上海魯?shù)V第一中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

上海魯?shù)V第一中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.過橢圓+=1（a＞b＞0）的左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于點P，F(xiàn)2為右焦點，若∠F1PF2=60°，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】把x=﹣c代入橢圓方程求得P的坐標(biāo)，進而根據(jù)∠F1PF2=60°推斷出=整理得e2+2e﹣=0，進而求得橢圓的離心率e．【解答】解：由題意知點P的坐標(biāo)為（﹣c，）或（﹣c，﹣），∵∠F1PF2=60°，∴=，即2ac=b2=（a2﹣c2）．∴e2+2e﹣=0，∴e=或e=﹣（舍去）．故選B．2.如圖1所示，已知四邊形ABCD，EADM和MDCF都是邊長為的正方形，點P是ED的中點，則P點到平面EFB的距離為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B3.若滿足,則直線過定點 (

)

A.

B.

C.

D.參考答案：B略4.等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，則a1＝()參考答案：C.5.方程表示圓，則的取值范圍是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D6.若復(fù)數(shù)=2﹣i其中a，b是實數(shù)，則復(fù)數(shù)a+bi在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：C【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、復(fù)數(shù)相等、幾何意義即可得出．【解答】解：復(fù)數(shù)=2﹣i，其中a，b是實數(shù)，∴a+i=（2﹣i）（b﹣i）=2b﹣1﹣（2+b）i，∴，解得b=﹣3，a=﹣7．則復(fù)數(shù)a+bi在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點（﹣7，﹣3）位于第三象限．故選：C．7.若a∈R，則a=1是復(fù)數(shù)z=a2﹣1+（a+1）i是純虛數(shù)的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C【考點】A2：復(fù)數(shù)的基本概念；2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】當(dāng)a=1時，可以得到復(fù)數(shù)的實部等于0，得到復(fù)數(shù)是一個純虛數(shù)；當(dāng)復(fù)數(shù)是一個純虛數(shù)時，根據(jù)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，得到實部為0且虛部不為0，得到a=1，得到是一個充要條件．【解答】解：∵a=1，∴z=2i∴z是純虛數(shù)z是純虛數(shù)故選C．【點評】本題考查復(fù)數(shù)的概念，考查條件的判斷，是一個基礎(chǔ)題，注意推導(dǎo)充要條件時，從兩個方面入手，本題是一個必得分題目．8.在中，角所對的邊分別為，若，則角的值為（

）A．

B．

C．或

D．或

參考答案：D9.已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，an＋1＝an＋2n，那么a2011的值是A．20112

B．2012×2011

C．2009×2010

D．2010×2011參考答案：D10.已知坐標(biāo)平面上的凸四邊形ABCD滿足=(1，)，=(﹣，1)，那么·的取值范圍是（）A．（﹣1，） B．（﹣1，2] C．[﹣2，0） D．[0，2]參考答案：C【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】根據(jù)向量的模的計算和向量的坐標(biāo)運算得到四邊形ABCD為對角線垂直且相等的四邊形，問題得以解決．【解答】解：∵，∴?=1×（﹣）+×1=0，∴⊥，∴凸四邊形ABCD的面積為AC×BD=×2×2=2，設(shè)AC與BD交點為O，OC=x，OD=y，則AO=2﹣x，BO=2﹣y，則?=（+）（+）=?+?+?+?2﹣=x（x﹣2）+y（y﹣2）=（x﹣1）2+（y﹣1）2﹣2，（0＜x，y＜2）；∴當(dāng)x=y=1時，?=﹣2為最小值，當(dāng)x→0或1，y→0或1時，?接近最大值0，∴?的取值范圍是[﹣2，0）．故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.用6根等長的細(xì)鐵棒焊接成一個正四面體形框架，鐵棒的粗細(xì)和焊接誤差不計設(shè)此框架能容納得下的最大球的半徑為，能包容此框架的最小球的半徑為，則等于

參考答案：解析：

依題意，R1為這個正四面體框架的棱切球半徑，R2為外接球半徑。易知，棱切球的直徑即為正四面體對棱之間的距離；又外接球的半徑為，所以，。12.若不等式ax2﹣bx+2＞0的解集為{x|﹣＜x＜}，則a+b=

