教學(xué)-線性代數(shù)課件

配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形2.二次型標(biāo)準(zhǔn)形的概念1.知識(shí)點(diǎn)2---化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形3.二次型的規(guī)范形4.定義對(duì)于二次型，通過(guò)可逆線性變換x=Cy將其化成僅含有平方項(xiàng)的二次型，稱這種只含變量的平方項(xiàng)，所有混合項(xiàng)的系數(shù)全是零的二次型為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。一、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的概念即例1用配方法將二次型解原式二、配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出相應(yīng)的線性變換矩陣。令即則即即經(jīng)過(guò)線性可逆線性變換二次型化成標(biāo)準(zhǔn)型相應(yīng)的線性變換矩陣為例2

用配方法將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出相應(yīng)的線性變換.解由于二次型中不含變量的平方項(xiàng)，只含混合項(xiàng)，故先作線性變換即

則原二次型化為再令即則原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形

相應(yīng)的線性變換為方法總結(jié)變量逐步配方，直至將

配成平方和形式.（1）如果二次型

中含有變量

的平方項(xiàng)，則先把（2）如果二次型

中沒(méi)有平方項(xiàng)，只有混合項(xiàng)，例如有混合項(xiàng)

，則先作可逆線性變換使中出現(xiàn)平方項(xiàng)，再按上面的方法配方.含有的項(xiàng)集中，按

配方，然后按此法對(duì)其他三、正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形定理1對(duì)于二次型,必有正交變換可將

化為標(biāo)準(zhǔn)型其中是

的矩陣的特征值.即經(jīng)過(guò)正交變換，二次型矩陣不僅合同而且相似.若是正交矩陣，則有是正交變換，即

,得正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的一般步驟：（1）寫(xiě)出二次型的矩陣A;（2）求矩陣A的特征值（3）求矩陣A的特征向量；（4）將特征向量正交化、單位化得（5）構(gòu)造矩陣,經(jīng)例3用正交變換法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，并寫(xiě)出所用的正交變換.解二次型矩陣為求A的特征值：則A的特征值為其一個(gè)基礎(chǔ)解系單位化得求A屬于的特征向量,求解齊次線性方程組求A的屬于的特征向量,求解齊次線性方程組其一個(gè)基礎(chǔ)解系單位化得求A的屬于的特征向量,求解齊次線性方程組其一個(gè)基礎(chǔ)解系單位化得取則即正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型四、二次型的規(guī)范形用配方法可化為標(biāo)準(zhǔn)形

用正交變換法可化為標(biāo)準(zhǔn)型定理2

設(shè)實(shí)二次型的秩為線性變換及使得及,有兩個(gè)可逆則中正數(shù)的個(gè)數(shù)與中正數(shù)的個(gè)數(shù)相等（進(jìn)而負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)也相等）.這個(gè)定理被稱為慣性定理.注：慣性定理說(shuō)明二次型的標(biāo)準(zhǔn)形雖然不唯一，推論

實(shí)對(duì)稱矩陣的正（負(fù)）慣性指數(shù)就等于正但是任一標(biāo)準(zhǔn)形中非零項(xiàng)數(shù)、系數(shù)為正的項(xiàng)數(shù)、系數(shù)為負(fù)的項(xiàng)數(shù)都是唯一確定的.其中正系數(shù)的個(gè)數(shù)稱為正慣性指數(shù)、負(fù)系數(shù)的個(gè)數(shù)稱為負(fù)慣性（負(fù)）特征值的個(gè)數(shù).指數(shù)。對(duì)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形作可逆線性變換定理3任一實(shí)二次型總可以經(jīng)過(guò)可逆線性變換化為其中p為二次型f

的正慣性指數(shù)，r是二次型f

的秩。定義2稱為二次型的規(guī)范型.總可以將二次型化為解所給二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，可以判斷其正慣性指數(shù)例4

將二次型化成規(guī)范形并求其正負(fù)指數(shù)。為2，負(fù)慣性指數(shù)為1.令二次型化為即小結(jié)的項(xiàng)集中，按

配方，然后按此法對(duì)其他變量逐步配方，直至將

配成平方和形式.（1）如果二次型

中含有變量

的平方項(xiàng)，則先把含有

（2）如果二次型

中沒(méi)有平方項(xiàng)，只有混合項(xiàng)，例如有混合項(xiàng)

，則先作可逆線性變換使中出現(xiàn)平方項(xiàng)，再按上面方法配方.1.配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的一般步驟：,得2.正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的一般步驟：（1）寫(xiě)出二次型的矩陣A;（2）求矩陣A的特征值（3）求矩陣A的特征向量；（4）將特征向量正交化、單位化得