∴，∵AB＝6，BC＝4，DF＝8，∴，∴DE＝．故選C．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握定理內(nèi)容是關(guān)鍵：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．6、B【分析】連接CD，求出CD⊥AB，根據(jù)勾股定理求出AC，在Rt△ADC中，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義求出即可．【詳解】解：連接CD（如圖所示），設(shè)小正方形的邊長為，∵BD=CD==，∠DBC=∠DCB=45°，∴，在中，，，則．故選B．【點睛】本題考查了勾股定理，銳角三角形函數(shù)的定義，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．7、B【解析】根據(jù)方程的解的定義，把代入原方程即可.【詳解】把代入得：4-2b+6=0b=5故選：B【點睛】本題考查的是方程的解的定義，理解方程解的定義是關(guān)鍵.8、A【解析】試題分析：∵圓錐的主視圖是腰長為5，底邊長為6的等腰三角形，∴這個圓錐的底面圓的半徑為3，母線長為5.∴這個圓錐的側(cè)面積=．故選A．考點：1.簡單幾何體的三視圖；2.圓錐的計算．9、A【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可得出答案．【詳解】由根與系數(shù)的關(guān)系得故選：A．【點睛】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10、B【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念：把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，進行判斷．【詳解】從左起第2、4個圖形是中心對稱圖形，故選B．【點睛】本題考查了中心對稱圖形的概念，注意掌握圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后能夠與自身重合．11、A【分析】先根據(jù)勾股定理得到AB，再根據(jù)扇形的面積公式計算出，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是．【詳解】∵∠ACB=90°，AC=BC=1，

∴，

∴，又∵Rt△ABC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)30°后得到Rt△ADE，

∴Rt△ADE≌Rt△ACB，∴．

故選：A【點睛】本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、扇形的面積公式，勾股定理的應(yīng)用，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形ABD的面積是解題的關(guān)鍵．12、A【解析】∵二次函數(shù)的開口向下，∴所以在對稱軸的左側(cè)y隨x的增大而增大．∵二次函數(shù)的對稱軸是，∴．故選A．二、填空題（每題4分，共24分）13、①③④【解析】①當x=﹣1時，y=2，即圖象必經(jīng)過點（﹣1，2）；②k=﹣2＜0，每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大；③k=﹣2＜0，圖象在第二、四象限內(nèi)；④k=﹣2＜0，每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，若x＞1，則y＞﹣2，故答案為①③④．14、【分析】由題中所給條件證明△ADF△ACG，可求出的值.【詳解】解：在△ADF和△ACG中，AB=6，AC=5，D是邊AB的中點AG是∠BAC的平分線，∴∠DAF=∠CAG∠ADE＝∠C∴△ADF△ACG∴.故答案為.【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，難度適中，需熟練掌握.15、【分析】根據(jù)拋物線的解析式利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可找出拋物線的對稱軸，此題得解．【詳解】解：∵拋物線的解析式為，

