2023屆紹興一模考試

浙江省高考科目考試紹興市適應性試卷（2022年11月）數(shù)學學科一、選擇題1.若集合，，則（）A.B.C.D.答案：D解析：∵，，∴.故選D.2.若，則的虛部為（）A.B.C.D.答案：C解析：∵.的虛部為.故選C.3.已知向量，滿足，，，則（）A.B.C.D.答案：D解析：∵，，∴，即，∴.故選D.4.已知數(shù)列是等差數(shù)列，前項和為，則“”是“數(shù)列為單調遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要必要條件D.既不充分也不必要條件答案：D解析：∵，，即，所以，，但不確定，所以不充分，反之，數(shù)列為單調遞增數(shù)列，.如果公差，首項是遞增，所以不能推出.故選D.5.如圖，一個底面半徑為的圓柱被其底面所在平面的夾角為的平面所截，截面是一個橢圓.當為時，這個橢圓的離心率為（）A.B.C.D.答案：A解析：設橢圓的長半軸長為，短半軸長為，半焦距為，根據(jù)題意得，，.∴，∴橢圓的離心率為.故選A.6.函數(shù)，且，則（）A.B.C.D.答案：C解析：由條件知，又圖象的對稱軸是，知，又知，于是，在上遞增，于是.故選C.7.第二十二屆世界杯足球賽將于年月日在卡塔爾矩形，東道主卡塔爾與厄瓜多爾，塞內加爾，荷蘭分在組進行單循環(huán)小組賽（每兩隊只進行一場比賽），每場小組賽結果相互獨立.已知東道主卡塔爾與厄瓜多爾，塞內加爾，荷蘭比賽獲勝的概率分別為，，，且.記卡塔爾連勝兩場的概率為，則（）A.卡塔爾在第二場與厄瓜多爾比賽，最大B.卡塔爾在第二場與塞內加爾比賽，最大C.卡塔爾在第二場與荷蘭比賽，最大D.與主卡塔爾與厄瓜多爾，塞內加爾，荷蘭的比賽次序無關答案：A解析：設事件表示卡塔爾連勝兩場，表示卡塔爾連勝兩場輸一場，表示卡塔爾連勝三場，則，由與互斥，知，設表示卡塔爾與厄瓜多爾比賽獲勝，表示卡塔爾與塞內加爾比賽獲勝，表示卡塔爾與荷蘭比賽獲勝，則與比賽順序無關，于是只需考慮，當?shù)诙雠c厄瓜多爾比賽，同理可知，當?shù)诙雠c塞內加爾比賽，當?shù)诙雠c荷蘭比賽，由條件知卡塔爾在第二場與厄瓜多爾比賽，最大，故選A.8.如圖，在四棱錐中中，底面是矩形，側面是等腰直角三角形，平面平面，，，當棱上一動點到直線的距離最小時，過，，做截面交于點，則四棱錐的體積是（）A.B.C.D.答案：B解析：過點作，垂足為，過點作，垂足為，如圖建系，設，，，，，，，，于是，，于是點到直線的距離，當時點到直線的距離最小，此時，易知，于是為梯形，設平面的法向量為，，令解得，點到平面的距離，，點到直線的距離，，故選B.二、多選題9.已知與是定義在上的連續(xù)函數(shù)，如果與僅當時的函數(shù)值為，且，那么下列情形可能出現(xiàn)的是（）A.是的極大值，也是的極大值B.是的極小值，也是的極小值C.是的極大值，但不是得極值D.是的極小值，但不是的極值答案：A、B、D解析：對于A：，，此時A正確；對于B：，，此時B正確；對于C：是的極大值，但不是得極值，在的附近必存在，使得，故C錯誤；對于D：，，D正確；.故選ABD.10.函數(shù)（，），則在區(qū)間內可能（）A.單調遞增B.單調遞減C.有最小值，無最大值D.有最大值，無最小值答案：B、C解析：令，因為，，當時，在區(qū)間內無罪之，且單調遞減，故A錯誤，B正確；當時，在區(qū)間內有最小值，無最大值，C正確；當時在區(qū)間內有最小值，有最大值，D錯誤；故選BC.11.易知為坐標原點，拋物線：的焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點，點為拋物線上的動點，則（）A.的最小值為B.的準線方程為C.D.當時，點到直線的距離的最大值為答案：B、C、D解析：由題知，即，拋物線，作出準線，故B正確；過作準線的垂線，垂足為，則，故，即的最小值為，故A錯誤；設，，，，，所以，故C正確；當時，點到直線的距離即為到的距離，即，令，則，取最大值時，，即，當且僅當，即時取等號.故D正確；故選BCD.12.對一列整數(shù)，約定：輸入第一個整數(shù)，只顯示不計數(shù)，接著輸入整數(shù)，只顯示的結果，此后每輸入一個整數(shù)都是與前次顯示的結果進行求差再取絕對值.設全部輸入完畢后顯示的最后的結果為.若將從到的個整數(shù)隨機地輸入，則（）A.的最小值為B.的最小值為C.的最大值為D.的最大值為答案：B、D解析：按照，，，，…，，，順序輸入，則得的最大值，按照，，，…，，，順序輸入，則得的值為，由于在到的個整數(shù)中，有個偶數(shù)，個奇數(shù)，根據(jù)整數(shù)的奇偶性的性質可知這些數(shù)之間的加減的結果不可能為，所以是的最小值，故選BD.三、填空題13.在的展開式中常數(shù)項為________.