潮流計(jì)算的數(shù)學(xué)模型及基本解法

會(huì)計(jì)學(xué)1潮流計(jì)算的數(shù)學(xué)模型及基本解法2023/1/1927.1潮流計(jì)算問題的數(shù)學(xué)模型一、潮流方程

對于N個(gè)節(jié)點(diǎn)的電力網(wǎng)絡(luò)（地作為參考節(jié)點(diǎn)不包括在內(nèi)），如果網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)已知，則網(wǎng)絡(luò)方程可表示為（7-1）式中，Y為階節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣；為維節(jié)點(diǎn)電壓列矢量；為維節(jié)點(diǎn)注入電流列矢量。如果不計(jì)網(wǎng)絡(luò)元件非線性，也不考慮移相變壓器，則Y為對稱矩陣。電力系統(tǒng)計(jì)算中，一般給定的運(yùn)行變量是節(jié)點(diǎn)注入功率，而不是節(jié)點(diǎn)注入電流，這兩者之間有如下關(guān)系：

（7-2）第1頁/共47頁2023/1/193式中，為節(jié)點(diǎn)的注入復(fù)功率，是維列向量；為的共軛;是節(jié)點(diǎn)電壓的共軛組成的階對角線矩陣。由式（7-1）和式（7-2），可得

上式就是潮流方程的復(fù)數(shù)形式，是N維的非線性附屬代數(shù)方程組。將其展開，有（7-3）式中，表示所有和相連的節(jié)點(diǎn)，包括。

如果節(jié)點(diǎn)電壓用直角坐標(biāo)表示，即令，代入式（7-3）中有第2頁/共47頁2023/1/194式中故有（7-4）（7-5）式（7-4）和式（7-5）是直角坐標(biāo)系表示的潮流方程。如果節(jié)點(diǎn)電壓用極坐標(biāo)表示，即令第3頁/共47頁2023/1/195故有（7-6）式（7-6）是極坐標(biāo)表示的潮流方程。第4頁/共47頁2023/1/196二、潮流方程的討論和節(jié)點(diǎn)類型的劃分

對于N個(gè)節(jié)點(diǎn)的電力系統(tǒng)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有四個(gè)運(yùn)行變量（例如，對于節(jié)點(diǎn)有，，和）故全系統(tǒng)共有4N個(gè)變量。對于式（7-3）所描述的復(fù)數(shù)潮流方程，共有2N個(gè)實(shí)數(shù)方程。要給定2N個(gè)變量，另外2N個(gè)變量才可以求解。但這絕不是說任意給定2N個(gè)變量潮流方程都是可以解的。一般來說，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的四個(gè)變量中給定兩個(gè)，另外兩個(gè)待求。哪兩個(gè)作為給定量由該節(jié)點(diǎn)的類型決定。對于負(fù)荷節(jié)點(diǎn)，該節(jié)點(diǎn)的P，Q是由負(fù)荷需求決定的，一般是不可控的。該類節(jié)點(diǎn)的特點(diǎn)是P，Q是給定的，則該節(jié)點(diǎn)，待求。這類節(jié)點(diǎn)稱為PQ節(jié)點(diǎn)。無注入的聯(lián)絡(luò)節(jié)點(diǎn)也可以看作P，Q給定節(jié)點(diǎn)，其P，Q值都是零。全系統(tǒng)還應(yīng)滿足功率平衡條件，即全網(wǎng)注入功率之和應(yīng)等于網(wǎng)絡(luò)損耗，由式（7-6）并考慮到是奇函數(shù)第5頁/共47頁2023/1/197（7-7）則有可見，系統(tǒng)有功網(wǎng)損和無功網(wǎng)損都是節(jié)點(diǎn)電壓幅值和角度的函數(shù)，只有在和都計(jì)算出來之后，和才能確定，所以N個(gè)節(jié)點(diǎn)中至少有一個(gè)節(jié)點(diǎn)的P，Q不能預(yù)先給出，其值要待潮流計(jì)算結(jié)束，和確定之后才能確定，該節(jié)點(diǎn)稱為松弛節(jié)點(diǎn)或平衡節(jié)點(diǎn)。因?yàn)槠胶夤?jié)點(diǎn)的P，Q不能預(yù)先給出，所以該節(jié)點(diǎn)的，就應(yīng)預(yù)先給出，該節(jié)點(diǎn)也稱為節(jié)點(diǎn)，其P，Q值由潮流計(jì)算來確定。平衡節(jié)點(diǎn)的選取是一種計(jì)算上的需要，有多種選法。因?yàn)槠胶夤?jié)點(diǎn)的P，Q事先無法確定，為使潮流計(jì)算結(jié)果符合實(shí)際，常把平衡節(jié)點(diǎn)選在較大調(diào)節(jié)余量的發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)。潮流計(jì)算結(jié)束時(shí)若平衡節(jié)點(diǎn)的有功功率、無功功率和實(shí)際情況不符，就要調(diào)整其他節(jié)點(diǎn)的邊界條件以使平衡節(jié)點(diǎn)的功率在實(shí)際允許的范圍之內(nèi)。第6頁/共47頁2023/1/198

