2022屆天津市和平區(qū)天津一中高三第六次模擬考試數(shù)學試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知非零向量，滿足，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解:2．直三棱柱中，，，則直線與所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．3．對兩個變量進行回歸分析，給出如下一組樣本數(shù)據(jù)：，，，，下列函數(shù)模型中擬合較好的是（）A． B． C． D．4．復數(shù)的共軛復數(shù)為（）A． B． C． D．5．已知集合，則（）A． B．C． D．6．某學校組織學生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為，若低于60分的人數(shù)是18人，則該班的學生人數(shù)是（）A．45 B．50 C．55 D．607．設直線過點，且與圓：相切于點，那么（）A． B．3 C． D．18．已知，則的大小關系為（）A． B． C． D．9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的值為8，則框圖中①處可以填（）．A． B． C． D．10．已知函數(shù)，當時，的取值范圍為，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．11．如圖所示的程序框圖，若輸入，，則輸出的結果是（）A． B． C． D．12．過雙曲線的右焦點F作雙曲線C的一條弦AB，且，若以AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的左頂點，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C．2 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．，則f（f（2））的值為____________．14．已知是定義在上的偶函數(shù)，其導函數(shù)為．若時，，則不等式的解集是___________．15．下圖是一個算法的流程圖，則輸出的x的值為_______．16．在三棱錐中，三條側棱兩兩垂直，，則三棱錐外接球的表面積的最小值為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線交于、兩點，求的面積.18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，為正三角形，平面平面分別是的中點.（1）證明:平面（2）若，求二面角的余弦值.19．（12分）的內角所對的邊分別是，且，.（1）求；（2）若邊上的中線，求的面積.20．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）設，求不等式的解集；（2）已知，且的最小值等于，求實數(shù)的值.21．（12分）已知函數(shù)，它的導函數(shù)為．（1）當時，求的零點；（2）當時，證明：．22．（10分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；（2）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若滿足，，，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

根據(jù)向量的數(shù)量積運算，由向量的關系，可得選項.【詳解】，，∴等價于，故選：C.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算和命題的充分、必要條件，屬于基礎題.2．A【解析】

設，延長至，使得，連，可證，得到（或補角）為所求的角，分別求出，解即可.【詳解】設，延長至，使得，連，在直三棱柱中，，，四邊形為平行四邊形，，（或補角）為直線與所成的角，在中，，在中，，在中，，在中，，在中，.

故選：A.【點睛】本題考查異面直線所成的角，要注意幾何法求空間角的步驟“做”“證”“算”缺一不可，屬于中檔題.3．D【解析】

作出四個函數(shù)的圖象及給出的四個點，觀察這四個點在靠近哪個曲線．【詳解】如圖，作出A，B，C，D中四個函數(shù)圖象，同時描出題中的四個點，它們在曲線的兩側，與其他三個曲線都離得很遠，因此D是正確選項，故選：D．【點睛】本題考查回歸分析，擬合曲線包含或靠近樣本數(shù)據(jù)的點越多，說明擬合效果好．4．D【解析】

直接相乘，得，由共軛復數(shù)的性質即可得結果【詳解】∵∴其共軛復數(shù)為.故選：D【點睛】熟悉復數(shù)的四則運算以及共軛復數(shù)的性質.5．C【解析】

由題意和交集的運算直接求出.【詳解】∵集合，∴.故選:C.【點睛】本題考查了集合的交集運算.集合進行交并補運算時，常借助數(shù)軸求解.注意端點處是實心圓還是空心圓.6．D【解析】

根據(jù)頻率分布直方圖中頻率＝小矩形的高×組距計算成績低于60分的頻率，再根據(jù)樣本容量求出班級人數(shù).【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖，得：低于60分的頻率是（0.005+0.010）×20＝0.30，∴樣本容量（即該班的學生人數(shù)）是60（人）.故選：D.【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的應用問題，也考查了頻率的應用問題，屬于基礎題7．B【解析】

過點的直線與圓：相切于點，可得.因此，即可得出.【詳解】由圓：配方為，，半徑.∵過點的直線與圓：相切于點，∴；∴；故選：B.【點睛】本小題主要考查向量數(shù)量積的計算，考查圓的方程，屬于基礎題.8．A【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性，可得，再利用對數(shù)函數(shù)的單調性，將與對比，即可求出結論.【詳解】由題知，，則.故選:A.【點睛】本題考查利用函數(shù)性質比較大小，注意與特殊數(shù)的對比，屬于基礎題..9．C【解析】

根據(jù)程序框圖寫出幾次循環(huán)的結果，直到輸出結果是8時.【詳解】第一次循環(huán)：第二次循環(huán)：第三次循環(huán)：第四次循環(huán)：第五次循環(huán)：第六次循環(huán)：第七次循環(huán)：第八次循環(huán)：所以框圖中①處填時，滿足輸出的值為8.故選：C【點睛】此題考查算法程序框圖，根據(jù)循環(huán)條件依次寫出每次循環(huán)結果即可解決，屬于簡單題目.10．C【解析】

求導分析函數(shù)在時的單調性、極值，可得時，滿足題意，再在時，求解的x的范圍，綜合可得結果.【詳解】當時，，令，則；，則，∴函數(shù)在單調遞增，在單調遞減.∴函數(shù)在處取得極大值為，∴時，的取值范圍為，∴又當時，令，則，即，∴綜上所述，的取值范圍為.故選C.【點睛】本題考查了利用導數(shù)分析函數(shù)值域的方法，考查了分段函數(shù)的性質，屬于難題.11．B【解析】

