潮流計算的數(shù)學模型及基本解法

會計學1潮流計算的數(shù)學模型及基本解法2023/1/1927.1潮流計算問題的數(shù)學模型一、潮流方程

對于N個節(jié)點的電力網絡（地作為參考節(jié)點不包括在內），如果網絡結構和元件參數(shù)已知，則網絡方程可表示為（7-1）式中，Y為階節(jié)點導納矩陣；為維節(jié)點電壓列矢量；為維節(jié)點注入電流列矢量。如果不計網絡元件非線性，也不考慮移相變壓器，則Y為對稱矩陣。電力系統(tǒng)計算中，一般給定的運行變量是節(jié)點注入功率，而不是節(jié)點注入電流，這兩者之間有如下關系：

（7-2）第1頁/共47頁2023/1/193式中，為節(jié)點的注入復功率，是維列向量；為的共軛;是節(jié)點電壓的共軛組成的階對角線矩陣。由式（7-1）和式（7-2），可得

上式就是潮流方程的復數(shù)形式，是N維的非線性附屬代數(shù)方程組。將其展開，有（7-3）式中，表示所有和相連的節(jié)點，包括。

如果節(jié)點電壓用直角坐標表示，即令，代入式（7-3）中有第2頁/共47頁2023/1/194式中故有（7-4）（7-5）式（7-4）和式（7-5）是直角坐標系表示的潮流方程。如果節(jié)點電壓用極坐標表示，即令第3頁/共47頁2023/1/195故有（7-6）式（7-6）是極坐標表示的潮流方程。第4頁/共47頁2023/1/196二、潮流方程的討論和節(jié)點類型的劃分

對于N個節(jié)點的電力系統(tǒng)，每個節(jié)點有四個運行變量（例如，對于節(jié)點有，，和）故全系統(tǒng)共有4N個變量。對于式（7-3）所描述的復數(shù)潮流方程，共有2N個實數(shù)方程。要給定2N個變量，另外2N個變量才可以求解。但這絕不是說任意給定2N個變量潮流方程都是可以解的。一般來說，每個節(jié)點的四個變量中給定兩個，另外兩個待求。哪兩個作為給定量由該節(jié)點的類型決定。對于負荷節(jié)點，該節(jié)點的P，Q是由負荷需求決定的，一般是不可控的。該類節(jié)點的特點是P，Q是給定的，則該節(jié)點，待求。這類節(jié)點稱為PQ節(jié)點。無注入的聯(lián)絡節(jié)點也可以看作P，Q給定節(jié)點，其P，Q值都是零。全系統(tǒng)還應滿足功率平衡條件，即全網注入功率之和應等于網絡損耗，由式（7-6）并考慮到是奇函數(shù)第5頁/共47頁2023/1/197（7-7）則有可見，系統(tǒng)有功網損和無功網損都是節(jié)點電壓幅值和角度的函數(shù)，只有在和都計算出來之后，和才能確定，所以N個節(jié)點中至少有一個節(jié)點的P，Q不能預先給出，其值要待潮流計算結束，和確定之后才能確定，該節(jié)點稱為松弛節(jié)點或平衡節(jié)點。因為平衡節(jié)點的P，Q不能預先給出，所以該節(jié)點的，就應預先給出，該節(jié)點也稱為節(jié)點，其P，Q值由潮流計算來確定。平衡節(jié)點的選取是一種計算上的需要，有多種選法。因為平衡節(jié)點的P，Q事先無法確定，為使潮流計算結果符合實際，常把平衡節(jié)點選在較大調節(jié)余量的發(fā)電機節(jié)點。潮流計算結束時若平衡節(jié)點的有功功率、無功功率和實際情況不符，就要調整其他節(jié)點的邊界條件以使平衡節(jié)點的功率在實際允許的范圍之內。第6頁/共47頁2023/1/198

綜上所述，若選第N個節(jié)點為平衡節(jié)點，剩下n個節(jié)點（n=N-1）中有r個節(jié)點是PV節(jié)點，則有n-r個節(jié)點是PQ節(jié)點。因此除了平衡節(jié)點外，有n個節(jié)點注入有功功率，n-r個節(jié)點注入無功功率以及r個節(jié)點的電壓幅值是已知量。在直角坐標系，待求的狀態(tài)變量共2n個，用

