第五章 風險衡量

第五章風險衡量考核要求（一）損失數據的收集與整理1.領會：收集損失數據的要求。2.應用：（1）數據分組；（2）數據頻數；（3）累計頻數分布。（二）損失數據的描述應用：（1）全距中值；（2）眾數；（3）中位數；（4）全距；（5）平均絕對差；（5）變異系數。（三）風險衡量領會：（1）損失概率的涵義；（2）最大可能損失、最大預期損失及其關系；（3）年度最大可能損失、年度最大預期損失。（四）年度損失次數估測領會：用二項分布估測。應用：用泊松分布估測。（五）一次事故損失額估測領會：用對數正態(tài)分布估測量。應用：用正態(tài)分布估測算。（六）年總額損失估測領會：遭受特定損失額的概率估算應用：（1）年平均損失額估測；（2）年最大預期損失之估算。第一節(jié)損失資料的收集與整理一、損失資料的收集1.完整性2.一致性3.相關性4.系統性二、損失資料的整理

5-1汽車公司事故損失金額3.119.212.91.28.86.64.66.714.010.53.317.021.32.213.21.17.26.81.912.510.915.322.52.318.14.117.78.19.111.80.34.00.97.95.05-2汽車公司每次事故損失0.34.19.117.70.94.610.518.11.15.010.919.21.26.611.821.31.96.712.522.52.26.812.92.37.213.23.17.914.03.38.115.34.08.817.0分組:0.25—4.75頻數12;4.75—9.25 頻數9;9.25—13.75 頻數6;13.75—18.25頻數5;18.25—22.75 頻數30.34.19.19次17.70.94.612次10.518.15次1.15.010.919.21.26.611.821.31.96.712.522.53次2.26.812.92.37.213.26次3.17.914.03.38.115.34.08.817.0（一）資料分組分5組,組距4.50.25—4.75;4.75—9.25;9.25—13.75;13.75—18.25;18.25—22.75（二）頻數分布

5—3汽車公司頻數分布組號分組頻數頻率組中距10.25—4.751234.32.524.75—9.25925.77.0039.25—13.75617.111.5413.75—18.25514.316518.25—22.7538.620.5合計35100（三）累積頻數分布

5-4汽車公司累積頻數分布組號分組頻數累積頻數10.25—4.75121224.75—9.25921=12+939.25—13.75627=21+6413.75—18.25532=27+5518.25—22.75335=32+5第二節(jié)損損失資料的的描述一一、損失資資料的圖形形描述（一）條形形圖

5-5保險公公司收入賠賠付年度保險費賠款賠付率1986103….52….0.501987134….……0.541988195….……0.511989154….……0.741990197….……0.571991235….……0.621992243….……0.67103198650%104198754%195198851%154198974%197199057%235199162%242198667%5-6火災災統計原因吸煙縱火不明原因高熱設備烹調設備電路老化機器設備其他燃燒爆炸其他次數3616108777422吸煙36縱火16不明原因10高熱設備8烹調設備7電路老化7機器設備7其他燃燒4爆炸2其他2（二）圓形形圖5—7駕駛駛員事故統統計致命車禍百分比男性3670094女性23006總數39000100女6%男94%（三）直方方圖5—8某保保險公司賠款額(千元)賠款次數0—424—8248—123212—162116—201020—24624—28328—32132—361>360總計100（四）頻數數多邊形二、損失資資料的數字字描述（一）位置置數量1.全距中中值:是樣本中最最小觀察值值與最大觀觀察值的中中心數值最小觀察值值+最大觀觀察值全距中值=22.眾數14，19，16，，21，18，19，24，15，196，7，7，3，8，5，3，9（兩個個眾數）3.中位位數表5-44.75+(17.5—12)/9X4.5=7.54.算術術平均算術平均=觀察值總總數/觀觀察項數數(個數)=(X1+X2+……+Xn)/nn=∑Xi/ni=1表5-9分分組平均均數

X=∑fimi/∑∑fi=303.5/35=8.67組號分組組中距mi頻數fifimi10.25—4.752.5123024.75—9.257.0096339.25—13.7511.5669413.75—18.2516580518.25—22.7520.5361.5合計35303.5（二）變異異數量1.全距距等于最大觀觀察值與最最小觀察值值之差。2.平均均絕對差平均絕對差差指的是絕絕對差的簡簡單的算術術平均數M.A.D=∑︱Xi--X︱/n表5-10絕對平均均繼前面面X=67

