2022年版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)16

課時(shí)作業(yè)(十六)一、選擇題1．(2021·全國高三模擬)某工廠有A，B兩套生產(chǎn)線，每周需要維護(hù)的概率分別為0.2和0.25，且每周A，B兩套生產(chǎn)線是否需要進(jìn)行維護(hù)是相互獨(dú)立的，則至多有一套生產(chǎn)線需要維護(hù)的概率為(A)A．0.95 B．0.6C．0.35 D．0.15【解析】由題可得至多有一套生產(chǎn)線需要維護(hù)的概率P＝0.2×0.75＋0.8×0.25＋0.75×0.8＝0.95.故選A．2．(2021·全國高三模擬)對(duì)于二維碼，人們并不陌生，幾年前，在門票、報(bào)紙等印刷品上，這種黑白相間的小方塊就已經(jīng)出現(xiàn)了．二維碼背后的趨勢是整個(gè)世界的互聯(lián)網(wǎng)化，這一趨勢要求信息以更為簡單有效的方式從線下流向線上．如圖是一個(gè)邊長為2的“祝你考試成功”正方形二維碼，為了測算圖中黑色部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲200個(gè)點(diǎn)，其中落入黑色部分的有125個(gè)點(diǎn)，據(jù)此可估計(jì)黑色部分的面積為(B)A．eq\f(5,4) B．eq\f(5,2)C．eq\f(5,6) D．eq\f(1,2)【解析】據(jù)題設(shè)分析知，所求面積S＝2×2×eq\f(125,200)＝eq\f(5,2).故選B.3．(2021·江蘇蘇州市高三三模)設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(1，4)，則P(ξ<3)的值為(D)(參考數(shù)據(jù)：P(u-σ<ξ<u＋σ)＝0.6526，P(u-2σ<ξ<u＋2σ)＝0.9544)A．0.1737 B．0.3474C．0.6837 D．0.8263【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(1，4)，所以μ＝1，σ2＝4，即σ＝2，所以P(ξ<3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)P(u-σ<ξ<u＋σ)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×0.6526＝0.8263，故選D.4．(2021·四川高三三模)在5道題中有3道理科試題和2道文科試題．如果不放回地依次抽2道題，則第一次和第二次都抽到理科題的概率是(D)A．eq\f(2,5) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,5) D．eq\f(3,10)【解析】設(shè)A事件為第一次抽到理科試題，B事件為第二次抽到理科試題，所以第一次和第二次都抽到理科題的概率是P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,10).故選D.5．(2020·四川省成都市期末)將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù)a，b，則關(guān)于x，y方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋by-8＝0,x2＋y2-4＝0))，有實(shí)數(shù)解的概率為(B)A．eq\f(2,9) B．eq\f(7,9)C．eq\f(7,36) D．eq\f(9,36)【解析】因?yàn)榉匠探Meq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋by-8＝0,x2＋y2-4＝0))有解，故直線ax＋by-8＝0與圓x2＋y2＝4有公共點(diǎn)，所以eq\f(|8|,\r(a2＋b2))≤2即a2＋b2≥16，當(dāng)a＝1時(shí)，b＝4，5，6，有3種情形；當(dāng)a＝2時(shí)，b＝4，5，6，有3種情形；當(dāng)a＝3時(shí)，b＝3，4，5，6，有4種情形；當(dāng)a＝4，5，6時(shí)，b＝1，2，3，4，5，6，有18種情形；故方程有解有28種情形，而(a，b)共有36種不同的情形，故所求的概率為eq\f(28,36)＝eq\f(7,9).故選B.6．(2021·浙江高三二模)設(shè)0<p<eq\f(2,3)，隨機(jī)變量ξ的分布列是ξ-101Ppeq\f(1,3)eq\f(2,3)-p則當(dāng)p在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))內(nèi)增大時(shí)(D)A．D(ξ)增大 B．D(ξ)減小C．D(ξ)先減小后增 D．D(ξ)先增大后減小【解析】E(ξ)＝-1×p＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)-p))＝eq\f(2,3)-2p，D(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)-2p＋1))eq\s\up12(2)×p＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)-2p-0))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)-2p-1))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)-p))＝-4p2＋eq\f(8,3)p＋eq\f(2,9)＝-4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p-\f(1,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(2,3)，對(duì)稱軸為p＝eq\f(1,3)，∵當(dāng)p在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))內(nèi)增大時(shí)，∴D(ξ)先增大后減小，故選D.7．