以下表示，其潮流方程是式中，與是節(jié)點i的有功和無功功率給定值。式（7-8）共有2n個方程，2n個待求狀態(tài)變量，兩者個數(shù)相等。在極坐標系，由于PV節(jié)點的電壓幅值已知，所以待求的狀態(tài)變量是（7-8）第7頁/共47頁2023/1/199共2n-r個待求量。其潮流方程是（7-9）共2n-r個方程。待求量和方程個數(shù)相等。為了更清晰地表達潮流方程中給定量和待求量之間的關系，表7.1中把每列中的兩個給定量用陰影部分表示，另兩個無陰影字符表示待求量，平衡節(jié)點號為s=N=n+1?？梢娒苛卸加袃蓚€量給定，另兩個量待求。表7.1潮流方程中的給定量和待求量節(jié)點PQ節(jié)點PV節(jié)點變量第8頁/共47頁2023/1/19107.2以高斯迭代法為基礎的潮流計算方法一、高斯迭代法

首先考察基于節(jié)點導納矩陣的高斯迭代法。在網絡方程（7-1）中，將平衡節(jié)點s排在最后，并將導納矩陣寫成分塊的形式，取出前n個方程有

高斯迭代法是最早在計算機上實現(xiàn)的潮流計算方法。這種方法編程簡單，在某些應用領域，如配電網潮流計算中還有應用。另外，也用為牛頓-拉夫遜法提供初值。第9頁/共47頁2023/1/1911

平衡節(jié)點s的電壓給定，n個節(jié)點的注入電流矢量已知，則有

（7-10）

實際電力系統(tǒng)給定量是n個節(jié)點的注入功率。注入電流和注入功率之間的關系是

寫成矢量形式為第10頁/共47頁2023/1/1912

再把寫成對角線矩陣D和嚴格上三角矩陣U以及嚴格下三角矩陣L的和，即令

代入(7-10)式，經整理后有（7-11）第11頁/共47頁2023/1/1913

考慮到電流和功率的關系式，上式寫成迭代格式為（7-12）

考給定，，代入上式可求得電壓新值，逐次迭代直到前后兩次遺代求得的電壓值的差小于某一收斂精度為止。這是高斯法的基本解算步驟。每次迭代要從節(jié)點1掃描到節(jié)n。在計算時，，j=1，2，…，i-1已經求出，若迭代是一個收斂過程，它們應比，更接近于真值。

考給定，，代入上式可求得電壓新值，逐次迭代直到前后兩次遺代求得的電壓值的差小于某一收斂精度為止。這是高斯法的基本解算步驟。每次迭代要從節(jié)點1掃描到節(jié)n。在計算時，，j=1，2，…，i-1已經求出，若迭代是一第12頁/共47頁2023/1/1914

考所以，用代替可出得到更好的收斂果。這就是高斯，賽德爾(Gauss-Seidel)選代的基本思想，即一旦求出電壓新值，在隨后的迭代中立即使用。這種方法的選代格式是（7-13）

考高斯一賽德爾法比高斯迭代法收斂性要好。

考在導納矩陣法的迭代公式中，導納矩陣高度稀疏，每行只有少數(shù)幾個是非零元素，非對角非零元素個數(shù)與和節(jié)點j相聯(lián)的支路數(shù)相等。所以，上一次第13頁/共47頁

考迭代后得到的電壓值，只有少數(shù)幾個對本次迭代中節(jié)點電壓的改進有貢獻，這使得導納矩陣法在每次迭代中其節(jié)點電壓向解點方向的變化十分緩慢，算法收斂性較差。高斯迭代法的法另一種迭代格式是以節(jié)點阻抗陣為基礎。由于阻抗矩陣是滿陣，用阻抗矩陣設計的迭代格式可望獲得好的收斂性。式（7-10）可以改寫為（7-14）上式也可以寫成（7-15）其中是的逆矩陣，即以平衡節(jié)點為電壓給定節(jié)點建立的節(jié)點阻抗矩陣。第14頁/共47頁2023/1/1916