M.A.D=∑︱Xi--X︱︱/n=70/8=8.75XiXi--X︱Xi--X︱52--151553--141461--66670071447255781111821515∑70表5-11平均絕對對差計算M.A.D=178.19/35=5.091組號分組頻數fi組中距mi︱Mi--X︱fi︱Mi--X︱10.25—4.75122.56.173024.75—9.2597.001.676339.25—13.75611.52.8369413.75—18.255167.3380518.25—22.75320.511.8361.5合計35303.53.方方差與標準準差每個離差的的平方和再再被n-1除就是方方差n未分組的方方差：S2=∑(xi—X)2/(n—1)i=1n標準差：S=√∑(xi—X)2/(n—1)i=1n分組的方差：：S2=(∑xi2—nX2)/(n—1)i=1nS=√(∑xi2—nX2)/(n—1)i=14.變異系系數v=s/x表5-12方方差標準準差計算X=∑X/n=536/8=67序號XiXi--X(Xi—X)2152-15225253-14196361-636467005714166725257781112188215225∑536844表5-13方方差標準準差計算X=∑mifi/∑fi=303.5/35=8.67S2=∑(xi-x)2fi/(n-1)=1218.47/34=35.84S=5.99組別mifimifixi-x(xi-x)2(xi-x)2fi12.51230-6.1738.07456.8327963--1.672.7925.10311.56692.838.0048.054145807.3353.73268.64520.5361.511.83139.95419.85∑35303.51218.47表5-14變異系數v=s/xB＞AC＞A保險公司19X119X219X319X419X519X619X719X8XSA211921202.88B172020203.51C242826255.01補充計算題計計算以下分分組資料的變變異系數組別分組頻數fi111.2~14.22214.2~17.215317.2~20.27補充計算題:計算以下分分組資料的變變異系數解解:＝16.325第三節(jié)風險險衡量指標一、損失概率率（一）損失概概率的含義損失概率:損失發(fā)生的可可能性稱之為為損失概率，，損失程序表征征損失的嚴重重性，在風險險衡量中通過過以下損失期期望值、損失失幅度兩個指指標反映:損失期望值(后面展開)損失幅度(后面展開)（二）損失概概率在風險衡衡量中的兩種種說法1.時間性性說法2.空間性性說法二、損失期望望值未來某一時期期內預期的損損失平均值。。三、損失幅度度指一量損失發(fā)發(fā)生，可能形形成的最大損損失第四節(jié)損失失概率與損失失程度的估計計一、每年損失失事故發(fā)生的的次數（一）用二項項分布估算損損失次數應用此模型的的基本條件：：1、有n個風風險單位均遭遭到同一風險險事故的威脅脅2、每一個風風險單位在一一年中是否發(fā)發(fā)生此風險事事故是一個隨隨機事件3、風險單位位對該風險的的結果只有兩兩個：發(fā)生與與不發(fā)生（1,0）約束束條件：(1)每個風風險單位發(fā)生生該風險事故故的概率都相相同(2)任一個個風險單位發(fā)發(fā)生風險事故故都不會影響響其他風險單單位發(fā)生同樣樣事故的概率率（獨立性））(3)同一個個風險單位在在一年中發(fā)生生二次以上的的事故可能性性極小，可以以認為這一概概率為零概率率P｛X=K｝｝=〔nK〕pKqn-kP｛X≧2｝｝=P｛X=2｝+P｛X=3｝+……+P｛X=n｝nn=∑P｛X=i｝｝=∑〔ni〕piqn-ii=2i=2例5-1：5家工廠，，火災概率0.1,估算算幾家遭受火火災P｛X=K｝｝=〔5K〕0.1K0.95-kk=0,1,…,5發(fā)生概率見課課本P133表5-15(本課件下一一頁)下一年將有EX=np=5X0.1=0.5(次次)估算0.5家家遭受火災標準差:√Var=√npq=√√5X0.1X0.9=0.671課本P133表5-15發(fā)生火災工廠數X=K概率0〔50〕0.100.95=0.59501〔51〕0.110.94=0.32812〔52〕0.120.93=0.07293〔53〕0.130.92=0.00814〔54〕0.140.91=0.00055〔55〕0.150.90=0.0000例：一家公司司把成品運到到顧客手中，，該公司面臨臨的風險是：：運輸過程中中產品可能受受損。產品一一旦受損就認認為是全部損損失，而且每每個產品受損損的概率均為為0.1，在在這種情況下下我們可以用用二項分布來來描述產品損損失的個數。。如果考慮的的總體值包括括兩個產品，，那么n=2，p=0.1?？