專題14 平面向量及其應(yīng)用A卷-高考數(shù)學(xué)重難點專題

第=page1717頁，共=sectionpages1717頁專題14平面向量及其應(yīng)用A卷一、單選題1.在中，點在邊上，記，，則(

)A. B. C. D.2.已知單位向量，的夾角為，則的最小值為(

)A. B. C. D.3.已知平面向量，滿足，，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為(

)A. B. C. D.4.如圖，在矩形中，，，為上一點，若，則的值為(

)

A. B. C. D.5.圓是中華民族傳統(tǒng)文化的形態(tài)象征，象征著“圓滿”和“飽滿”，是自古以和為貴的中國人所崇尚的圖騰如圖，是圓的一條直徑，且是圓上的任意兩點，，點在線段上，則的取值范圍是(

)A. B. C. D.6.窗花是貼在窗紙或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖是一個正八邊形窗花隔斷，圖是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．已知正八邊形的邊長為，是正八邊形邊上任意一點，則的最大值為(

)A. B. C. D.7.已知，為兩個相互垂直的單位向量，，則的最小值為(

)A. B. C. D.8.已知，為單位向量，且，若，則，(

)A. B. C. D.二、多選題9.已知，，則(

)A.若，則

B.若，則

C.的最小值為

D.若向量與向量的夾角為鈍角，則10.如圖所示在中，點是線段的中點，且，和交于點，則(

)A.

B.

C.

D.若，則．三、填空題11.如圖是第屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，它是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的．大正方形是由個全等的直角三角形和中間的小正方形組成的．若大正方形的邊長為，為線段的中點，則

．12.如圖，，，是全等的等腰直角三角形處為直角頂點，且，，，四點共線若點，，分別是邊，，上的動點包含端點，則

，的取值范圍為

．13.已知圓的半徑為，為圓內(nèi)一點，，，為圓上任意兩點，則的取值范圍是

．14.已知，為拋物線：上異于原點的兩點，為拋物線的焦點，點為平面內(nèi)一點，且，，則

．15.在平面直角坐標(biāo)系中，為直線：上在第一象限內(nèi)的點，，以為直徑的圓與直線交于另一點若，則點的橫坐標(biāo)為

．四、解答題16.如圖，已知正方形的邊長為，過中心的直線與兩邊分別交于交于點．

求的值；

若是的中點，求的取值范圍；

若是平面上一點，且滿足，求的最小值．17.在中，角，，所對的邊分別為，，，且滿足．

求角

已知，，點為的中點，點在線段上且，點為與的交點，求的余弦值．18.在中，周長為，面積為，且．求邊的長度；若動點是的內(nèi)切圓上的一點，且．求的值；求的取值范圍．

答案和解析1.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查向量的加減及數(shù)乘運算，屬于基礎(chǔ)題．【解答】解：，．

2.【答案】

【解析】【分析】本題考查向量數(shù)量積的性質(zhì)以及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意，由數(shù)量積的性質(zhì)可得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得的最小值．【解答】解：根據(jù)題意，單位向量，的夾角為，則，

則，

則，即的最小值為．

故選C．

3.【答案】

【解析】【分析】本題考查投影向量，向量的數(shù)量積，平面向量的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題．

設(shè)向量，的夾角為，由利用向量數(shù)量積求出，再由投影向量公式可得．【解答】解：設(shè)向量，的夾角為，，，

所以，

從而在上的投影向量的坐標(biāo)為．

4.【答案】

【解析】【分析】本題考查了平面向量的基本定理及其應(yīng)用、平面向量的坐標(biāo)運算．

由題意建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)運算可得關(guān)于、的方程組，解之即可．【解答】解：由題意建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