(2021·陜西高三模擬)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在他的著作《九章算術(shù)注》中，稱一個(gè)正方體內(nèi)兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”(如圖)，通過計(jì)算得知正方體的體積與“牟合方蓋”的體積之比應(yīng)為3∶2.若在該“牟合方蓋”內(nèi)任取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自正方體內(nèi)切球內(nèi)的概率為(B)A．eq\f(1,2) B．eq\f(π,4)C．eq\f(2,3) D．eq\f(π,6)【解析】設(shè)正方體的棱長為a，正方體體積為a3，“牟合方蓋”的體積為eq\f(2,3)a3，而內(nèi)切球的體積為eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(πa3,6)，所以在該“牟合方蓋”內(nèi)任取一點(diǎn)，由內(nèi)切球在“牟合方蓋”內(nèi)部，此點(diǎn)取自正方體內(nèi)切球內(nèi)的概率為eq\f(\f(πa3,6),\f(2,3)a3)＝eq\f(π,4)，故選B.8．(2021·浙江高三二模)已知正整數(shù)n≥4，p∈(0，1)，隨機(jī)變量X的分布列是X1pp2…pn-2pn-1Ppp2p3…pn-1pn則當(dāng)n在[4，100]內(nèi)增大時(shí)(A)A．E(X)<1B．E(X)＝1C．E(X)>1D．E(X)與1沒有確定的大小關(guān)系【解析】由條件可知p＋p2＋p3＋…＋pn＝eq\f(p（1-pn）,1-p)＝1，E(X)＝p＋p3＋p5＋…＋p2n-1＝eq\f(p（1-p2n）,1-p2)＝eq\f(p（1＋pn）（1-pn）,（1＋p）（1-p）)＝eq\f(1＋pn,1＋p)，∵p∈(0，1)，n∈[4，100]，∴eq\f(1＋pn,1＋p)<1，即E(X)<1.故選A．二、填空題9．(2021·上海黃浦區(qū))已知隨機(jī)事件A和B相互獨(dú)立，若P(AB)＝0.36，P(A)＝0.6(A表示事件A的對(duì)立事件)，則P(B)＝__0.9__.【解析】由對(duì)立事件的概率公式可得P(A)＝1-P(A)＝0.6，由獨(dú)立事件的概率乘法公式可得P(AB)＝P(A)P(B)，因此，P(B)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝0.9.10．(2021·江西省遂川中學(xué)高三月考)如圖所示的圓盤的三條直徑把圖分成六部分，往圓盤內(nèi)任投一飛鏢(大小忽略不計(jì))，則飛鏢落到陰影部分內(nèi)的概率為__eq\f(1,2)__.【解析】由題意，陰影部分為3個(gè)扇形，其面積正好占整個(gè)的一半，所以所求概率為eq\f(1,2).11．(2021·河北秦皇島市高三二模)在某市高三的一次模擬考試中，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績?chǔ)畏恼龖B(tài)分布N(105，σ2)(σ>0)，若P(ξ<120)＝0.75，則P(90≤ξ≤120)＝__0.5__.【解析】因?yàn)棣巍玁(105，σ2)，且P(ξ<120)＝0.75，所以P(105≤ξ<120)＝0.25，所以P(90≤ξ≤105)＝0.25，所以P(90≤ξ≤120)＝0.5.12．(2021·四川達(dá)州市高三二模)若ξ為離散型隨機(jī)變量，且ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,3)))，則其方差D(ξ)＝__eq\f(10,9)__.【解析】由題意，隨機(jī)變量ξ為離散型隨機(jī)變量，且ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,3)))，根據(jù)二項(xiàng)分布的方差的計(jì)算公式，可得D(ξ)＝5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,3)))＝eq\f(10,9).三、解答題13．(2021·湖南高三月考)5個(gè)大小相同的小球分別標(biāo)有數(shù)字1，1，2，2，3，把它們放在一個(gè)盒子中，現(xiàn)從中任意摸出2個(gè)小球，它們的標(biāo)號(hào)分別為x，y，記ξ＝x＋y.(1)求P(ξ＝4)；(2)求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解析】(1)從盒中摸出球的基本事件總數(shù)為Ceq\o\al(2,5)＝10，ξ＝4的事件數(shù)有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)＋Ceq\o\al(2,2)＝3，故P(ξ＝4)＝eq\f(3,10).(2)ξ的可能取值為2，3，4，5，所以P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(2,5)，P(ξ＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)＋Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝5)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(1,5)，所以ξ的分布列為：ξ2345Peq\f(1,10)eq\f(2,5)eq\f(3,10)eq\f(1,5)數(shù)學(xué)期望為E(ξ)＝2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(2,5)＋4×eq\f(3,10)＋5×eq\f(1,5)＝3.6.14．