三角恒等變換難

三角恒等變換、基本內(nèi)容1．兩角和與差的正弦、余弦和正切公式sin(asin(a±P)=sinacosP±cosasinP；cos(a±P)=cosacosPsinasinP；tana±tanPtan(a±P)=1tanatanP對(duì)正切的和角公式有其變形：tana+tanB=tan（a+B）（1-tanatanB），有時(shí)應(yīng)用該公式比較方便。2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2a=sinacosa. cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a.2tanatan2a= .1-tan2a要熟悉余弦“倍角”與“二次”的關(guān)系（升角—降次，降角—升次）.特別注意公式的三角表達(dá)形式，且要善于變形，cos2角表達(dá)形式，且要善于變形，cos2a二1+cos2a . 1—cos2a , sin2a二 這兩個(gè)形式常用。3．簡(jiǎn)單的三角恒等變換（1）變換對(duì)象：角、名稱和形式，三角變換只變其形，不變其質(zhì)。（2）變換目標(biāo)：利用公式簡(jiǎn)化三角函數(shù)式，達(dá)到化簡(jiǎn)、計(jì)算或證明的目的。（1）變換對(duì)象：角、名稱和形式，三角變換只變其形，不變其質(zhì)。（2）變換目標(biāo)：利用公式簡(jiǎn)化三角函數(shù)式，達(dá)到化簡(jiǎn)、計(jì)算或證明的目的。變換依據(jù)：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。變換依據(jù)：（4）變換思路：明確變換目標(biāo)，選擇變換公式，設(shè)計(jì)變換途徑。二、考點(diǎn)闡述考點(diǎn)1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式。1、sin20cos40+cos20sin40的值等于( )1A.1A.41C.2<3D.T2、若2、若tana=34tanP=-，則tan(a-P)等于( )-331-313考點(diǎn)2-331-313考點(diǎn)2二倍角的正弦、余弦、正切公式3、cos—cos5A.142兀三的值等于（5B．C.2D.44、42574、42572512C2524D.25八，兀 ，3 .一已知0<A<-，且cosA=-，那么sin2A等于( )考點(diǎn)3運(yùn)用相關(guān)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角恒等變換2兀、1 ,兀、5、已知tan(a+p)=-,tan(p--)=,則tan(a+-)的值等于

5 44 45、13(A)183(B)右2213(C)—223(D)1866、已知sina+sinP=—,cosa+cosP=-,則cos似一P)值等于237、1759109(A)-— (B)-— (C)-—(D)--12 18 72 72兀、?，兀、函數(shù)f(x)=cos2(x-)+sin2(x+)-1是()A乙 A乙(A)周期為2兀的奇函數(shù)(B)周期為2兀的偶函數(shù)(C)周期為兀的奇函數(shù)(D)周期為兀的偶函數(shù)三、解題方法分析1.熟悉三角函數(shù)公式，從公式的內(nèi)在聯(lián)系上尋找切入點(diǎn)【方法點(diǎn)撥】三角函數(shù)中出現(xiàn)的公式較多，要從角名稱、結(jié)構(gòu)上弄清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，做到真正的理解、記熟、用活。解決問(wèn)題時(shí)究竟使用哪個(gè)公式，要抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，善于聯(lián)想，靈活運(yùn)用。1例1設(shè)a--cos1例1設(shè)a--cos62-——sin6,b , ,則有(2 1+tan2l3 2cos25A.a>b>c B.a<b<c C.a<c<b D.b<C<a2．明確三角恒等變換的目的，從數(shù)學(xué)思想方法上尋找突破口三角恒等變換是三角函數(shù)與平面向量這兩章的延續(xù)與發(fā)展，三角變換只變其形，不變其質(zhì)，它可以揭示有些外形不同但實(shí)質(zhì)相同的三角函數(shù)式之間的內(nèi)在聯(lián)系，幫助我們達(dá)到三角恒等變換的目的。(1)運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，實(shí)現(xiàn)三角恒等變換'【方法點(diǎn)撥】教材中兩角和與差的正、余弦公式以及二倍角公式的推導(dǎo)都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，應(yīng)用該思想能有效解決三角函數(shù)式化簡(jiǎn)、求值、證明中角、名稱、形式的變換問(wèn)題。n 3n 12 3例2.已知—<0<a< ,cos(a-0)二百,sin(a+B)=-5,求sin2a的值.

例3.化簡(jiǎn)：［2sin500+sin10°(1+v3tan10°)l?Jsin280。.(2)運(yùn)用函數(shù)方程思想，實(shí)現(xiàn)三角恒等變換【方法點(diǎn)撥】三角函數(shù)也是函數(shù)中的一種，其變換的實(shí)質(zhì)仍是函數(shù)的變換。因此，有時(shí)在三角恒等變換中，可以把某個(gè)三角函數(shù)式看作未知數(shù)，利用條件或公式列出關(guān)于未知數(shù)的方程求解。3 ,tan(a+B)-tana—tanB,例4：已知sin(a+夕)=—,sin(a一B)=—，求 x 的 的值.。4 tan2P-tan(a+B)(3)運(yùn)用換元思想，實(shí)現(xiàn)三角恒等變換【方法點(diǎn)撥】換元的目的就是為了化繁為簡(jiǎn)，促使未知向已知轉(zhuǎn)化，可以利用特定的關(guān)系，把某個(gè)式子用新元表示，實(shí)行變量替換，從而順利求解，解題時(shí)要特別注意新元的范圍。例5：若sina例5：若sina+sinB=B的取值范圍。——,求cosa+cos23．關(guān)注三角函數(shù)在學(xué)科內(nèi)的綜合，從知識(shí)聯(lián)系上尋找結(jié)合點(diǎn)(學(xué)生嘗試)【方法點(diǎn)撥】三角函數(shù)在學(xué)科內(nèi)的聯(lián)系比較廣泛，主要體現(xiàn)在與函數(shù)、平面向量、解析幾何等知識(shí)的聯(lián)系與綜合，特別是與平面向量的綜合，要適當(dāng)注意知識(shí)間的聯(lián)系與整合。例6：已知：向量a=(v13,-1),b=(sin2x,cos2x)，函數(shù)f(x)=a-b例6：(1)若(1)若f(x)=0且0<x<兀，求x的值;(2)求函數(shù)f(x)取得最大值時(shí)，向量a與b的夾角.四、作業(yè)1.sin165°=( )121.sin165°=( )12TC．<6+.：2""4-D．11D.--22.sin140cos160+sin760cos74°的值是(/兀八、3.已知xe(-—,0),乙4cosx=5，則Utan2x=(A.工24B._7_-24C.2474.化簡(jiǎn)2sin(n—x)4?sin(-+x)，其結(jié)果是(4A.sin2xB.cos2xC.—cos2xD.－sin2x5.sin——v'3cos—的值是5兀sin——12) A.0B.D.6.1-tan275° 的值為tan75°A.2<32V3B.亍C.-2v13D.2V3丁7.03若cos2=5,sin—=24,則角0的終邊一定落在直線(5)上。A.7x+24>=0B.7x-24y=0C.24x+7y=0D.24x-7y=011—tan15。1+tan15。cosQ+P)cosP+sinQ+P)sinP二10.tan20+tan40+<3tan20tan40的值是 11.求證：卡%二泊.

cot tan—12.已知tan2a=3，求tana的值.13.已知0<x<?,sin(:—x)=-5,求'os2' 的值。4 4 13 /兀?、cosj+x)14.44日、.4A7 5sinA+4cosA，…右Ae(0,兀)，且si