因為，，則，，．設(shè)，則，，因為，所以，解得，由，得，所以

解得，所以．

故選C．

5.【答案】

【解析】【分析】本題考查向量的數(shù)量積的概念及其運算，屬于中檔題．

設(shè)為圓心，連接，根據(jù)數(shù)量積的運算律得到，根據(jù)點在線段上，即可求出的取值范圍，即可得解．【解答】解：如圖，

為圓心，連接，則．因為點在線段上且，則圓心到線段的距離為，所以，所以，則，即的取值范圍是．故選B．

6.【答案】

【解析】【分析】本題考查平面向量的加法運算，向量數(shù)量積的概念及其運算，屬于中檔題．

取的中點，，當(dāng)點與點或點重合時，取得最大值，再求解即可．【解答】解：取的中點，則

，

當(dāng)點與點或點重合時，取得最大值，且最大值為，

故的最大值為．

故選D．

7.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運算，兩點間距離公式，屬于中檔題．

不妨設(shè)，，則，利用求模公式以及兩點之間，線段最短求解出最小值．【解答】解：不妨設(shè)，

，則，

，

，，

故

當(dāng)且僅當(dāng)或時等號成立，

即的最小值為，

故選B．

8.【答案】

【解析】【分析】本題考查向量的夾角、向量的數(shù)量積、單位向量的定義，屬于基礎(chǔ)題．

本題借助，將代入化簡即可．【解答】解：因為是單位向量，所以，

因為，，

所以

，

所以

．

故選C．

9.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查向量的坐標(biāo)運算，向量平行、垂直和向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題．

直接利用向量的共線，向量的模，向量的數(shù)量積，向量的夾角的應(yīng)用判斷各選項的正誤．【解答】解：由，得，不正確

由，，，B正確

，當(dāng)時，取得最小值，C正確

當(dāng)時，即，得，當(dāng)與反向時，，

故若向量與向量的夾角為鈍角，則或，不正確．

10.【答案】

【解析】【分析】本題考查了利用向量的數(shù)量積證明等式，屬于中檔題?！窘獯稹拷猓哼x項，

選項，，故C選項正確．

選項，，故D選項正確．

11.【答案】

【解析】【分析】本題考查向量數(shù)量積．

由已知求出，由向量數(shù)量積運算得即可．【解答】解：設(shè)，由題可得，所以，故．

即，

故，

故答案為．

12.【答案】

【解析】【分析】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及直線方程的運用，考查化簡運算能力，屬于中檔題．

由

，以所在直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，可得由直線方程可得，，，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，可得所求大小關(guān)系．【解答】解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，

可得

，，的方程設(shè)為，，，

則可設(shè)，，，，

，

．

故答案為：；．

13.【答案】

【解析】【分析】本題考查了向量的數(shù)量積和二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用問題，也考查了運算求解能力，是中檔題．

根據(jù)平面向量的數(shù)量積和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)果．【解答】解：

，

易知，

，的取值范圍是．

14.【答案】

【解析】【分析】本題考查向量與拋物線的綜合問題，向量的數(shù)量積運算以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于中檔題．

根據(jù)向量的數(shù)量積公式，分別作，垂直于拋物線的準(zhǔn)線，設(shè)，然后結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進行求解即可．【解答】解：因為，所以為的中點，

，所以．

如圖，分別作，垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足分別為，，

則，，又，

所以設(shè)，則，

，則，即又，所以解得

，，所以．

15.【答案】

【解析】【分析】本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查圓的方程的求法，是中檔題．

設(shè)，，求出的坐標(biāo)，得到圓的方程，聯(lián)立直線方程與圓的方程，求得的坐標(biāo)，結(jié)合求得值得答案．【解答】解：設(shè)，，

，，

則圓的方程為．

聯(lián)立，解得．

．

解得：或．

又，．

即的橫坐標(biāo)為．

故答案為：．

16.【答案】解：由正方形可得，所以；因為直線過中心且與兩邊分別交于交于點．

所以為中點，

所以．

因為是的中點，所以，

所以，即的取值范圍為；

令，由知點在上，又因為為中點，

所以，從而，

因為，

所以，即的最小值為

【解析】本題考查向量的數(shù)量積，向量的基本運算，向量的模，向量共線的判定與證明，向量的幾何運用，屬于中檔題．

將向量分解為，利用垂直和數(shù)量積的運算即可求解；

由為中點可得，再由和的范圍計算即可；

令，由向量共線的判斷可得點在上，即可得的范圍，再由結(jié)合的范圍計算即可．

17.【答案】解：，

由正弦定理可得

即

化簡得：，又，

即得，可得，

又為三角形內(nèi)角，

即．

點為的中點

，

，，即的余弦值為．

【解析】本題考查了正弦定理、三角恒等變換、向量的運算、向量的夾角公式等知識，屬中檔題．

18.【答案】解：在中，，可知，

因此根據(jù)題意，可知，

，即，

由余弦定理可得，

消去，，可得，即．

由，，可得，，或者，，

不妨設(shè)，，

由于為的內(nèi)心，設(shè)，

即，

化簡得，

不妨設(shè)，

即

化簡得，

根據(jù)對應(yīng)系數(shù)成比例，可知，解得：，

從而

由可知，

，