計(jì)數(shù)原理 課件

第一章計(jì)數(shù)原理章末高效整合知能整合提升1．兩個計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理定義完成一件事有n類不同方案，每一類方案中分別有m1，m2，…，mn種不同的方法，則完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法完成一件事需要n個步驟，做每一個步驟分別有m1，m2，…，mn種不同的方法，則完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法共同點(diǎn)回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法的總數(shù)問題區(qū)別針對的是“分類”問題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事針對的是“分步”問題，各步中的方法互相依存，只有各步都完成才算做完這件事注意點(diǎn)分類要做到“不重不漏”分步要做到“步驟完整”2.排列與組合概念及公式(1)定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，若按照一定的順序排成一列，則叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列；若合成一組，則叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．即排列和順序有關(guān)，組合與順序無關(guān)．3．排列與組合的應(yīng)用(1)認(rèn)真分析題目的條件和結(jié)論，明確“完成一件事”的具體含義，及完成這件事需要“分類”還是“分步”，還要搞清楚問題的解決與“順序”有無關(guān)系，以確定是排列問題還是組合問題，解題時，可以借助示意圖，表格等．(2)常用解題策略如下：①包含特殊元素或特殊位置的問題，采用優(yōu)先法，即先考慮特殊元素或特殊位置，特殊位置對應(yīng)“排”與“不排”問題，特殊元素對應(yīng)“在”與“不在”問題．②某些元素要求“相鄰”的問題，采用捆綁法，即將要求“相鄰”的元素捆綁為一個元素，注意內(nèi)部元素是否有序．③某些元素要求“不相鄰”的問題，采用插空法，即將要求“不相鄰”的元素插入其他無限制條件的元素之間的空位或兩端．④直接計(jì)數(shù)困難的問題，采用間接法，即從方法總數(shù)中減去不符合條件的方法數(shù)．⑤排列和組合的綜合題，采用“先組后排”，即先選出元素，再排序．

[說明]

①二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是不同的概念，前者只與項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而后者還與a，b的取值有關(guān)．②運(yùn)用通項(xiàng)求展開式的特定值(或特定項(xiàng)的系數(shù))，通常先由題意列方程求出r，再求所需的項(xiàng)(或項(xiàng)的系數(shù))．

[說明]

與二項(xiàng)展開式各項(xiàng)系數(shù)的和或差有關(guān)的問題，一般采用賦值法求解．熱點(diǎn)考點(diǎn)例析兩個計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用點(diǎn)撥：基本原理提供了“完成某件事情”是“分類”進(jìn)行，還是“分步”進(jìn)行．在分類或分步中，針對具體問題考慮是與“順序”有關(guān)，還是無關(guān)，來確定排列與組合．

有3封信，4個信簡．(1)把3封信都寄出，有多少種寄信方法？(2)把3封信都寄出，且每個信簡中最多一封信，有多少種寄信方法？[思維點(diǎn)擊]

本題關(guān)鍵是要搞清楚以“誰”為主研究問題．解決這類問題，切忌死記公式，應(yīng)清楚哪類元素必須應(yīng)該用完，就以它為主進(jìn)行分析，再用分步計(jì)數(shù)原理求解．1．有7名女同學(xué)和9名男同學(xué)，組成班級乒乓球混合雙打代表隊(duì)，共可組成(

)A．7隊(duì) B．8隊(duì)C．15隊(duì) D．63隊(duì)解析：由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知共可組成7×9＝63隊(duì)．答案：D2.如圖，用6種不同的顏色把圖中A，B，C，D四塊區(qū)域分開，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有(

)A．400種 B．460種C．480種 D．496種解析：從A開始，有6種方法，B有5種，C有4種，D，A同色1種，D，A不同色3種，∴不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480種，故選C.答案：C點(diǎn)撥：解決排列組合應(yīng)用題的處理方法與策略①特殊元素優(yōu)先安排的策略；②合理分類和準(zhǔn)確分步的策略；③排列、組合混合問題先選后排的策略；④正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略；⑤相鄰問題捆綁處理的策略；⑥不相鄰問題插空處理的策略；排列組合應(yīng)用題的處理方法與策略⑦定序問題除法處理的策略；⑧分排問題直排處理的策略；⑨“小集團(tuán)”排列問題中先整體后局部的策略；⑩構(gòu)造模型的策略．特別提醒：分析題目條件，避免“選取”時重復(fù)和遺漏．

用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則其中數(shù)字2,3相鄰的偶數(shù)有________個．(用數(shù)字作答)[思維點(diǎn)擊]

“個位”是特殊位置或“偶數(shù)數(shù)字”是特殊元素，應(yīng)優(yōu)先考慮．3．甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有(

)A．36種 B．30種C．12種 D．6種4．從1,3,5,7,9五個數(shù)字中選2個，0,2,4,6,8五個數(shù)字中選3個，能組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？

點(diǎn)撥：

1.區(qū)分“項(xiàng)的系數(shù)”與“二項(xiàng)式系數(shù)”．項(xiàng)的系數(shù)與a，b有關(guān)，可正可負(fù)，二項(xiàng)式系數(shù)只與n有關(guān)，恒為正．2．切實(shí)理解“常數(shù)項(xiàng)”、“有理項(xiàng)(字母指數(shù)為整數(shù))”、“系數(shù)最大的項(xiàng)”等概念．二項(xiàng)式定理3．求展開式中的指定項(xiàng)，要把該項(xiàng)完整寫出，不能僅僅說明是第幾項(xiàng)．4．賦值法求展開式中的系數(shù)和或部分系數(shù)和，常賦的值為0，±1.5．在化簡求值時，注意二項(xiàng)式定理的逆用，要用整體思想看待a，b.