∴拋物線的對稱軸為直線x=故答案為：.【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確拋物線的對稱軸是直線x=．16、【解析】過點D作DF⊥BC于點F，由菱形的性質(zhì)可得BC＝CD，AD∥BC，可證四邊形DEBF是矩形，可得DF＝BE，DE＝BF，在Rt△DFC中，由勾股定理可求DE＝1，DF＝3，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可求k的值．【詳解】如圖，過點D作DF⊥BC于點F，∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝CD，AD∥BC，∵∠DEB＝90°，AD∥BC，∴∠EBC＝90°，且∠DEB＝90°，DF⊥BC，∴四邊形DEBF是矩形，∴DF＝BE，DE＝BF，∵點C的橫坐標為5，BE＝3DE，∴BC＝CD＝5，DF＝3DE，CF＝5﹣DE，∵CD2＝DF2+CF2，∴25＝9DE2+(5﹣DE)2，∴DE＝1，∴DF＝BE＝3，設(shè)點C(5，m)，點D(1，m+3)，∵反比例函數(shù)y＝圖象過點C，D，∴5m＝1×(m+3)，∴m＝，∴點C(5，)，∴k＝5×＝，故答案為：【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象點的坐標特征，菱形的性質(zhì)，勾股定理，求出DE的長度是本題的關(guān)鍵．17、1．【解析】試題解析：∵方程的兩根為故答案為1.點睛：一元二次方程的兩個根分別為18、4【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)后AC的中點恰好與D點重合，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到直角三角形ACD中，∠ACD=30°，再由旋轉(zhuǎn)后矩形與已知矩形全等及矩形的性質(zhì)得到∠DAE為30°，進而得到∠EAC=∠ECA，利用等角對等邊得到AE=CE，設(shè)AE=CE=x，表示出AD與DE，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出EC的長，即可求出三角形AEC面積．【詳解】解：∵旋轉(zhuǎn)后AC的中點恰好與D點重合，即AD=AC′=AC，∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°，即∠DAC=60°，∴∠DAD′=60°，∴∠DAE=30°，∴∠EAC=∠ACD=30°，∴AE=CE．在Rt△ADE中，設(shè)AE=EC=x，則有DE=DC﹣EC=AB﹣EC=6﹣x，AD=×6=2，根據(jù)勾股定理得：x2=（6﹣x）2+（2）2，解得：x=4，∴EC=4，則S△AEC=EC?AD=4．故答案為4．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)，勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)的運用，熟練掌握性質(zhì)及定理是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題（共78分）19、（1）b＝，c＝﹣；（2），；（3）點Q的坐標為：（﹣1﹣，）或（，﹣）或（﹣1+，）或（，）或（﹣，﹣）．【分析】（1）直線與軸交于點，與軸交于點，則點、的坐標分別為：、，則點，拋物線經(jīng)過點和點，則，將點的坐標代入拋物線表達式并解得：；（2）過點作軸的平行線交于點，設(shè)出點P，H的坐標，將△PAB的面積表示成△APH和△BPH的面積之和，可得函數(shù)表達式，可求△PAB的面積最大值，此時設(shè)點P到AB的距離為d，當△PAB的面積最大值時d最大，利用面積公式求出d.（3）若存在以，，，為頂點且為邊的平行四邊形時，平移AP，得出所有可能的情形，利用平行四邊形的對稱性得到坐標的關(guān)系，即可求解．【詳解】解：（1）直線與軸交于點，與軸交于點，令x=0，則y=，令y=0，則x=-3，則點、的坐標分別為：、，∵點F是點B關(guān)于x軸的對稱點，∴點，∵拋物線經(jīng)過點和點，則，將點代入拋物線表達式得：，解得：，故拋物線的表達式為：，，；（2）過點作軸的平行線交于點，設(shè)點，則點，則的面積：當時，，且，∴的最大值為，此時點，，設(shè)：到直線的最大距離為，，解得：；（3）存在，理由：點，點，，設(shè)點，，①當點在軸上時，若存在以，，，為頂點且為邊的平行四邊形時，如圖，三種情形都可以構(gòu)成平行四邊形，由于平行四邊形的對稱性可得圖中點Q到x軸的距離和點P到x軸的距離相等，∴，即，解得：（舍去）或或；②當點在軸上時，如圖：當點Q在y軸右側(cè)時，由平行四邊形的性質(zhì)可得：=3，∴∴m=，代入二次函數(shù)表達式得：y=當點Q在y軸左側(cè)時，由平行四邊形的性質(zhì)可得：=,∴，∴，代入二次函數(shù)表達式得：y=故點，或，；故點的坐標為：，或，或，或，或，．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、平行四邊形性質(zhì)、圖形的面積計算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．20、，【分析】本題考查了分式的化簡求值，先把括號內(nèi)通分化簡，再把除法轉(zhuǎn)化為乘法，約分化簡，最后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出a的值，代入計算．【詳解】解：原式=÷==，當a=2cos30°+tan45°=2×+1=+1時，原式=．21、（1）y=﹣；y=﹣x+1（1）4.【解析】試題分析：（1）根據(jù)