二、關于高斯法的討論

對于形如的非線性代數(shù)方程組，總可以寫成

的形式，于是，有如下的高斯迭代公式：高斯法迭代的收斂性主要由（7-16）（7-17）（7-18）第15頁/共47頁2023/1/1917

的譜半徑[或矩陣的最大特征值]決定。是的解點。當?shù)淖V半徑小于1時高斯法迭代可以收斂；O(x’)的譜半徑越小收斂性越好。

求解(7-27)式有兩種方法，即高斯洼和高斯一賽德爾法。高斯法的迭代格式是高斯一賽德爾法的迭代公式是

（7-19）（7-20）即剛剛計算出的x的值就在下次迭代計算中立即使用當時，迭代收斂。

對于連通的電力網絡，各節(jié)點的電壓是相關的，不管兩個節(jié)點之間是否有支路直接相聯(lián)。第16頁/共47頁2023/1/1918

由于Y矩陣中的元素代表的是短路參數(shù)，它是高度稀疏的，由(7-12)式可見，計算節(jié)點i的電壓時，只有和節(jié)點j有支路直接相聯(lián)的節(jié)點j的電壓對有貢獻。這種方法利用的信息較少，收斂性較差。當用阻抗矩陣法時，由于阻抗矩陣是滿矩陣，由（7-15）式可見，網絡中所有節(jié)點的電壓都會對的計算產生影響，這種方法利用的信息較多，收斂性人大提高了，但由于占用內存多，目前已經很少采用了。

從程序角度看，如果使用式（7-14），利用的因子表而不是直接使用式（7-15）中的矩陣，可大大節(jié)省內存，缺點是不易組成高斯一賽德爾迭代的計算格式。第17頁/共47頁2023/1/1919

不論甩Y矩陣還是用z矩陣，對PV節(jié)點的處理都是困難的。通常的處理方法是，給定PV節(jié)點Q的初值，在高斯迭代過程中，PV節(jié)點的電壓幅值計算值和給定值不同，這時修正給定的Q，直到迭代收斂時，PV節(jié)點的電壓幅值的計算值和給定值相等（小于某一允許的誤差范圍）為止。高斯迭代法中關于PV節(jié)點的處理可參考艾獻[16]。

例7.1對于例2.3的三母線電力系統(tǒng)，各網絡元件參數(shù)和節(jié)點導納矩陣已在該例中給出。假定節(jié)點①的注入功率是節(jié)點②的注入功率是節(jié)點③是節(jié)點，。試用節(jié)點導納矩陣和節(jié)點阻抗矩陣的高斯-賽德爾迭代法計算潮流。第18頁/共47頁2023/1/1920解根據例2，3的導納矩陣可寫出（7-11）式的表達式

第19頁/共47頁2023/1/1921于是有

第20頁/共47頁2023/1/1922將上式寫成簡單迭代法的高斯一賽德爾迭代格式：給定初值計算過程如下：

第21頁/共47頁2023/1/1923整個迭代過程如表7.1所示。表7.1導納矩陣為基礎的高斯一賽德爾法的選代過程第22頁/共47頁2023/1/1924

不論甩Y矩陣還是用z矩陣，對PV節(jié)點的處理都是由以上結果可見收斂過程是較慢的，7次迭代仍未穩(wěn)定在一個固定的值上。若以前后兩次選代結果相差0.0001為收斂準則，則k=7時收斂。此例如果不采用高斯一賽德爾迭代格式，那么迭代次數(shù)還會大大增加。第23頁/共47頁2023/1/19257.3牛頓一拉夫遜法潮流計算一、牛頓一拉夫遜法的一般描述求解潮流，數(shù)學上就是求解用潮流方程表示的非線性代數(shù)方程組，因此可用數(shù)學上的逐次線性化的方法，即牛頓一拉夫遜法求解。電力網絡的節(jié)點功率方程可用表示，式中是節(jié)點注入功率給定值．y是節(jié)點注入功率和節(jié)點電壓之間的函數(shù)表達式，x是節(jié)點電壓。當然也可以寫成功率偏差的形式（7-21）（7-22）第24頁/共47頁2023/1/1926

牛頓一拉夫遜法求解步驟如下。在給定的初值處將式（7-22）作一階泰勒展開電力網絡的節(jié)點功率方程可用表示，式中是節(jié)點注入功率給定值．y是節(jié)點注入功率和節(jié)點電壓之間的函數(shù)表達式，x是節(jié)點電壓。當然也可以寫成功率偏差的形式定義為潮流方程的雅克比矩陣，為在處的值，則有第25頁/共47頁2023/1/1927