(2021·九龍坡區(qū)重慶市育才中學(xué)高三二模)有一種雙人游戲，游戲規(guī)則如下：雙方每次游戲均從裝有5個(gè)球的袋中(3個(gè)白球和2個(gè)黑球)輪流摸出1球(摸后不放回)，摸到第2個(gè)黑球的人獲勝，同時(shí)結(jié)束該次游戲，并把摸出的球重新放回袋中，準(zhǔn)備下一次游戲．(1)求先摸球者獲勝的概率；(2)小李和小張準(zhǔn)備玩這種游戲，約定玩3次，第一次游戲由小李先摸球，并且規(guī)定某一次游戲輸者在下一次游戲中先摸球．每次游戲獲勝得1分，失敗得0分．記3次游戲中小李的得分之和為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)．【解析】(1)先摸球者獲勝，則游戲進(jìn)行3輪或5輪3輪：白黑黑：eq\f(3,5)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,10)，黑白黑：eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,10)，5輪：最后一球?yàn)楹谇颍篹q\f(Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(2,5)，所以先摸球者獲勝的概率為eq\f(1,10)＋eq\f(1,10)＋eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).(2)X的所有可能取值為：0、1、2、3，P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(3)＝eq\f(8,125)，P(X＝1)＝eq\f(3,5)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(2,5)×eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＋eq\f(2,5)×eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(48,125)，P(X＝2)＝eq\f(3,5)×eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＋eq\f(3,5)×eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＋eq\f(2,5)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(57,125)，P(X＝3)＝eq\f(3,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(12,125)，分布列為：X0123Peq\f(8,125)eq\f(48,125)eq\f(57,125)eq\f(12,125)E(X)＝0×eq\f(8,125)＋1×eq\f(48,125)＋2×eq\f(57,125)＋3×eq\f(12,125)＝eq\f(198,125).15．(2021·山西高三三模)2021年是中國共產(chǎn)黨百年華誕．中國站在“兩個(gè)一百年”的歷史交匯點(diǎn)，全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國家新征程即將開啟.2021年3月23日，中宣部介紹中國共產(chǎn)黨成立100周年慶?；顒?dòng)八項(xiàng)主要內(nèi)容，其中第一項(xiàng)是結(jié)合鞏固深化“不忘初心、牢記使命”主題教育成果，在全體黨員中開展黨史學(xué)習(xí)教育．這次學(xué)習(xí)教育貫穿2021年全年，總的要求是學(xué)史明理、學(xué)史增信、學(xué)史崇德、學(xué)史力行，教育引導(dǎo)黨員干部學(xué)黨史、悟思想、辦實(shí)事，開新局．為了配合這次學(xué)黨史活動(dòng)，某地組織全體黨員干部參加黨史知識(shí)競賽，現(xiàn)從參加人員中隨機(jī)抽取100人，并對(duì)他們的分?jǐn)?shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)現(xiàn)從這100人中隨機(jī)抽取2人，記其中得分不低于80分的人數(shù)為ξ，試求隨機(jī)變量ξ的分布列及期望；(2)由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該地參加黨史知識(shí)競賽人員的分?jǐn)?shù)X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差s2，經(jīng)計(jì)算s2＝192.44.現(xiàn)從所有參加黨史知識(shí)競賽的人員中隨機(jī)抽取500人，且參加黨史知識(shí)競賽的人員的分?jǐn)?shù)相互獨(dú)立，試問這500名參賽者的分?jǐn)?shù)不低于82.3的人數(shù)最有可能是多少？參考數(shù)據(jù)：eq\r(192.44)≈13.9，P(μ-σ<ξ<μ＋σ)＝0.6827，P(μ-2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ-3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.9974.【解析】(1)100人中得分不低于80分的人數(shù)為(0.014＋0.006)×10×100＝20，隨機(jī)變量ξ可能的取值為0，1，2.又P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,80),Ceq\o\al(2,100))＝eq\f(316,495)，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(1,80),Ceq\o\al(2,100))＝eq\f(32,99)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,