列舉出循環(huán)的每一步，可得出輸出結果.【詳解】，，不成立，，；不成立，，；不成立，，；成立，輸出的值為.故選：B.【點睛】本題考查利用程序框圖計算輸出結果，一般要將算法的每一步列舉出來，考查計算能力，屬于基礎題.12．C【解析】

由得F是弦AB的中點.進而得AB垂直于x軸，得，再結合關系求解即可【詳解】因為，所以F是弦AB的中點.且AB垂直于x軸.因為以AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的左頂點，所以，即，則，故.故選：C【點睛】本題是對雙曲線的漸近線以及離心率的綜合考查，是考查基本知識，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．1【解析】

先求f（1），再根據(jù)f（1）值所在區(qū)間求f（f（1））.【詳解】由題意，f（1）=log3（11–1）=1，故f（f（1））=f（1）=1×e1–1=1，故答案為：1．【點睛】本題考查分段函數(shù)求值，考查對應性以及基本求解能力.14．【解析】

構造，先利用定義判斷的奇偶性，再利用導數(shù)判斷其單調性，轉化為，結合奇偶性，單調性求解不等式即可.【詳解】令，則是上的偶函數(shù)，，則在上遞減，于是在上遞增．由得，即，于是，則，解得．故答案為：【點睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性、單調性解不等式，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于較難題.15．1【解析】

利用流程圖，逐次進行運算，直到退出循環(huán)，得到輸出值.【詳解】第一次：x＝4，y＝11，第二次：x＝5，y＝32，第三次：x＝1，y＝14，此時14＞10×1＋3，輸出x，故輸出x的值為1．故答案為：.【點睛】本題主要考查程序框圖的識別，“還原現(xiàn)場”是求解這類問題的良方，側重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).16．【解析】

設，可表示出，由三棱錐性質得這三條棱長的平方和等于外接球直徑的平方，從而半徑的最小值，得外接球表面積．【詳解】設則，由兩兩垂直知三棱錐的三條棱的棱長的平方和等于其外接球的直徑的平方．記外接球半徑為，∴當時，．故答案為：．【點睛】本題考查三棱錐外接球表面積，解題關鍵是掌握三棱錐的性質：三條側棱兩兩垂直的三棱錐的外接球的直徑的平方等于這三條側棱的平方和．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1），；（2）.【解析】

（1）在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出直線的普通方程，在曲線的極坐標方程兩邊同時乘以，結合可將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）計算出直線截圓所得弦長，并計算出原點到直線的距離，利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】（1）由得，故直線的普通方程是.由，得，代入公式得，得，故曲線的直角坐標方程是；（2）因為曲線的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，則弦長.又到直線的距離為，所以.【點睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標方程與普通方程之間的轉化，同時也考查了直線與圓中三角形面積的計算，考查計算能力，屬于中等題.18．（1）詳見解析；（2）.【解析】

（1）連接，由菱形的性質以及中位線，得，由平面平面，且交線，得平面，故而，最后由線面垂直的判定得結論.（2）以為原點建平面直角坐標系，求出平面平與平面的法向量，，最后求得二面角的余弦值為.【詳解】解：（1）連結∵，且是的中點，∴∵平面平面，平面平面，∴平面.∵平面，∴又為菱形，且為棱的中點，∴∴.又∵，平面∴平面.（2）由題意有，∵四邊形為菱形，且∴分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則設平面的法向量為由，得，令，得取平面的法向量為∴二面角為銳二面角，∴二面角的余弦值為【點睛】處理線面垂直問題時，需要學生對線面垂直的判定定理特別熟悉，運用幾何語言表示出來方才過關，一定要在已知平面中找兩條相交直線與平面外的直線垂直，才可以證得線面垂直，其次考查了學生運用空間向量處理空間中的二面角問題，培養(yǎng)了學生的計算能力和空間想象力.19．（1），（2）【解析】

（1）先由正弦定理，得到，進而可得，再由，即可得出結果；（2）先由余弦定理得，，再根據(jù)題中數(shù)據(jù)，可得，從而可求出，得到，進而可求出結果.【詳解】（1）由正弦定理得，所以，因為，所以，即，所以，又因為，所以，.（2）在和中，由余弦定理得，.因為，，，，又因為，即，所以，所以，又因為，所以.所以的面積.【點睛】本題主要考查解三角形，靈活運用正弦定理和余弦定理即可，屬于?？碱}型.20．(1)(2)【解析】

（1）把f（x）去絕對值寫成分段函數(shù)的形式，分類討論，分別求得解集，綜合可得結論．（2）把f（x）去絕對值寫成分段函數(shù)，畫出f（x）的圖像，找出利用條件求得a的值．【詳解】（1）時，.當時，即為，解得.當時，，解得.當時，，解得.綜上，的解集為.（2）.，由的圖象知，，.【點睛】本題主要考查含絕對值不等式的解法及含絕對值的函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題21．（1）見解析；（2）證明見解析.【解析】

當時，求函數(shù)的導數(shù)，判斷導函數(shù)的單調性，計算即為導函數(shù)的零點；

當時，分類討論x的范圍，可令新函數(shù)，計算新函數(shù)的最值可證明．【詳解】(1)的定義域為當時，，，易知為上的增函數(shù)，又，所以是的唯一零點；(2