（用數(shù)字作答）答案：解析：因為通項公式為，令，解得，所以常數(shù)項為，故填.14.《九章算術》是中國古代第一部數(shù)學專著，該書內容十分豐富，系統(tǒng)總結了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學成就.其中卷五“商功”中記載“今有鱉臑下廣兩尺，無袤；上袤四尺，無廣；高三尺”.即“現(xiàn)有四面都是直角三角形的三棱錐，底寬2尺而長，上底長尺而無寬，高尺”，即有一“鱉臑”（四面體），已知，，，，則此四面體外接球的表面積是________.答案：解析：外接球的直徑為，所以外接球的表面積為，故填.15.我們知道，函數(shù)的圖像關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖像關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，則圖像的對稱中心為________.答案：解析：，奇函數(shù)中不含有和常數(shù)項，和即得：.故填：.16.已知圓，線段在直線上運動，點為線段上任意一點，若圓上存在兩點，，使得，則線段長度的最大值是________.答案：解析：由題可知：從引圓兩條切線，切點為，，則，即，則，設，則得：，則，，，故填.四、解答題17.已知數(shù)列滿足，.有以下三個條件：①（，）；②；③.從上述三個條件中任選一個條件，求數(shù)列的通項公式和前項和.答案：見解析解析：選①：由（，），得，故是公比為的等比數(shù)列，則，即，故是公差為的等差數(shù)列，則，即.選②：由得，故，化簡得，即.選③：由（1），得當時，，（2）由（1）（2）得，故.因此，，，兩式相減得，化簡得.18.已知函數(shù).（1）若，求的值；（2）若在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，已知，，求的周長的取值范圍.答案：見解析解析：（1）解析1：由.因為，故.解析2：法二：因為，故或，即或，故或.（2）因為而，即，故或，則或（舍去）.由正弦定理得，故，.周長.因為為銳角三角形，則，所以，.19.在四棱錐中，，，，.（1）求證：；（2）若平面平面，二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.答案：見解析解析：（1）如圖所示，取的中點，連接，，依題意可知，，，，故，為正三角形，∴，又，，平面，平面，∴平面，又平面，∴，∴.（2）依題意平面平面，由（1）可知，則平面，故以，，為，，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系.設，則，，，，∴，，，，設平面的一個法向量，由可得，令，則，，∴，同理可得平面的法向量，依題意可知，，解得，即.即平面的法向量，，故直線與平面所成角的正弦值.20.某學校共有名學生參加知識競賽，其中男生人，為了解該校學生在知識競賽中的情況，采取分層抽樣隨機抽取了名學生進行調查，分數(shù)分布在分之間，根據(jù)調查的結果繪制的學生分數(shù)頻率分布直方圖如圖所示：將分數(shù)不低于分的學生稱為“高分選手”.（1）求的值，并估計該校學生分數(shù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方式從分數(shù)落在，內的兩組學生中抽取人，再從這人中隨機抽取人，記被抽取的名學生中屬于“高分選手”的學生人數(shù)為隨機變量，求的分布列及數(shù)學期望；（3）若樣本中屬于“高分選手”的女生有人，請判斷是否有的把握認為該校學生屬于“高分選手”與“性別”有關？（參考公式：，其中）答案：見解析解析：（1）由題易知，解得，樣本平均數(shù)為.（2）由題意，從中抽取人，從中抽取人，隨機變量的所有可能取值有，，，，（，，，），所以隨機變量的分布列為隨機變量的數(shù)學期望.（3）由題可知，樣本中男生人，女生人，屬于“高分選手”的人，其中女生人，得出以下列聯(lián)表：所以有的把握認為該校學生屬于“高分選手”與性別有關.21.已知雙曲線（，）的左焦點為，點是雙曲線上的一點.（1）求雙曲線的方程；（2）已知過坐標原點且斜率為的直線交于，兩點.連接交于另一點，連接交于另一點，若直線經(jīng)過點，求直線的斜率.答案：見解析解析：（1）易知，，故，.故雙曲線的標準方程.（2）解析1：令為，則為，直線為（），直線為（），由，得，即.∵，∴，，同理可得，∴，，.∵直線經(jīng)過點，則，，三點共線，即，則有.∴，化簡得，，即，故.解析2：令為，則為，直線為（），直線為（），由得，即，∵，∴，同理可得，∴.令直線為，由，則，即，化簡得，∵，解得，，故.22.已知函數(shù).（1）當時，求的極值；（2）若恒成立，求的最小