中學(xué)物理中的平均值問(wèn)題

中學(xué)物理中的平均值問(wèn)題當(dāng)我們研究的物理量是變量時(shí)，經(jīng)常用一個(gè)與其等效的常量來(lái)替代，這就是該物理的平均值。使用物理量的平均值，可以使我們有一個(gè)大致的數(shù)量概念；同時(shí)引入平均值可以消除或減小誤差，簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)運(yùn)算，方便使用。明確平均值的物理意義，弄清平均物理量的特點(diǎn)，掌握求平均值的數(shù)學(xué)方法，這是對(duì)學(xué)習(xí)運(yùn)用平均值的三項(xiàng)基本要求。9.1中學(xué)物理中幾種常見(jiàn)的平均值使用物理量的平均值，除本身的物理意義外，還包含獲得這個(gè)平均值的數(shù)學(xué)過(guò)程和方法。9.1.1算術(shù)平均例如：做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體，初速度為V］、末速度為V2。則物體在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度V=匕:匕，這一速度實(shí)際上也是物體在這段時(shí)間中點(diǎn)的瞬時(shí)速度。算術(shù)平均值是物理量平均平均值中最簡(jiǎn)單常見(jiàn)的一種，物理實(shí)驗(yàn)中各種數(shù)據(jù)的處理，基本上都是算術(shù)平均值。9.1.2幾何平均例如：質(zhì)量為m的物體由戰(zhàn)地心『］遠(yuǎn)處緩慢提升至距地心r2處，若物體在前后兩位置所受的萬(wàn)有引力分別為F1和F2,則物體所受的萬(wàn)有引力的平均值可由下述方法給出：由引GmM t ,t/ ,斗，、，匚力勢(shì)能公式E=-可知，在提升過(guò)程中物體引力勢(shì)能增量pr△E=-GmM-f-GmM］=GmM(r-r)，由于萬(wàn)有引力做功與路徑無(wú)關(guān)，其數(shù)值等prkrJrr2i于引力勢(shì)能的增量，GmM因此，F(xiàn)(于引力勢(shì)能的增量，GmM因此，F(xiàn)(r—r)= (r—r)，2 1rr2 1GmMr1r29.1.3調(diào)和平均n平均的量只有兩個(gè)，上式變成了調(diào)和平均的定義X= 。若被平均的量只有兩個(gè)，上式變成了調(diào)11 1X+X+……+方12 nX=2X1X。例如汽車發(fā)動(dòng)機(jī)的功率一定，當(dāng)阻力不變時(shí)，汽車沿一略傾斜的斜坡向上調(diào)X+X2勻速行駛的速率為V］，向下勻速行駛的速率為v2,求汽車在水平路面上行駛的速率。因?yàn)槠嚢l(fā)動(dòng)機(jī)的功率一定，因此有：(mgsinQ+^mgcos0)V=^mgV=(^mgcos。-mgsin0)V。由略微傾斜的條件可知cos9=1，從上式中消去sin9理可解得V=2丫2，中學(xué)物理中的調(diào)和平均還有“兩地之V+V間不同速率的往返問(wèn)題”、“順?biāo)?、逆水?wèn)題”等，都是在連續(xù)相等的兩段路程上兩個(gè)常速的調(diào)和平均。9.2兩類拓廣的平均值問(wèn)題9.2.1冪平均如果被平均的量是某物理量的平方或高次方，這時(shí)的平均就是冪平均，它可由下式求V2+V2H V2出：V2= 2 n-V2+V2一，在研究勻變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，若初速度為V^末速度為V2，則物理量、:122就是始末速度冪平均的結(jié)果，它實(shí)際上就是物體通過(guò)這段位移中點(diǎn)時(shí)的瞬時(shí)速度。用冪平均方法求出的速率就是所謂“方均根速率”寸祐，它與V是不同的。9.2.2加權(quán)平均在以上所見(jiàn)的到的各類求平均值的方法中，某一物理量的各原始數(shù)據(jù)在計(jì)算過(guò)程中所處的地位都是一樣的，但實(shí)際上并非始終如此。當(dāng)它們?cè)诒谎芯康膯?wèn)題中所處的地位不同時(shí)，“加權(quán)平均”就是合理地反映它們平均過(guò)程中“權(quán)重”的的一種平均方法。例如：從甲地開(kāi)往乙地的汽車，先以V］的速度行駛了時(shí)間,，又以速度v2行駛了時(shí)間t，求汽車從甲地到乙地的平均速度，它的結(jié)果V=匕‘1+匕‘2就是典型的加權(quán)平均。