綜上所述，若選第N個(gè)節(jié)點(diǎn)為平衡節(jié)點(diǎn)，剩下n個(gè)節(jié)點(diǎn)（n=N-1）中有r個(gè)節(jié)點(diǎn)是PV節(jié)點(diǎn)，則有n-r個(gè)節(jié)點(diǎn)是PQ節(jié)點(diǎn)。因此除了平衡節(jié)點(diǎn)外，有n個(gè)節(jié)點(diǎn)注入有功功率，n-r個(gè)節(jié)點(diǎn)注入無功功率以及r個(gè)節(jié)點(diǎn)的電壓幅值是已知量。在直角坐標(biāo)系，待求的狀態(tài)變量共2n個(gè)，用

以下表示，其潮流方程是式中，與是節(jié)點(diǎn)i的有功和無功功率給定值。式（7-8）共有2n個(gè)方程，2n個(gè)待求狀態(tài)變量，兩者個(gè)數(shù)相等。在極坐標(biāo)系，由于PV節(jié)點(diǎn)的電壓幅值已知，所以待求的狀態(tài)變量是（7-8）第7頁/共47頁2023/1/199共2n-r個(gè)待求量。其潮流方程是（7-9）共2n-r個(gè)方程。待求量和方程個(gè)數(shù)相等。為了更清晰地表達(dá)潮流方程中給定量和待求量之間的關(guān)系，表7.1中把每列中的兩個(gè)給定量用陰影部分表示，另兩個(gè)無陰影字符表示待求量，平衡節(jié)點(diǎn)號為s=N=n+1?？梢娒苛卸加袃蓚€(gè)量給定，另兩個(gè)量待求。表7.1潮流方程中的給定量和待求量節(jié)點(diǎn)PQ節(jié)點(diǎn)PV節(jié)點(diǎn)變量第8頁/共47頁2023/1/19107.2以高斯迭代法為基礎(chǔ)的潮流計(jì)算方法一、高斯迭代法

首先考察基于節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的高斯迭代法。在網(wǎng)絡(luò)方程（7-1）中，將平衡節(jié)點(diǎn)s排在最后，并將導(dǎo)納矩陣寫成分塊的形式，取出前n個(gè)方程有

高斯迭代法是最早在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)的潮流計(jì)算方法。這種方法編程簡單，在某些應(yīng)用領(lǐng)域，如配電網(wǎng)潮流計(jì)算中還有應(yīng)用。另外，也用為牛頓-拉夫遜法提供初值。第9頁/共47頁2023/1/1911

平衡節(jié)點(diǎn)s的電壓給定，n個(gè)節(jié)點(diǎn)的注入電流矢量已知，則有

（7-10）

實(shí)際電力系統(tǒng)給定量是n個(gè)節(jié)點(diǎn)的注入功率。注入電流和注入功率之間的關(guān)系是

寫成矢量形式為第10頁/共47頁2023/1/1912

再把寫成對角線矩陣D和嚴(yán)格上三角矩陣U以及嚴(yán)格下三角矩陣L的和，即令

代入(7-10)式，經(jīng)整理后有（7-11）第11頁/共47頁2023/1/1913

考慮到電流和功率的關(guān)系式，上式寫成迭代格式為（7-12）

考給定，，代入上式可求得電壓新值，逐次迭代直到前后兩次遺代求得的電壓值的差小于某一收斂精度為止。這是高斯法的基本解算步驟。每次迭代要從節(jié)點(diǎn)1掃描到節(jié)n。在計(jì)算時(shí)，，j=1，2，…，i-1已經(jīng)求出，若迭代是一個(gè)收斂過程，它們應(yīng)比，更接近于真值。

