邊界層換熱微分與積分方程

會計學(xué)1邊界層換熱微分與積分方程§5

對流換熱分析

建筑環(huán)境與設(shè)備工程專業(yè)主干課程之一

!Chapter5TheAnalysisofConvectionHeatTransfer第1頁/共55頁HeatTransfer本章內(nèi)容要求：重點內(nèi)容：對流換熱及其影響因素；牛頓冷卻公式；用分析方法求解對流換熱問題的實質(zhì)；邊界層概念及其應(yīng)用；相似原理；無相變換熱的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)及換熱量的計算。掌握內(nèi)容：對流換熱及其影響因素；用分析方法求解對流換熱問題的實質(zhì)。第2頁/共55頁HeatTransfer§5-2

邊界層換熱微分與積分方程一、邊界層概念層流底層過渡層湍流過渡流層流第3頁/共55頁HeatTransfer1.物理現(xiàn)象當(dāng)粘性流體在壁面上流動時，由于粘性的作用，在貼附于壁面的流體速度實際上等于零，在流體力學(xué)中稱為貼壁處的無滑移邊界條件。2.實驗測定若用儀器測出壁面法向（y向）的速度分布，如上圖所示。在y=0處，u=0；此后隨ｙ增大，ｕ也增大。經(jīng)過一個薄層后ｕ接近主流速度。第4頁/共55頁HeatTransfer3.定義這一薄層稱為流動邊界層（速度邊界層），通常規(guī)定：（主流速度）處的距離為流動邊界層厚度，記為。4.數(shù)量級流動邊界層很薄，如空氣，以掠過平板，在離前緣處的邊界層厚度約為。第5頁/共55頁HeatTransfer5.物理意義在這樣薄的一層流體內(nèi)，其速度梯度是很大的。在的薄層中，氣流速度從0變到，其法向平均變化率高達(dá)。第6頁/共55頁HeatTransfer根據(jù)牛頓粘性定律，流體的剪應(yīng)力與垂直運動方向的速度梯度成正比，即：式中：——

向的粘滯應(yīng)力；

——

動力粘度。第7頁/共55頁HeatTransfer6.掠過平板時邊界層的形成和發(fā)展(1)流體以速度流進(jìn)平板前緣后，邊界層逐漸增厚，但在某一距離以前會保持層流。(2)但是隨著邊界層厚度的增加，必然導(dǎo)致壁面粘滯力對邊界層外緣影響的減弱。自處起，層流向湍流過渡（過渡區(qū)），進(jìn)而達(dá)到旺盛湍流，故稱湍流邊界層。第8頁/共55頁HeatTransfer

(3)湍流邊界層包括湍流核心、緩沖層、層流底層。在層流底層中具有較大的速度梯度。第9頁/共55頁HeatTransfer7.臨界雷諾數(shù)

——運動粘度；

——動力粘度采用臨界雷諾數(shù)來判別層流和湍流。對管內(nèi)流動：

為層流

反之為湍流對縱掠平板：一般取第10頁/共55頁HeatTransfer8.小結(jié)

綜上所述，流動邊界層具有下列重要特性(1)流場可以劃分為兩個區(qū)：

(b)主流區(qū)——邊界層外，流速維持不變，流動可以作為理想流體的無旋流動，用描述理想流體的運動微分方程求解。

(a)邊界層區(qū)——必須考慮粘性對流動的影響，要用方程求解。第11頁/共55頁HeatTransfer(2)邊界層厚度與壁面尺度相比，是一個很

小的量。第12頁/共55頁HeatTransfer(3)邊界層分：層流邊界層——速度梯度較均勻地分布于全層。湍流邊界層——在緊貼壁面處，仍有一層極薄層保持層流狀態(tài)，稱為層流底層。速度梯度主要集中在層流底層。(4)在邊界層內(nèi)，粘滯力與慣性力數(shù)量級相同。第13頁/共55頁HeatTransfer9.熱邊界層等溫流動區(qū)溫度邊界層第14頁/共55頁HeatTransfer由于速度在壁面法線方向的變化出現(xiàn)了流動邊界層，同樣，當(dāng)流體與壁面之間存在溫度差時，將會產(chǎn)生熱邊界層，如上圖所示。在處，流體溫度等于壁溫，第15頁/共55頁HeatTransfer當(dāng)流體流過平板而平板的溫度tw與來流流體的溫度t∞不相等時，在壁面上方形成的溫度發(fā)生顯著變化的薄層，常稱為熱邊界層。稱為熱邊界層的厚度。

熱邊界層以外可視為等溫流動區(qū)（主流區(qū)）。第16頁/共55頁HeatTransfer邊界層概念的引入可使換熱微分方程組得以簡化:1.數(shù)量級分析：比較方程中各量或各項的量級的相對大??；保留量級較大的量或項；舍去那些量級小的項，方程大大簡化。二.邊界層換熱微分方程組例：二維、穩(wěn)態(tài)、強(qiáng)制對流、層流、忽略重力第17頁/共55頁HeatTransfer2.5個基本量的數(shù)量級：主流速度：溫度：壁面特征長度：邊界層厚度：x與l相當(dāng)，即：第18頁/共55頁HeatTransfer3.邊界層中二維穩(wěn)態(tài)能量方程式的各項數(shù)量級可分析如下：數(shù)量級第19頁/共55頁HeatTransfer由于《因而可以把主流方向的二階導(dǎo)數(shù)項略去于是得到二維、穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源的邊界層能量方程為：第20頁/共55頁HeatTransfer于是得到二維、穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源的邊界層換熱微分方程組：連續(xù)性方程動量守恒方程能量守恒方程第21頁/共55頁HeatTransfer4.上述方程的定解條件：對于平板，分析求解上述方程組（此時

