微積分課件及其答案-第3章

3.4隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)1.隱函數(shù)的導數(shù)2.對數(shù)求導法4.相關(guān)變化率3.由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)若由方程可確定

y

是

x

的函數(shù),由表示的函數(shù),稱為顯函數(shù).例如,可確定顯函數(shù)可確定

y

是

x

的函數(shù),但此隱函數(shù)不能顯化.函數(shù)為隱函數(shù).則稱此隱函數(shù)求導方法:

兩邊對

x

求導(注意

y=y(x))(含導數(shù)

的方程)1.隱函數(shù)的導數(shù)

復合函數(shù)求導法則,注意例解1將方程兩邊對x求導,得解2將方程兩邊求微分,得例

雖然隱函數(shù)沒解出來,但它的導數(shù)求出來了,當然結(jié)果中仍含有變量y.允許在的表達式中含有變量y.一般來說,隱函數(shù)求導,解切線方程法線方程通過原點.練一練例解將上面方程兩邊再對解確定,練一練2.對數(shù)求導法作為隱函數(shù)求導法的一個簡單應用,介紹(1)許多因子相乘除、乘方、開方的函數(shù).對數(shù)求導法,它可以利用對數(shù)性質(zhì)使某些函數(shù)的求導變得更為簡單.適用于方法先在方程兩邊取對數(shù),--------對數(shù)求導法

然后利用隱函數(shù)的求導法求出導數(shù).在對數(shù)求導的過程中，允許不加絕對值注例解等式兩邊取對數(shù)得例解1等式兩邊取對數(shù)得解2解1等式兩邊取對數(shù)得練一練解2例解兩邊取對數(shù)兩邊對x求導解練一練解3.由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)例如消去參數(shù)問題:消參困難或無法消參如何求導?由復合函數(shù)及反函數(shù)的求導法則得t例解

所求切線方程為

參數(shù)方程所確定的函數(shù),它的導數(shù)仍用參數(shù)t表示的，所以依然看成參數(shù)方程所確定的函數(shù).拋射體運動軌跡的參數(shù)方程為求拋射體在時刻

t

的運動速度的大小和方向.

解水平速度為垂直速度為故速度大小速度方向(即軌跡的切線方向):設(shè)

為切線傾角,則例拋射體軌跡的參數(shù)方程水平速度垂直速度拋射角為達到最高點的時刻高度落地時刻拋射最遠距離速度的方向(即

t=0)設(shè)由方程確定函數(shù)求方程組兩邊對t

求導,得解練一練例解將曲線的極坐標方程轉(zhuǎn)換成則曲線的切線斜率為所以法線斜率為又切點為故法線方程為即參數(shù)方程如:注求二階導數(shù)不必死套公式,只要理解其含義,這樣對求更高階的導數(shù)也容易處理.例解4.相關(guān)變化率之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為相關(guān)變化率例解(1)(2)仰角增加率(3)相關(guān)變化率解法三步驟找出相關(guān)變量的關(guān)系式對t求導相關(guān)變化率求出未知的相關(guān)變化率之間的關(guān)系式

代入指定時刻的變量值及已知變化率,(1)(2)(3)水面例解橋面20mxy(1)在此人的正下方有一條小船以的速度在與橋垂直的方向航行,求經(jīng)5s后,人與小船相分離的速度.對t求導(2)(3)解練一練設(shè)自開始充氣以來的時間t,解體積為在t時刻氣體的半徑為設(shè)氣體以100立方厘米/秒的速度注入球狀的氣球,求在半徑為10厘米時,氣球半徑增加的速率(假定氣體壓力不變).氣球半徑與體積的關(guān)系練一練小結(jié)1.隱函數(shù)求導法:利用復合函數(shù)求導法則,將方程兩邊對x求導，并注意到其中變量y是x的函數(shù).2.參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導法:3.相關(guān)變化率:

利用復合函數(shù)求導法則，通過函數(shù)關(guān)系確定兩個相互依賴的變化率之間的關(guān)系,作業(yè)：P751(6)(8)，2(1)，3(2),45(4)，6(1)(6)，7(2)8(1),9(3)(4),11,12,18拓展思考題求螺線在對應于的點處的切線方程.解

化為參數(shù)方程當時對應點斜率∴切線方程為思考題思考題解答不對．思考題(是非題)正確解答試問對嗎?非解練一練解等式兩邊取對數(shù)練一練解2（微分思想）——（以直代曲）設(shè)自開始充氣以來的時間t,解1體積為在t時刻氣體的半徑為練一練設(shè)自開始充氣以來的解2體積為t時刻氣體的半徑為練一練例解可由切線的斜率來反映.即解練一練對冪指函數(shù)可用對數(shù)求導法求導:按指數(shù)函數(shù)求導公式按冪函數(shù)求導公式一般地注意例解3例解1試求當容器內(nèi)水有一底半徑為

Rcm,高為

hcm的圓錐容器,今以