用修正而得到的新值，如果迭代序列收斂，它應當更接近解點值。寫成一般的表達式，有對于潮流收斂的情況，比更接近于解點。收斂條件為

（7-23）第26頁/共47頁2023/1/1928二、直角坐標的牛頓一拉夫遜法

對于(7-8)式所示的直角坐標樂的潮流方程，(7-32)式有下面的形式：狀態(tài)變量是，是2n維的。雅可比矩陣是2n×2n階矩陣，其結構是

（7-24）第27頁/共47頁2023/1/1929（7-25）

式(7-23)所示的修正方程中有2n個未知量，有2n個方程，只要式(7-23)中的J非奇異．則可解。

在直角坐標情況下，平衡節(jié)點是給定節(jié)點，即平衡節(jié)點s的電壓的實部和虛部可用下式確定；

式中，和是平衡節(jié)點給定的電壓幅值和相角。

（7-26）第28頁/共47頁2023/1/1930三、極坐標的牛頓-拉夫遜法

對于(7-9)式所示的極坐標系的潮流方程，有下面的形式：

共2n-r個方程，狀態(tài)變量是共2n-r個待求量。r個PV節(jié)點的電壓幅值是給定量，不需求解。潮流雅可比矩陣的維數(shù)（2n-r）×（2n-r）階矩陣，其結構是（7-27）第29頁/共47頁2023/1/1931

上式右側的電壓幅值的偏導數(shù)項中的電壓幅值的階次減少了1，為使雅克比矩陣的各部分子矩陣具有一致形式，在實際計算中，常將該項乘以電壓幅值，并選取作為待求的修正量，則雅克比矩陣可寫成第30頁/共47頁2023/1/1932（7-28）

將(7-37)式和(7-38)式代入(7-33)式的修正方程則可求得x的修正量，用它修正x直到為止。第31頁/共47頁2023/1/1933四、雅可比矩陣的討論

雅克比矩陣是牛頓-拉夫遜的核心內容，需要認真分析其特點。首先考察直角坐標系的雅可比矩陣，將(7-35)式寫成

矩陣中各子塊的維數(shù)已在上式中示意地指出。其中各子塊的元素由下式計算：第32頁/共47頁2023/1/1934（7-29）

下面再考察極坐標雅可比矩陣(7-38)式，可用下式表示：第33頁/共47頁2023/1/1935下面各子塊的計算公式是：(7-30)于是雅可比矩陣可寫成：第34頁/共47頁2023/1/1936

等號右邊中間項帶撇的量具有導納的量綱。式中和分別是n維和n-r維節(jié)點電壓幅值對角線矩陣。代人牛頓一拉夫遜法修正方程(7-23)式后有：

整理后有

式中，，，和分別表示以為元素的矢量，本書其余部分亦同。式（7-31）中系數(shù)矩陣與雅克比矩陣J不同，記為,即(7-31)第35頁/共47頁2023/1/1937

除了對角線元素之外，J’中沒有電壓幅值項，它的計算公式在(7-30)中。(7-31)式中右邊具有電流的量綱，左邊的相角修正項前乘一個電壓幅值項，使用時應注意。觀察(7-30)式的雅可比矩陣各元素中有余弦項、正弦項和含P或Q的項，我們把(7-30)式描述的雅可比矩陣拆成三個矩陣的(7-31)式的雅可比矩陣可寫成

上式中是矩陣的一種簡化的寫法，它和節(jié)點導納矩陣的虛部B的結構相同，區(qū)別在于矩陣B中的元素，在這里是其它矩陣類同。另外，（7-32）第36頁/共47頁2023/1/1938

在正常情況下，很小，可令；另外，(7-32)式中右邊最后一項相對于前兩項數(shù)值較小，可忽略。于是(7-32)式的雅可比矩陣可簡化成將式（7-33）代入(7-31)式，就可以得到定雅可比法潮流計算的快速計算的公式，其修正方程是由于雅可比矩陣是常數(shù)，所以只要在迭代開始形成其因子表，在迭代過程中就可以連續(xù)使用。定雅定雅可比法由于是一種固定斜率的牛頓一拉是遜法，所以只具有一階收斂速度，但由于每次迭代

（7-33）（7-34）第37頁/共47頁2023/1/1939

計算的計算時間縮短了，所以總的計算速度比標準牛頓一拉夫遜法大大加快。注意，在實際潮流汁箅中，由于有r個節(jié)點是PV節(jié)點，這時(7-34)式中系數(shù)矩陣的四個子矩陣維數(shù)可能不同，為區(qū)分這種情況，(7-34)式也可寫成：（7-35）例7.2對于例2.3的三母線電力系統(tǒng)，假定節(jié)點①是PQ母線，它的注入功率是節(jié)點②是PV母線，它的有功注入