此外，2 t+1冷熱水混合后的平均溫度問(wèn)題、求一條直線上幾個(gè)不同質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)心問(wèn)題、幾種不同溶液混合后的密度問(wèn)題都屬于加權(quán)平均。9.3求物理量平均值時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題物理學(xué)中平均值問(wèn)題的特點(diǎn)在于它的量值不僅取決于物理問(wèn)題的過(guò)程和性質(zhì)，而且還依賴于獲得平均值的方法和手段。因此，求物理量的平均值時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：9.3.1j是哪類問(wèn)題的平均為了確定研究量的平均值的基本屬性，首先應(yīng)根據(jù)平均值的定義取平均。如果物理學(xué)中的變量是離散型的，那么它的平均值可定義為：X=*^2，這實(shí)際i上就是前面所介紹的加權(quán)平均。_』X2（X）dX如果物理學(xué)中變量是連續(xù)型的，那么它的平均值定義為：Y=XX_X，這里被平2 1均的量Y（X）是自變量X的函數(shù)。在中學(xué)物理中這個(gè)積分的結(jié)果的一般表述形式可以寫成Y=券’即平均值就是積累量對(duì)自變量變化的比值。實(shí)際上很多物理量的平均值都是以這種方式給出的，如平均速度：V=蕓，平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=學(xué)等。這種情況告訴我們，在取平均值時(shí)要強(qiáng)調(diào)平均值的屬性和數(shù)學(xué)處理方法，在求平均值時(shí)要強(qiáng)調(diào)平均量、積累量和自變量三者間的關(guān)系，即強(qiáng)調(diào)平均的定義和性質(zhì)，不能憑經(jīng)驗(yàn)處理，否則極易發(fā)生錯(cuò)誤。_ 1 1例如，求平均動(dòng)能不能直接根據(jù)氣弓伸2,而必須從定義萬(wàn)伸2出發(fā)，因?yàn)椤?和V2實(shí)際上并不等價(jià)；求平均功率時(shí)，也不能根據(jù)P=FV計(jì)算。這是由于平均物理量與一般物理量不同，不能將適用于一般物理量的關(guān)系式隨意推廣到平均物理量。濫用算術(shù)平均也是求證時(shí)常犯的一種錯(cuò)誤，其實(shí)算術(shù)平均只適用于被平均的量是線性函數(shù)的情況，而在大量的實(shí)際問(wèn)題中，被平均的量往往都是非線性的。例如：?jiǎn)螖[擺球在14…,_1 一，—、-，，周期內(nèi)平均速率，矩形線圈在有周期內(nèi)的平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等，這些都不是算術(shù)平均。49.3.2對(duì)什么平均物理問(wèn)題的性質(zhì)決定了物理量的平均值的不同求法。一個(gè)物理量在確定的范圍內(nèi)的平均值，取不同的權(quán)重時(shí)，可能有不同的結(jié)果。例如，對(duì)加速度取平均，如果以時(shí)間為權(quán)重，應(yīng)有：_at+at+???+at AV+AV+???+AVV—Va= 2^2 nn=1 2 = 01 2如果以位移為權(quán)重，應(yīng)有：as+asH Fas-^4 M r^~n~TOC\o"1-5"\h\zs+sF Fs(v2-V2) (v2-V2) (v2-V2)1 0 + 2 1 +...n n-12 2 2V2-V2=—n 02s這里的匕和as是有區(qū)別的，它們使用的場(chǎng)合也不盡相同。兩種加速度在勻變速直線運(yùn)動(dòng)中是等價(jià)的但對(duì)于一般有恒定規(guī)律的非勻變速運(yùn)動(dòng)就不一樣了。與此類似，對(duì)于平均力的計(jì)算，也存在同樣的問(wèn)題。若物體在變力作用下沿受力方向由位置I運(yùn)動(dòng)到位置II,速度由V]變到V2,經(jīng)過(guò)的時(shí)間為Z，則:fF(t)dt^mVTOC\o"1-5"\h\z力對(duì)時(shí)間的平均：F=A =—tt—t At\o"CurrentDocument"2 ]fF(x^dxW力對(duì)空間的平均：F=s =-\o"CurrentDocument"sx-x Ax前者是力對(duì)時(shí)間的積累效應(yīng)，是從沖量的角度計(jì)算平均力的；而后者是力對(duì)空間累積效應(yīng)，是從功的角度計(jì)算平均力的，二者不可混為一談。9.3.3在什么區(qū)間內(nèi)平均任何一個(gè)