高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊第四章4.3.2第2課時等比數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用 同步練習(xí)

高中數(shù)學(xué)人教A版（新教材）選擇性必修第二冊4.3.2第2課時等比數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用一、選擇題1．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且4a1，2a2，a3成等差數(shù)列．若a1＝1，則S4等于()A．7B．8C．15D．162．設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項和．已知a2a4＝1，S3＝7，則S5等于()A．eq\f(15,2)B．eq\f(31,4)C．eq\f(33,4)D．eq\f(17,2)3．設(shè)各項都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}，Sn為其前n項和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于()A．150 B．－200C．150或－200 D．4004．設(shè)數(shù)列{xn}滿足log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x10＝10，記{xn}的前n項和為Sn，則S20等于()A．1025 B．1024 C．10250 D．202405．已知公差d≠0的等差數(shù)列{an}滿足a1＝1，且a2，a4－2，a6成等比數(shù)列，若正整數(shù)m，n滿足m－n＝10，則am－an＝()A．30 B．20 C．10 D．5或406．(多選題)已知Sn是公比為q的等比數(shù)列{an}的前n項和，若q≠1，m∈N*，則下列說法正確的是()A．eq\f(S2m,Sm)＝eq\f(a2m,am)＋1B．若eq\f(S6,S3)＝9，則q＝2C．若eq\f(S2m,Sm)＝9，eq\f(a2m,am)＝eq\f(5m＋1,m－1)，則m＝3，q＝2D．若eq\f(a6,a3)＝9，則q＝37．在各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}中，首項a1＝2，且點(aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))，aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n－1)))在直線x－9y＝0上，則數(shù)列{an}的前n項和Sn等于()A．3n－1 B．eq\f(1－－3n,2)C．eq\f(1＋3n,2) D．eq\f(3n2＋n,2)二、填空題8．在數(shù)列{an}中，an＋1＝can(c為非零常數(shù))，且前n項和為Sn＝3n＋k，則實數(shù)k＝________.9．等比數(shù)列{an}共有2n項，它的全部各項的和是奇數(shù)項的和的3倍，則公比q＝________.10．設(shè){an}是公差不為零的等差數(shù)列，Sn為其前n項和．已知S1，S2，S4成等比數(shù)列，且a3＝5，則數(shù)列{an}的通項公式為an＝________.11．等比數(shù)列{an}的首項為2，項數(shù)為奇數(shù)，其奇數(shù)項之和為eq\f(85,32)，偶數(shù)項之和為eq\f(21,16)，則這個等比數(shù)列的公比q＝________，又令該數(shù)列的前n項的積為Tn，則Tn的最大值為________．12．設(shè)數(shù)列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的第n項為an，前n項和為Sn，則an＝________，Sn＝________.三、解答題13．一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，全部項之和為偶數(shù)項之和的4倍，前3項之積為64，求該等比數(shù)列的通項公式．14．在等差數(shù)列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．15．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.(1)求通項公式an；(2)求數(shù)列{|an－n－2|}的前n項和．

參考答案一、選擇題1．答案：C解析：由題意得4a2＝4a1＋a3，∴4a1q＝4a1＋a1q2，∴q＝2，∴S4＝eq\f(1·1－24,1－2)＝15.]答案：B解析：顯然公比q≠1，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q·a1q3＝1，,\f(a11－q3,1－q)＝7，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝4，,q＝\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝9，,q＝－\f(1,3)舍去，))∴S5＝eq\f(a11－q5,1－q)＝eq\f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,25))),1－\f(1,2))＝eq\f(31,4).]答案：A解析：依題意，數(shù)列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比數(shù)列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)．即(S20－10)2＝10(70－S20)，解得S20＝－20或S20＝30，又S20＞0，因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，故S40－S30＝80，S40＝150.故選A.答案：C解析：∵log2xn＋1＝1＋log2xn＝log2(2xn)，∴xn＋1＝2xn，且xn>0，∴{xn}為等比數(shù)列，且公比q＝2，∴S20＝S10＋q10S10＝10＋210×10＝10250，故選C.]