考給定，，代入上式可求得電壓新值，逐次迭代直到前后兩次遺代求得的電壓值的差小于某一收斂精度為止。這是高斯法的基本解算步驟。每次迭代要從節(jié)點(diǎn)1掃描到節(jié)n。在計(jì)算時(shí)，，j=1，2，…，i-1已經(jīng)求出，若迭代是一第12頁/共47頁2023/1/1914

考所以，用代替可出得到更好的收斂果。這就是高斯，賽德爾(Gauss-Seidel)選代的基本思想，即一旦求出電壓新值，在隨后的迭代中立即使用。這種方法的選代格式是（7-13）

考高斯一賽德爾法比高斯迭代法收斂性要好。

考在導(dǎo)納矩陣法的迭代公式中，導(dǎo)納矩陣高度稀疏，每行只有少數(shù)幾個(gè)是非零元素，非對角非零元素個(gè)數(shù)與和節(jié)點(diǎn)j相聯(lián)的支路數(shù)相等。所以，上一次第13頁/共47頁

考迭代后得到的電壓值，只有少數(shù)幾個(gè)對本次迭代中節(jié)點(diǎn)電壓的改進(jìn)有貢獻(xiàn)，這使得導(dǎo)納矩陣法在每次迭代中其節(jié)點(diǎn)電壓向解點(diǎn)方向的變化十分緩慢，算法收斂性較差。高斯迭代法的法另一種迭代格式是以節(jié)點(diǎn)阻抗陣為基礎(chǔ)。由于阻抗矩陣是滿陣，用阻抗矩陣設(shè)計(jì)的迭代格式可望獲得好的收斂性。式（7-10）可以改寫為（7-14）上式也可以寫成（7-15）其中是的逆矩陣，即以平衡節(jié)點(diǎn)為電壓給定節(jié)點(diǎn)建立的節(jié)點(diǎn)阻抗矩陣。第14頁/共47頁2023/1/1916

二、關(guān)于高斯法的討論

對于形如的非線性代數(shù)方程組，總可以寫成

的形式，于是，有如下的高斯迭代公式：高斯法迭代的收斂性主要由（7-16）（7-17）（7-18）第15頁/共47頁2023/1/1917

的譜半徑[或矩陣的最大特征值]決定。是的解點(diǎn)。當(dāng)?shù)淖V半徑小于1時(shí)高斯法迭代可以收斂；O(x’)的譜半徑越小收斂性越好。

求解(7-27)式有兩種方法，即高斯洼和高斯一賽德爾法。高斯法的迭代格式是高斯一賽德爾法的迭代公式是

（7-19）（7-20）即剛剛計(jì)算出的x的值就在下次迭代計(jì)算中立即使用當(dāng)時(shí)，迭代收斂。

對于連通的電力網(wǎng)絡(luò)，各節(jié)點(diǎn)的電壓是相關(guān)的，不管兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間是否有支路直接相聯(lián)。第16頁/共47頁2023/1/1918

由于Y矩陣中的元素代表的是短路參數(shù)，它是高度稀疏的，由(7-12)式可見，計(jì)算節(jié)點(diǎn)i的電壓時(shí)，只有和節(jié)點(diǎn)j有支路直接相聯(lián)的節(jié)點(diǎn)j的電壓對有貢獻(xiàn)。這種方法利用的信息較少，收斂性較差。當(dāng)用阻抗矩陣法時(shí)，由于阻抗矩陣是滿矩陣，由（7-15）式可見，網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)的電壓都會(huì)對的計(jì)算產(chǎn)生影響，這種方法利用的信息較多，收斂性人大提高了，但由于占用內(nèi)存多，目前已經(jīng)很少采用了。

從程序角度看，如果使用式（7-14），利用的因子表而不是直接使用式（7-15）中的矩陣，可大大節(jié)省內(nèi)存，缺點(diǎn)是不易組成高斯一賽德爾迭代的計(jì)算格式。第17頁/共47頁2023/1/1919