赡艿牡膿p失數量為為0，1和2，它們的概概率可以直接接計算出來：：損失0個產品品的概率=損失1個產品品的概率=損失2個產品品的概率=對于二項分布布，損失個數數的期望值是是np，標準準差是（二）用泊松松分布估測損損失次數用泊松分布估估測損失次數數：充有眾多風險險單位，每年年估計平均有有個風險單單位發(fā)生事故故，每一風險險單位發(fā)生事事故的概率相相同，則一年年中發(fā)生致損損事故數X為為一服從參數數為的泊松松頒，分布律為：該該分布的期望望與標準差分分別為和。。泊松分布布常見于稠密密性的問題，，風險單位數數不少于50，所有單位位遭受損失的的概率都相同同并小于0.1泊松分布，是是一種離散分分布，用于描描述事件發(fā)生生的次數。它它是一種單參參數分布，這這個參數就是是概率分布的的期望值。其其計算公式是是：K=0,1,2,……k事件的概率率P｛X=K｝=λke-λ/k！例5-2:5輛車的的車隊,兩年年一次事故,求分布解:X為次數數,服從λ=0.5的泊泊松分布,概概率分布見課課本P134表5—16(本課件下一一頁)期望EX=λ=0.5,標準差=√λ=0.707無碰車P｛X=0｝=0.6065,多于三次P｛X＞3｝=1-P｛X=0｝-P｛X=1｝-P｛X=2｝-P｛X=3｝=1-0.6065-0.3033-0.0758-0.0126=0.0018多于一次P｛X＞1｝=1-P｛X=0｝-P｛X=1｝=1-0.6065-0.3033=0.0902課本P134表5-16撞車次數X=K概率00.50e-0.5/0！=0.606510.51e-0.5/1！=0.303320.52e-0.5/2！=0.075830.53e-0.5/3！=0.012640.54e-0.5/4！=0.001650.55e-0.5/5！=0.000260.56e-0.5/6！=0.0000二、每次事故故的損失金額額（一）用正態(tài)態(tài)分布估算損損失額正態(tài)分布，是是一個雙參數數分布，一旦旦知道正態(tài)分分布的期望值值和標準差，，那么我們就就能給出任意意一個值所對對應的概率。。下表是正態(tài)態(tài)分布的一部部分。用正態(tài)分布估估測損失額（（首選辦法））正態(tài)分布的的用處：1估測損失額額落在某區(qū)間間上的概率2損失額超過過某一數值時時的概率求：：(1)期望損損失即算術平平均數；(2)損失額額落在什么區(qū)區(qū)間內的概率率為%；(3)損失額額大于的概概率有多大？？損失金額落落在區(qū)間概率率規(guī)律：（期期望值或平均均數—n倍標標準差，期望望值或平均數數+n倍標準準差）1)落在區(qū)區(qū)間一倍標準準差內（）），概率為68%；2)落在區(qū)區(qū)間二倍標準準差內（）），概率為95%；3)落在區(qū)區(qū)間三倍標準準差內（）），概率為99.7%；；（二）用對對數畫龍點睛睛態(tài)分布估測測損失值（略略）例5-3:課課本P135表5-17組別分組頻數頻率15-2540.0476225-4580.0952345-65140.1667465-85190.2262585-105210.25006105-125100.11907125-14550.05958145-16530.0357∑840.9999例5-3:課課本P136表5-18組別組中值mi頻數fimifimi2mi2fi115X460225900235X8280122598008155X34652402572075∑846820644900例5-3:課課本P1351.88x=∑fimi/∑fi=6820/84=81.19i=1i=1n2.S=√√(∑mi2fi—nX2)/(n—1)i=1=√〔64490-84(81.19)2〕/83=33.14根據正態(tài)分布布,落在(81.19-33.14X2,81.19+33.14X2),即(14.91,147.47)的概率為為95%(3)P｛X＞100｝=P｛(X-81.19)/33.14＞(100-81.19)/33.14｝=P｛(X-81.19)/33.14＞0.57｝=1-?(0.57)=0.7157即P｛X＞100｝=1-0.7157=0.2843（二）用對數正態(tài)分布估測測損失值P｛X＞7｝=1-?(㏑7-X)/S=1-?(㏑7-1.39)/0.46=1-?(1.21)=1-0.8869=0.1131三、每年的總總損失金額每年的總損失失金額這要解解決三個基本本問題：1年平均損失失多少？2企業(yè)遭受特特定損失金額額的概率3“嚴重損失失”將發(fā)生的的概率。（一）年平均均損失的估測測7∑XiPi=0X0.606+500X0.273i=1+……+20000X0.001=321.5元表5-21XiPi00.6065000.27310000.10020000.01550000.003100000.002200000.001總計1.000表5-22特特定損失XiPi5000.39410000.12120000.02150000.006100000.003200000.001（二二））遭遭受受特特定定損損失失金金額額的的概概率率P｛X≥≥500｝｝=P｛X=500｝｝+P｛X=1000｝｝+…………+P｛X=20000｝｝=0