)可得局部表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)的表達(dá)式（層流范圍）：第22頁/共55頁HeatTransfer特征數(shù)方程或準(zhǔn)則方程第23頁/共55頁HeatTransfer式中：努塞爾(Nusselt)數(shù)雷諾(Reynolds)數(shù)普朗特數(shù)注意：特征尺度為當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)x一定要注意上面準(zhǔn)則方程的適用條件：外掠等溫平板、無內(nèi)熱源、層流！第24頁/共55頁HeatTransfer5.與t之間的關(guān)系對于外掠平板的層流流動:此時動量方程與能量方程的形式完全一致:第25頁/共55頁HeatTransfer表明：此情況下動量傳遞與熱量傳遞規(guī)律相似。特別地：對于=a的流體（Pr=1），速度場與無量綱溫度場將完全相似，這是Pr=1的另一層物理意義：表示流動邊界層和溫度邊界層的厚度相同。第26頁/共55頁HeatTransfer三、邊界層積分方程組的求解1.邊界層積分方程1921年，馮·卡門提出了邊界層動量積分方程。1936年，克魯齊林求解了邊界層能量積分方程。近似解，簡單容易。第27頁/共55頁HeatTransfer用邊界層積分方程求解對流換熱問題的基本思想:(1)建立邊界層積分方程針對包括固體邊界及邊界層外邊界在內(nèi)的有限大小的控制容積；(2)對邊界層內(nèi)的速度和溫度分布作出假設(shè)，常用的函數(shù)形式為多項式；第28頁/共55頁HeatTransfer(3)利用邊界條件確定速度和溫度分布中的常數(shù)，然后將速度分布和溫度分布帶入積分方程，解出和的計算式；(4)根據(jù)求得的速度分布和溫度分布計算固體邊界上的：第29頁/共55頁HeatTransfer2.邊界層積分方程的推導(dǎo)將邊界層能量微分方程式對如圖5-15所示的任意截面做到的積分：（a）第30頁/共55頁HeatTransfer根據(jù)邊界層的概念，時，因而在該處，則有：（b）第31頁/共55頁HeatTransfer其中：（c）為了導(dǎo)出僅包括速度的方程，把（c）式中的項及項通過連續(xù)性方程進(jìn)行轉(zhuǎn)換（d）第32頁/共55頁HeatTransfer將（d）式代入（c）式：（e）對式（b）中的擴(kuò)散項積分：（f）第33頁/共55頁HeatTransfer將式（e）（f）代入式（b），得：等號左端的三項可進(jìn)一步簡化為：第34頁/共55頁HeatTransfer最后的邊界層能量積分方程為：用類似的方法可以導(dǎo)出邊界層動量積分方程為：兩個方程，4個未知量：u,t,,t。要使方程組封閉，還必須補(bǔ)充兩個有關(guān)這4個未知量的方程。這就是關(guān)于u和t的分布方程。第35頁/共55頁HeatTransfer3.邊界層積分方程組求解：邊界層中的速度分布為：上式微分：代入動量積分方程：第36頁/共55頁HeatTransferX處的局部壁面切應(yīng)力為：第37頁/共55頁HeatTransfer在工程中常使用局部切應(yīng)力與流體動壓頭之比這個無量綱量，并稱之為范寧摩擦系數(shù)，簡稱摩擦系數(shù)。平均摩擦系數(shù)：第38頁/共55頁HeatTransfer上面求解動量積分方程獲得的是近似解，而求解動量微分方程可以獲得的精確解，分別為：可見二者非常接近！第39頁/共55頁HeatTransfer求解能量積分方程，可得無量綱過余溫度分布：熱邊界層厚度：強(qiáng)調(diào)：以上結(jié)果都是在Pr1的前提下得到的！第40頁/共55頁HeatTransfer局部對流換熱系數(shù)：平均努塞爾數(shù)：第41頁/共55頁HeatTransfer4.計算時，注意四點：aPr1；b，兩對變量的差別；cd定性溫度：第42頁/共55頁HeatTransfer本節(jié)小結(jié)：一、邊界層概念：流動邊界層與熱邊界層二.邊界層換熱微分方程組與層流邊界層對流換熱的解；三、邊界層積分方程組與層流邊界層對流換熱的積分近似解；第43頁/共55頁HeatTransfer二維、穩(wěn)態(tài)、層流、無內(nèi)熱源的邊界層換熱微分方程組：連續(xù)性方程動量守恒方程能量守恒方程第44頁/共55頁HeatTransfer式中：努塞爾(Nusselt)數(shù)雷諾(Reynolds)數(shù)普朗特數(shù)注意：特征尺度為當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)x一定要注意上面準(zhǔn)則方程的適用條件：穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、層流！第45頁/共55頁HeatTransfer5.與t之間的關(guān)系對于外掠平板的層流流動:此時動量方程與能量方程的形式完全一致:第46頁/共55頁HeatTransfer表明：此情況下動量傳遞與熱量傳遞規(guī)律相似。特別地：對于=a的流體（Pr=1），速度場與無量綱溫度場將完全相似，這是Pr=1的另一層物理意義：表示流動邊界層和溫度邊界層的厚度相同。第47頁/共55頁HeatTransfer外掠平板，邊界層厚度及局部摩擦系數(shù)Cf，x：第48頁/共55頁HeatTransfer邊界層能量積分方程為：用類似的方法可以導(dǎo)出邊界層動量積分方程為：兩個方程，4個未知量：u,t,,t。要使方程組封閉，還必須補(bǔ)充兩個有關(guān)這4個未知量的方程。這就是關(guān)于u和t的分布方程。第49頁/共55頁HeatTransferX處的