．參考答案：﹣10【考點】一元二次不等式的解法．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】由題意和三個二次的關(guān)系可得，解方程組可得．【解答】解：∵不等式ax2﹣bx+2＞0的解集為{x|﹣＜x＜}，∴a＜0且，解得，∴a+b=﹣12+2=﹣10故答案為：﹣10【點評】本題考查一元二次不等式的解集，涉及韋達定理，屬基礎(chǔ)題．13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線ax+y﹣2=0與圓心為C的圓（x﹣1）2+（y﹣a）2=相交于A，B兩點，且△ABC為正三角形，則實數(shù)a的值是．參考答案：0【考點】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】利用點到直線的距離公式可得：圓心C（1，a）到直線ax+y﹣2=0的距離d，由于△ABC為正三角形，可得=cos30°，代入即可得出．【解答】解：圓心C（1，a）到直線ax+y﹣2=0的距離d==．∵△ABC為正三角形，∴=cos30°，∴=×，化為：2a=0，解得a=0．故答案為：0．14.不等式對于任意恒成立的實數(shù)的集合為___________.參考答案：略15.已知點P是橢圓+=1上任一點，那點P到直線l：x+2y﹣12=0的距離的最小值為．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】運用橢圓的參數(shù)方程，設(shè)出點P，再由點到直線的距離公式及兩角和的正弦公式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域，即可得到最小值．【解答】解：設(shè)點P（2cosα，sinα）（0≤α≤2π），則點P到直線x+2y﹣12=0的距離為d==當(dāng)sin（α+30°）=1時，d取得最小值，且為．故答案為：．【點評】本題考查橢圓的方程和運用，考查橢圓的參數(shù)方程的運用：求最值，考查點到直線的距離公式，考查三角函數(shù)的值域，屬于中檔題．16.已知集合，，則=___________．參考答案：17.已知函數(shù)f(x)=ax+a-x(a＞0且a≠1),f(1)=3,則f(0)+f(1)+f(2)的值為___________.參考答案：12f(0)=a0+a0=2,f(1)=a+a-1=3,f(2)=a2+a-2=(a+a-1)2-2=9-2=7.∴f(0)+f(1)+f(2)=12.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某校從參加高二年級學(xué)業(yè)水平測試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績（均為整數(shù)）的頻率分布直方圖如圖所示。（1）畫出頻率分布折線圖；（2）求這次測試數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)；（3）求這次測試數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)；（4）求這次測試數(shù)學(xué)成績的平均分。

參考答案：解析（1）略（2）根據(jù)頻率分布直方圖算出測試成績的眾數(shù)為75；（3）根據(jù)頻率分布直方圖算出測試成績的中位數(shù)；（4）根據(jù)頻率分布直方圖算出測試成績的平均分72．19.（13分）已知函數(shù)f（x）=x2﹣x﹣axlnx（a∈R），g（x）=．（Ⅰ）討論g（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；（Ⅱ）不論a取何值，函數(shù)f（x）與g（x）總交于一定點，求證：兩函數(shù)在此點處的切線重合；（Ⅲ）若a＜0，對于?x1∈[1，e]，總?x2∈[e，e2]使得f（x1）≤g（x2）成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（Ⅰ）求得g（x）的解析式和導(dǎo)數(shù)，對a討論，求出單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）求出定點（1，0），求出f（x）、g（x）的導(dǎo)數(shù)和切線的斜率，即可得證；（Ⅲ）當(dāng)a＜0時，分別判斷f（x），g（x）的導(dǎo)數(shù)的符號，得到單調(diào)性，可得f（x），g（x）的最大值，由f（x）max不大于g（x）max，解a的不等式，即可得到所求范圍．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x2﹣x﹣axlnx（a∈R），g（x）==x﹣1﹣alnx，x＞0，可得g′（x）=1﹣，當(dāng)a≤0時，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）遞增，無極值；當(dāng)a＞0時，x＞a時g′（x）＞0，g（x）在（a，+∞）遞增；0＜x＜a時，g′（x）＜0，g（x）在（0，a）遞減，可得g（x）在x=a處取得極小值，且為a﹣1﹣alna，無極大值；（Ⅱ）證明：由f（x）=x2﹣x﹣axlnx，g（x）=x﹣1﹣alnx，x＞0，可得f（1）=g（1）=0，定點為（1，0），f′（x）=2x﹣1﹣a（1+lnx），g′（x）=1﹣，可得f′（1）=2﹣1﹣a（1+ln1）=1﹣a，g′（1）=1﹣a，即有切線的斜率相等，又它們均過定點（1，0），則兩函數(shù)在此點處的切線重合；（Ⅲ）當(dāng)a＜0時，由f′（x）=2x﹣1﹣a（1+lnx）＞0在[1，e]恒成立，可得f（x）在[1，e]遞增，即有f（e）取得最大值e2﹣e﹣ae；由g′（x）=1﹣＞0在[e，e2]恒成立，可得g（x）在[e，e2]遞增，即有g(shù)（e2）取得最大值e2﹣1﹣2a；由對于?x1∈[1，e]，總?x2∈[e，e2]使得f（x1）≤g