不論甩Y矩陣還是用z矩陣，對PV節(jié)點(diǎn)的處理都是困難的。通常的處理方法是，給定PV節(jié)點(diǎn)Q的初值，在高斯迭代過程中，PV節(jié)點(diǎn)的電壓幅值計(jì)算值和給定值不同，這時(shí)修正給定的Q，直到迭代收斂時(shí)，PV節(jié)點(diǎn)的電壓幅值的計(jì)算值和給定值相等（小于某一允許的誤差范圍）為止。高斯迭代法中關(guān)于PV節(jié)點(diǎn)的處理可參考艾獻(xiàn)[16]。

例7.1對于例2.3的三母線電力系統(tǒng)，各網(wǎng)絡(luò)元件參數(shù)和節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣已在該例中給出。假定節(jié)點(diǎn)①的注入功率是節(jié)點(diǎn)②的注入功率是節(jié)點(diǎn)③是節(jié)點(diǎn)，。試用節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣和節(jié)點(diǎn)阻抗矩陣的高斯-賽德爾迭代法計(jì)算潮流。第18頁/共47頁2023/1/1920解根據(jù)例2，3的導(dǎo)納矩陣可寫出（7-11）式的表達(dá)式

第19頁/共47頁2023/1/1921于是有

第20頁/共47頁2023/1/1922將上式寫成簡單迭代法的高斯一賽德爾迭代格式：給定初值計(jì)算過程如下：

第21頁/共47頁2023/1/1923整個(gè)迭代過程如表7.1所示。表7.1導(dǎo)納矩陣為基礎(chǔ)的高斯一賽德爾法的選代過程第22頁/共47頁2023/1/1924

不論甩Y矩陣還是用z矩陣，對PV節(jié)點(diǎn)的處理都是由以上結(jié)果可見收斂過程是較慢的，7次迭代仍未穩(wěn)定在一個(gè)固定的值上。若以前后兩次選代結(jié)果相差0.0001為收斂準(zhǔn)則，則k=7時(shí)收斂。此例如果不采用高斯一賽德爾迭代格式，那么迭代次數(shù)還會(huì)大大增加。第23頁/共47頁2023/1/19257.3牛頓一拉夫遜法潮流計(jì)算一、牛頓一拉夫遜法的一般描述求解潮流，數(shù)學(xué)上就是求解用潮流方程表示的非線性代數(shù)方程組，因此可用數(shù)學(xué)上的逐次線性化的方法，即牛頓一拉夫遜法求解。電力網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)功率方程可用表示，式中是節(jié)點(diǎn)注入功率給定值．y是節(jié)點(diǎn)注入功率和節(jié)點(diǎn)電壓之間的函數(shù)表達(dá)式，x是節(jié)點(diǎn)電壓。當(dāng)然也可以寫成功率偏差的形式（7-21）（7-22）第24頁/共47頁2023/1/1926

牛頓一拉夫遜法求解步驟如下。在給定的初值處將式（7-22）作一階泰勒展開電力網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)功率方程可用表示，式中是節(jié)點(diǎn)注入功率給定值．y是節(jié)點(diǎn)注入功率和節(jié)點(diǎn)電壓之間的函數(shù)表達(dá)式，x是節(jié)點(diǎn)電壓。當(dāng)然也可以寫成功率偏差的形式定義為潮流方程的雅克比矩陣，為在處的值，則有第25頁/共47頁2023/1/1927

用修正而得到的新值，如果迭代序列收斂，它應(yīng)當(dāng)更接近解點(diǎn)值。寫成一般的表達(dá)式，有對于潮流收斂的情況，比更接近于解點(diǎn)。收斂條件為

（7-23）第26頁/共47頁2023/1/1928二、直角坐標(biāo)的牛頓一拉夫遜法

對于(7-8)式所示的直角坐標(biāo)樂的潮流方程，(7-32)式有下面的形式：狀態(tài)變量是，是2n維的。雅可比矩陣是2n×2n階矩陣，其結(jié)構(gòu)是

（7-24）第27頁/共47頁2023/1/1929（7-25）

式(7-23)所示的修正方程中有2n個(gè)未知量，有2n個(gè)方程，只要式(7-23)中的J非奇異．則可解。

在直角坐標(biāo)情況下，平衡節(jié)點(diǎn)是給定節(jié)點(diǎn)，即平衡節(jié)點(diǎn)s的電壓的實(shí)部和虛部可用下式確定；