[思維點(diǎn)擊]

本題各項(xiàng)系數(shù)的變化，除注意負(fù)號外，還要注意i的運(yùn)算性質(zhì)，各項(xiàng)系數(shù)的絕對值為二項(xiàng)式系數(shù)．5．設(shè)(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，則a0，a1，…，a8中奇數(shù)的個數(shù)為(

)A．2 B．3C．4 D．51．書架上有不同的語文書10本，不同的英語書7本，不同的數(shù)學(xué)書5本，現(xiàn)從中任選一本閱讀，不同的選法有(

)A．22種 B．350種C．32種 D．20種解析：由分類加法計(jì)數(shù)原理得，不同的選法有10＋7＋5＝22種．答案：A2．一排9個座位坐了3個三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為(

)A．3×3! B．3×(3！)3C．(3！)4 D．9!解析：把一家三口看作一個排列，然后再排列這3家，所以有(3！)4種．答案：C3．(2013·山東卷)用0,1，…，9十個數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為(

)A．243 B．252C．261 D．279解析：能夠組成三位數(shù)的個數(shù)是9×10×10＝900，能夠組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)是9×9×8＝648，故能夠組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)是900－648＝252.答案：B4．3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是(

)A．360 B．288C．216 D．967．某校高中部，高一有6個班，高二有7個班，高三有8個班，學(xué)校利用星期六組織學(xué)生到某廠進(jìn)行社會實(shí)踐活動．(1)任選1個班的學(xué)生參加社會實(shí)踐，有多少種不同的選法？(2)三個年級各選1個班的學(xué)生參加社會實(shí)踐，有多少種不同的選法？(3)選2個班的學(xué)生參加社會實(shí)踐，要求這2個班不同年級，有多少種不同的選法？解析：(1)分三類：第一類從高一年級選1個班，有6種不同方法；第二類從高二年級選1個班，有7種不同方法；第三類從高三年級選1個班，有8種不同方法．由分類計(jì)數(shù)原理可得，共有6＋7＋8＝21種不同的選法．(2)每種選法分三步：第一步從高一年級選1個班，有6種不同方法；第二步從高二年級選1個班，有7種不同方法；第三步從高三年級選1個班，有8種不同方法．由分步計(jì)數(shù)原理，共有6×7×8＝336種不同的選法．(3)分三類，每類又分兩步．第一類從高一、高二兩個年級各選1個班，有6×7種不同方法；第二類從高一、高三兩個年級各選1個班，有6×8種不同方法；第三類從高二、高三年級各選一個班，有7×8種不同的方法，故共有6×7＋6×8＋7×8＝146種不同選法．8．設(shè)(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，求下列各式的值．(1)a0＋a1＋a2＋…＋a10；(2)a6.1．(2014·福建卷)用a代表紅球，b代表藍(lán)球，c代表黑球．由加法原理及乘法原理，從1個紅球和1個藍(lán)球中取出若干個球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展開式1＋a＋b＋ab表示出來，如：“1”表示一個球都不取，“a”表示取出一個紅球，而“ab”則表示把紅球和藍(lán)球都取出來．依此類推，下列各式中，其展開式可用來表示從5個無區(qū)別的紅球、5個無區(qū)別的藍(lán)球、5個有區(qū)別的黑球中取出若干個球，且所有的藍(lán)球都取出或都不取出的所有取法的是(

)A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)解析：運(yùn)用加法原理與乘法原理的基本方法(窮舉法)解決．由題意可知：5個無區(qū)別的紅球取出若干球可表示為1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5；5個無區(qū)別的藍(lán)球都取出或都不取出可表示為1＋b5；5個有區(qū)別的黑球取出若干球可表示為(1＋c)(1＋c)(1＋c)(1＋c)(1＋c)＝(1＋c)5.由乘法原理可得所有取法可表示為(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)·(1＋c)5.故選A.答案：A2．(2014·北京卷)把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有________種．3．(2014·福建卷)若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四個關(guān)系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4.有且只有一個是正確的，則符合條件的有序數(shù)組(a，b，c，d)的個數(shù)是________．解析：運(yùn)用集合和排列組合的有關(guān)知識解題．由題意知①②③④中有且只有一個正確，其余三個均不正確，下面分類討論滿足條件的有序數(shù)組(a，b，c，d)的個數(shù)：(1)若①正確，即a＝1，則②，③，④都錯誤，即b＝1，c≠2，d＝4.其中a＝1與b＝1矛盾，顯然此種情況不存在；(2)若②正確，即b≠1，則①，③，④都錯誤，即a≠1，c≠2，d＝4，則當(dāng)b＝2時，有a＝3，c＝1；當(dāng)b＝3時，有a＝2，c＝1，此時有2種有序數(shù)組．(3)若③正確，即c＝2，則①，②，④都錯誤，即a≠1，b＝1，d＝4，則a＝3，即此種情況有1種有序數(shù)組．(4)若④正確，即d≠4，則①，②，③都錯誤，即a≠1，b＝1，c≠2，則當(dāng)d＝2時，有a