S△ABO=，即，所以

，又因為圖象在二四象限，所以xy=﹣3即

k=-3，從而求出反比例函數(shù)解析式將

k=-3代入

，求出一次函數(shù)解析式；

（1）將兩個函數(shù)關(guān)系式

y=﹣和y=﹣x+1聯(lián)立，解這個方程組，可求出兩個交點A，C的坐標；（3）將x=0代入

y=﹣x+1中，求出D點坐標，根據(jù)△AOC的面積=△ADO的面積+△CDO的面積求解即可.解：（1）設(shè)A點坐標為（x，y），且x＜0，y＞0則S△ABO=?|OB|?|AB|=?（﹣x）?y=∴xy=﹣3又∵y=∴k=﹣3∴所求的兩個函數(shù)的解析式分別為y=﹣，y=﹣x+1（1）A、C兩點坐標滿足解得∴交點A為（﹣1，3），C為（3，﹣1）（3）由y=﹣x+1，令x=0，得y=1．∴直線y=﹣x+1與y軸的交點D的坐標為（0，1）點睛：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，割補法求不規(guī)則圖形的面積.將已知點的坐標代入解析式，求出未知系數(shù)，從而求出函數(shù)解析式；將兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立，解所得到的方程組，可求出函數(shù)的交點坐標；求不規(guī)則圖形的面積，一般采用割或補的方式求解.22、2.4秒或秒【分析】設(shè)t秒后，以Q，B，P為頂點的三角形與△ABC相似；則PB=（6-t）cm，BQ=2tcm，分兩種情況：①當時，②當時，分別解方程即可得出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)t秒后，以Q，B，P為頂點的三角形與△ABC相似，則PB＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm，∵∠B＝90°，∴分兩種情況：①當時，即，解得：t＝2.4；②當時，即，解得：t＝；綜上所述：2.4秒或秒時，以Q，B，P為頂點的三角形與△ABC相似．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵.23、（問題呈現(xiàn)）相等的弧所對的弦相等；同弧所對的圓周角相等；有兩組邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等；（理解運用）1；（變式探究）DB＝CD+BA；證明見解析；（實踐應(yīng)用）1或．【分析】（問題呈現(xiàn)）根據(jù)圓的性質(zhì)即可求解；（理解運用）CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，即CD＝6﹣CD+4，解得：CD＝5，即可求解；（變式探究）證明△MAB≌△MGB（SAS），則MA＝MG，MC＝MG，又DM⊥BC，則DC＝DG，即可求解；（實踐應(yīng)用）已知∠D1AC＝45°，過點D1作D1G1⊥AC于點G1，則CG1′+AB＝AG1，所以AG1＝（6+2）＝1．如圖∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝．【詳解】（問題呈現(xiàn)）①相等的弧所對的弦相等②同弧所對的圓周角相等③有兩組邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等故答案為：相等的弧所對的弦相等；同弧所定義的圓周角相等；有兩組邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等；（理解運用）CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，即CD＝6﹣CD+4，解得：CD＝5，BD＝BC﹣CD＝6﹣5＝1，故答案為：1；（變式探究）DB＝CD+BA．證明：在DB上截去BG＝BA，連接MA、MB、MC、MG，∵M是弧AC的中點，∴AM＝MC，∠MBA＝∠MBG．又MB＝MB∴△MAB≌△MGB（SAS）∴MA＝MG∴MC＝MG，又DM⊥BC，∴DC＝DG，AB+DC＝BG+DG，即DB＝CD+BA；（實踐應(yīng)用）如圖，BC是圓的直徑，所以∠BAC＝90°．因為AB＝6，圓的半徑為5，所以AC＝2．已知∠D1AC＝45°，過點D1作D1G1⊥AC于點G1，則CG1′+AB＝AG1，所以AG1＝（6+2）＝1．所以AD1＝1．如圖∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝．所以AD的長為1或．【點睛】本題考查全等三角形的判定（SAS）與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和圓心角、弦、弧，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定（SAS）與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和圓心角、弦、弧.24、開口向下，對稱軸為直線，頂點【解析】試題分析:先通過配方法對二次函數(shù)的一般式進行配方成頂點式,再根據(jù)二次函數(shù)圖象性質(zhì)寫出開口方向,對稱軸,頂點坐標.試題解析:,=,=,開口向下,對稱軸為直線,頂點.25、（1）；（2）兩次所抽取的卡片恰好