式中，和是平衡節(jié)點(diǎn)給定的電壓幅值和相角。

（7-26）第28頁/共47頁2023/1/1930三、極坐標(biāo)的牛頓-拉夫遜法

對于(7-9)式所示的極坐標(biāo)系的潮流方程，有下面的形式：

共2n-r個(gè)方程，狀態(tài)變量是共2n-r個(gè)待求量。r個(gè)PV節(jié)點(diǎn)的電壓幅值是給定量，不需求解。潮流雅可比矩陣的維數(shù)（2n-r）×（2n-r）階矩陣，其結(jié)構(gòu)是（7-27）第29頁/共47頁2023/1/1931

上式右側(cè)的電壓幅值的偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)中的電壓幅值的階次減少了1，為使雅克比矩陣的各部分子矩陣具有一致形式，在實(shí)際計(jì)算中，常將該項(xiàng)乘以電壓幅值，并選取作為待求的修正量，則雅克比矩陣可寫成第30頁/共47頁2023/1/1932（7-28）

將(7-37)式和(7-38)式代入(7-33)式的修正方程則可求得x的修正量，用它修正x直到為止。第31頁/共47頁2023/1/1933四、雅可比矩陣的討論

雅克比矩陣是牛頓-拉夫遜的核心內(nèi)容，需要認(rèn)真分析其特點(diǎn)。首先考察直角坐標(biāo)系的雅可比矩陣，將(7-35)式寫成

矩陣中各子塊的維數(shù)已在上式中示意地指出。其中各子塊的元素由下式計(jì)算：第32頁/共47頁2023/1/1934（7-29）

下面再考察極坐標(biāo)雅可比矩陣(7-38)式，可用下式表示：第33頁/共47頁2023/1/1935下面各子塊的計(jì)算公式是：(7-30)于是雅可比矩陣可寫成：第34頁/共47頁2023/1/1936

等號右邊中間項(xiàng)帶撇的量具有導(dǎo)納的量綱。式中和分別是n維和n-r維節(jié)點(diǎn)電壓幅值對角線矩陣。代人牛頓一拉夫遜法修正方程(7-23)式后有：

整理后有

式中，，，和分別表示以為元素的矢量，本書其余部分亦同。式（7-31）中系數(shù)矩陣與雅克比矩陣J不同，記為,即(7-31)第35頁/共47頁2023/1/1937

除了對角線元素之外，J’中沒有電壓幅值項(xiàng)，它的計(jì)算公式在(7-30)中。(7-31)式中右邊具有電流的量綱，左邊的相角修正項(xiàng)前乘一個(gè)電壓幅值項(xiàng)，使用時(shí)應(yīng)注意。觀察(7-30)式的雅可比矩陣各元素中有余弦項(xiàng)、正弦項(xiàng)和含P或Q的項(xiàng)，我們把(7-30)式描述的雅可比矩陣拆成三個(gè)矩陣的(7-31)式的雅可比矩陣可寫成

上式中是矩陣的一種簡化的寫法，它和節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的虛部B的結(jié)構(gòu)相同，區(qū)別在于矩陣B中的元素，在這里是其它矩陣類同。另外，（7-32）第36頁/共47頁2023/1/1938

在正常情況下，很小，可令；另外，(7-32)式中右邊最后一項(xiàng)相對于前兩項(xiàng)數(shù)值較小，可忽略。于是(7-32)式的雅可比矩陣可簡化成將式（7-33）代入(7-31)式，就可以得到定雅可比法潮流計(jì)算的快速計(jì)算的公式，其修正方程是由于雅可比矩陣是常數(shù)，所以只要在迭代開始形成其因子表，在迭代過程中就可以連續(xù)使用。定雅定雅可比法由于是一種固定斜率的牛頓一拉是遜法，所以只具有一階收斂速度，但由于每次迭代

（7-33）（7-34）第37頁/共47頁2023/1/1939

計(jì)算的計(jì)算時(shí)間縮短了，所以總的計(jì)算速度比標(biāo)準(zhǔn)牛頓一拉夫遜法大大加快。注意，在實(shí)際潮流汁箅中，由于有r個(gè)節(jié)點(diǎn)是PV節(jié)點(diǎn)，這時(shí)(7-34)式中系數(shù)矩陣的四個(gè)子矩陣維數(shù)可能不同，為區(qū)分這種情況，(7-34)式也可寫成：（7-35）例7.2對于例2.3的三母線電力系統(tǒng)，假定節(jié)點(diǎn)①是PQ母線，它的注入功率是節(jié)點(diǎn)②是PV母線，它的有功注入