保角變換法求解定解問題

保角變換法求解定解問題第一頁，共三十六頁，2022年，8月28日

保角變換法解定解問題的基本思想是：通過解析函數(shù)的變換（或映射，這部分知識在復變函數(shù)論中已經(jīng)學習過）將平面上具有復雜邊界形狀的邊值問題變換為平面上具有簡單形狀（通常是圓、上半平面或帶形域）的邊值問題，而后一問題的解易于求得．于是再通過逆變換就求得了原始定解問題的解．第二頁，共三十六頁，2022年，8月28日

這就是本章將要介紹的一種解決數(shù)學物理方程定解問題中的解析法――保角變換法，它是解決這類復雜邊界的最有效方法．它特別適合于分析平面場的問題，例如靜電場的問題，由于這種求解復雜邊界的定解問題具有較大的實用價值，所以有必要單獨以一章的內容進行介紹．復變函數(shù)論中已經(jīng)系統(tǒng)介紹了保角變換理論，本章主要介紹利用保角變換法求解定解問題。第三頁，共三十六頁，2022年，8月28日16.1保角變換與拉普拉斯方程邊值問題的關系在復變函數(shù)論中我們已經(jīng)知道，由解析函數(shù)實現(xiàn)的從z平面到平面的變換在的點具有保角性質，因此這種變換稱為保角變換．下面我們主要討論一一對應的保角變換，即假定和它的反函數(shù)都是單值函數(shù)；或者如果它們之中有多值函數(shù)就規(guī)定取它的黎曼面的一葉．第四頁，共三十六頁，2022年，8月28日定律

如果將由到的保角變換看成為二元（實變）函數(shù)的變換由到的變量代換，則平面上的邊界變成了平面上的邊界．我們能證明，如果程，則經(jīng)過保角變換后得到的滿足拉普拉斯方也滿足拉普拉斯方程．第五頁，共三十六頁，2022年，8月28日【證明】

利用復合函數(shù)求導法則有

(16.1.1)同理第六頁，共三十六頁，2022年，8月28日

(16.1.2)兩式相加得到（）第七頁，共三十六頁，2022年，8月28日利用解析函數(shù)的C-R條件

(16.1.4)以及解析函數(shù)的實部和虛部分別滿足拉普拉斯方程的性質

(16.1.5)將式（）和式（）代入到式（）化簡后得到第八頁，共三十六頁，2022年，8月28日注意到上式已經(jīng)使用了：對于保角變換因而只要滿足拉普拉斯方程，則）也滿足拉普拉斯方程，即為第九頁，共三十六頁，2022年，8月28日（）這樣我們就有結論：如果在平面上給定了的拉普拉斯方程邊值問題，則利用保角變換

，可以將它轉化為平面上的拉普拉斯方程邊值問題．第十頁，共三十六頁，2022年，8月28日同理可以證明，在單葉解析函數(shù)變換下，泊松方程

a)仍然變?yōu)椴此煞匠蹋╞）第十一頁，共三十六頁，2022年，8月28日由上式可知，在保角變換下，泊松方程中的電荷密度發(fā)生了變化．同理可以證明，亥姆霍茲方程

a)經(jīng)變換后仍然變?yōu)楹ツ坊羝澐匠?/p>

b)第十二頁，共三十六頁，2022年，8月28日容易注意到方程要比原先復雜，且前的系數(shù)可能不是常系數(shù)．下面將舉例說明如何通過保角變換法來求解拉普拉斯方程．

保角變換法的優(yōu)點不僅在于拉普拉斯方程、泊松方程等方程的類型在保角變換下保持不變，更重要的是，能將復雜邊界問題變?yōu)楹唵芜吔鐔栴}，從而使問題得到解決．第十三頁，共三十六頁，2022年，8月28日16.2保角變換法求解定解問題典型實例例

設有半無限平板，在邊界=0上，處保持溫度處保持溫度=0．求平板上的穩(wěn)定溫度分布．【解】根據(jù)題意可得出定解問題第十四頁，共三十六頁，2022年，8月28日（）作如下的保角變換．（1）作分式線性變換(16.2.2)第十五頁，共三十六頁，2022年，8月28日可以驗證，考慮實軸

的對應關系：圖16.1第十六頁，共三十六頁，2022年，8月28日(i)若，則，故，即有(ii)若則或（a）首先討論的情況,考慮到題給條件則故第十七頁，共三十六頁，2022年，8月28日（b）再考慮的情況,則故如圖16.1所示，根據(jù)(16.2.1)式中的邊界條件，對應于處溫度為，故平面的負實軸（即）溫度保持為；而在處有，故第十八頁，共三十六頁，2022年，8月28日平面的正實軸溫度保持為零．（2）作變換

(16.2.3)把平面的上半平面變成平面上平行于實軸，寬為的一個帶形區(qū)域，

平面的正實軸變換為平面的實軸（正實軸輻角為零，故對應于），

第十九頁，共三十六頁，2022年，8月28日平面的負實軸變換為平面的平行于實軸的直線,故對應于）．（負實軸輻角為 于是，在變換(16.2.4)之下，定解問題變換為

(16.2.5)第二十頁，共三十六頁，2022年，8月28日在這種情況下，等溫線是與實軸平行的直線=常數(shù)，熱流線則是與虛軸平行的直線

=常數(shù)．在(,)坐標系中，由對稱性知拉普拉斯方程的解與無關，因此，定解問題又簡化為（）第二十一頁，共三十六頁，2022年，8月28日方程的解是考慮邊界條件即得到（）回到平面，則第二十二頁，共三十六頁，2022年，8月28日

例

試求平面靜電場的電勢分布，其中（）

(16.2.9)【解】

變換使上半平面變成平面上的帶形域（圖16.2）,

然的，類似于上面定解問題(16.2.6)的結果(16.2.7),則本定解問題可歸結為而在帶形域上的解是顯第二十三頁，共三十六頁，2022年，8月28日

(16.2.10)圖１６．２第二十四頁，共三十六頁，2022年，8月28日而

所以于是，作反變換便可求得所求問題的解為進一步討論：（1）同理可證第二十五頁，共三十六頁，2022年，8月28日是下列定解問題的解（說明：這里的和下面的不代表求導，是指彼此不同的值）(2)同理可證是下列定解問題的解第二十六頁，共三十六頁，2022年，8月28日(3)可證是下列定解問題的解：其中第二十七頁，共三十六頁，2022年，8月28日又可改寫成（4）進一步推廣是下列定解問題的解第二十八頁，共三十六頁，2022年，8月28日例

若把柱面充電到第二十九頁，共三十六頁，2022年，8月28日試用保角變換法求解一半徑為的無限長導體圓柱殼內的電場分布情況．【解】即求解定解問題第三十頁，共三十六頁，2022年，8月28日

作如下的保角變換

(1)作變換

把原圖象縮小為倍．即將任意的圓周變換為單位圓．

(2)再作變換

把變換為，其邊界的變換是將下半圓周對應于負半實軸，上半圓周對應于正半實軸．第三十一頁，共三十六頁，2022年，8月28日圖１６．３ （3）再作變換

把平面的上半平面變成平面上平行于實軸，寬為的一個帶形區(qū)域，其邊界的第三十二頁，共三十六頁，2022年，8月28日變換是將平面的正半實軸變換為平面的實軸，平面的負半實軸變換為平面的平行于實軸的直線，如圖16.3所以，在變換之下，定解問題變換為第三十三頁，共三十六頁，2022年，8月28日定解問題的解（仿上例）為將變量回