答案：A解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因為a2，a4－2，a6成等比數(shù)列，所以(a4－2)2＝a2·a6，即(a1＋3d－2)2＝(a1＋d)·(a1＋5d)，即(3d－1)2＝(1＋d)·(1＋5d)，解得d＝0或d＝3，因為公差d≠0，所以d＝3，所以am－an＝a1＋(m－1)d－a1－(n－1)d＝(m－n)d＝10d＝30，故選A.]答案：ABC解析：[∵q≠1，∴eq\f(S2m,Sm)＝eq\f(\f(a11－q2m,1－q),\f(a11－qm,1－q))＝1＋qm.而eq\f(a2m,am)＝eq\f(a1q2m－1,a1qm－1)＝qm，∴A正確；B中，m＝3，∴eq\f(S6,S3)＝q3＋1＝9，解得q＝2.故B正確；C中，由eq\f(S2m,Sm)＝1＋qm＝9，得qm＝8.又eq\f(a2m,am)＝qm＝8＝eq\f(5m＋1,m－1)，得m＝3，q＝2，∴C正確；D中，eq\f(a6,a3)＝q3＝9，∴q＝eq\r(3,9)≠3，∴D錯誤，故選ABC.]答案：A解析：由點(aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))，aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n－1)))在直線x－9y＝0上，得aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))－9aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n－1))＝0，即(an＋3an－1)(an－3an－1)＝0，又?jǐn)?shù)列{an}各項均為正數(shù)，且a1＝2，∴an＋3an－1＞0，∴an－3an－1＝0，即eq\f(an,an－1)＝3，∴數(shù)列{an}是首項a1＝2，公比q＝3的等比數(shù)列，其前n項和Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(2×3n－1,3－1)＝3n－1.]二、填空題8．答案：－1解析：由an＋1＝can知數(shù)列{an}為等比數(shù)列．又∵Sn＝3n＋k，由等比數(shù)列前n項和的特點Sn＝Aqn－A知k＝－1.]9.答案：2解析：設(shè){an}的公比為q，則奇數(shù)項也構(gòu)成等比數(shù)列，其公比為q2，首項為a1，S2n＝eq\f(a11－q2n,1－q)，S奇＝eq\f(a1[1－q2n],1－q2).由題意得eq\f(a11－q2n,1－q)＝eq\f(3a11－q2n,1－q2)，∴1＋q＝3，∴q＝2.10．答案：2n－1解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，(d≠0)，則S1＝5－2d，S2＝10－3d，S4＝20－2d，因為Seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝S1·S4，所以(10－3d)2＝(5－2d)(20－2d)，整理得5d2－10d＝0，∵d≠0，∴d＝2，an＝a3＋(n－3)d＝5＋2(n－3)＝2n－1.]答案：eq\f(1,2)2解析：設(shè)數(shù)列{an}共有2m＋1項，由題意得S奇＝a1＋a3＋…＋a2m＋1＝eq\f(85,32)，S偶＝a2＋a4＋…＋a2m＝eq\f(21,16)，S奇＝a1＋a2q＋…＋a2mq＝2＋q(a2＋a4＋…＋a2m)＝2＋eq\f(21,16)q＝eq\f(85,32)，∴q＝eq\f(1,2)，∴Tn＝a1·a2·…·an＝aeq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(1))q1＋2＋…＋n－1＝2eq\s\up10(eq\f(3,2)n－eq\f(n2,2))，故當(dāng)n＝1或2時，Tn取最大值，為2.]12．答案：2n－12n＋1－n－2解析：因為an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1，所以Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n＝eq\f(21－2n,1－2)－n＝2n＋1－n－2.三、解答題13．解：設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，全部奇數(shù)項、偶數(shù)項之和分別記為S奇，S偶，由題意，知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．∵數(shù)列{an}的項數(shù)為偶數(shù)，∴q＝eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(1,3).又a1·a1q·a1q2＝64，∴aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(1))·q3＝64，得a1＝12.故所求通項公式為an＝12×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(n－1).14．解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝4，,a1＋3d＋a1＋6d＝15，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝1.))所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.(2)由(1)可得bn＝2n＋n，所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)＝eq\f(21－210,1－2)＋eq\f(1＋10×10,2)＝(211－2)＋55＝211＋53＝2101.15．解：(1)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝4，,a2＝2a1＋1，))則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,a2＝3.))又當(dāng)n≥2時，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an，故an＝3n－1(n≥2，n∈N*)，又當(dāng)n＝1時也滿足an＝3n－1，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n－1，n∈N*.(2)設(shè)bn＝|3