空間立體幾何中的截面圖 講義-數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)微專題

數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)微專題空間立體幾何中的截面圖立體幾何注重形象化和簡(jiǎn)潔性，可以鍛煉直觀感知、邏輯思維能力、空間想象能力，養(yǎng)成有條理地進(jìn)行推理的習(xí)慣，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一。在立體幾何中，截面是指用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體（包括圓柱，圓錐，球，棱柱，棱錐、長(zhǎng)方體，正方體等等），得到的平面圖形，叫截面。立體圖形的截面方式，總共有三種，分別為橫截、豎截、斜截。學(xué)生對(duì)截面問題的思考必須經(jīng)歷識(shí)圖、想圖到構(gòu)圖的過程，要通過觀察、分析、想象、推理、計(jì)算才能加以求解。本微專題對(duì)常見幾何體的截面圖進(jìn)行簡(jiǎn)單的介紹和應(yīng)用分析，希望能夠提升學(xué)生的融會(huì)貫通意識(shí)，有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力與學(xué)科核心素養(yǎng)。一、正方體的截面

以上可以看出,由于正方體包含了六個(gè)面,因此,不高于六條線的平面圖形均可能是其截面,包含了三角形、四邊形、五邊形和六邊形。

注:正方體的截面不可能是直角三角形、鈍角三角形和直角梯形。例1、已知正方體的校長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面而積的最大值為 ()A． B． C． D．【答案】A【解析】解法1：根據(jù)題意，平面與正方體對(duì)角線垂直，記正方體為不妨設(shè)平面與垂直，且交于點(diǎn)．平面與平面與分別交于．正方體中心為,則容易證明當(dāng)從運(yùn)動(dòng)到時(shí)，截面為三角形且周長(zhǎng)逐漸增大:當(dāng)從運(yùn)動(dòng)到時(shí)，截面為六邊形且周長(zhǎng)不變;當(dāng)從運(yùn)動(dòng)到時(shí)，截面為三角形且周長(zhǎng)還漸減小。我們熟知周長(zhǎng)一定的多邊形中，正多邊形的面積最大，因此當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，截面為邊長(zhǎng)為的正大邊形，此時(shí)截面面積最大，為解法2：由題意可知，該平面與在正方體的截面為對(duì)邊平行的六邊形，如圖所示，則截面面積為所以當(dāng)時(shí)，例2、已知正方體的棱長(zhǎng)為1，E為中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，若平面BEF截該正方體所得的截面為四邊形，則線段CF的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在正方體中，平面平面，而平面，平面，平面平面，則平面與平面的交線過點(diǎn)B，且與直線EF平行，與直線相交，令交點(diǎn)為G，如圖，而平面，平面，即分別為與平面所成的角，而，則，且有，當(dāng)F與C重合時(shí)，平面BEF截該正方體所得的截面為四邊形，，即G為棱中點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)F由點(diǎn)C向點(diǎn)D移動(dòng)過程中，逐漸增大，點(diǎn)G由M向點(diǎn)方向移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)G為線段上任意一點(diǎn)時(shí)，平面只與該正方體的4個(gè)表面正方形有交線，即可圍成四邊形，當(dāng)點(diǎn)G在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，直線必與棱交于除點(diǎn)外的點(diǎn)，而點(diǎn)F與D不重合，此時(shí)，平面與該正方體的5個(gè)表面正方形有交線，截面為五邊形，如圖，因此，F(xiàn)為棱CD上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，截面為四邊形，點(diǎn)G只能在線段（除點(diǎn)M外）上，即,顯然，，則，所以線段的CF的取值范圍是.故選：D例3、已知面CB1D1，平面，平面，則所成角的正弦值為()A.B.C.D.【答案】A【解析】如圖所示：∵，∴若設(shè)平面平面，則又∵平面∥平面，結(jié)合平面平面∴，故同理可得：故、的所成角的大小與、所成角的大小相等，即的大?。ň鶠槊鎸?duì)交線），因此，即．故選A．二、棱錐的截面

注:如果是正四棱錐,底面應(yīng)該是正方形,此時(shí)橫著切,截面只能是正方形,不經(jīng)過頂點(diǎn)縱切,是梯形。因此,正四棱錐切不出長(zhǎng)方形。例1、一個(gè)三棱錐的各棱長(zhǎng)均相等，其內(nèi)部有一個(gè)內(nèi)切球，即球與三棱錐的各面均相切（球在三棱錐的內(nèi)部，且球與三棱錐的各面只有一個(gè)交點(diǎn)），過一條側(cè)棱和對(duì)邊的中點(diǎn)作三棱錐的截面，所得截面圖形是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示：因?yàn)槿忮F的各棱長(zhǎng)均相等，所以該三棱錐為正四面體，內(nèi)切球與各面相切于各個(gè)面的中心，即可知過一條側(cè)棱和對(duì)邊的中點(diǎn)作三棱錐的截面，所得截面圖形是．故選：B．例2、如圖，在三棱錐木塊中，VA，VB，VC兩兩垂直，，點(diǎn)P為的重心，沿過點(diǎn)P的平面將木塊鋸開，且使截面平行于直線VC和AB，則該截面的面積為______．【答案】【解析】由VA，VB，VC兩兩垂直，，則可將三棱錐補(bǔ)形到正方體中，連接AP并延長(zhǎng)，交VC于D，過P作VC的平行線，交AV于E，交AC與F，過E作，交VB于H，過H作，交BC于M，連接MF，如圖所示因?yàn)?，所以E、F、M、H四點(diǎn)共面，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，則平面即為所求，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，所以四邊形為平行四邊形，又，平面VAB，所以平面VAB，所以平面VAB，因?yàn)槠矫鎂AB，所以，即四邊形為矩形，因?yàn)?，所以，因?yàn)镻為的重心，所以，則，同理可證，所以，則，所以矩形的面積為，故答案為：例3、三棱錐中，E、F、G、H分別是棱DA、DB、BC、AC的中點(diǎn)，截面EFGH將三棱錐分成兩個(gè)幾何體：、，其體積分別為、，則（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4【答案】A【解析】如圖，連接，設(shè)的面積為，到平面的距離為，則，而，又，故幾何體的體積為，而三棱錐的體積為，故幾何體的體積與棱錐的體積之比為，故兩個(gè)幾何體、的體積之比為1:1.故選：A.三、圓柱的截面

以上可以看出,圓柱的截面主要有圓、矩形和橢圓,上述表格中第四種和第五種情況,得到的是橢圓的一部分。

注:圓柱的截面不可能是梯形、三角形。

例1、如圖所示圓柱的軸截面的周長(zhǎng)為定值，則（

）A．圓柱的體積有最小值，此時(shí)高與底面圓的直徑之比為B．圓柱的體積有最小值，此時(shí)高與底面圓的半徑之比為C．圓柱的體積有最大值，此時(shí)高與底面圓的直徑之比為D．圓柱的體積有最大值，此時(shí)高與底面圓的半徑之比為【答案】D【解析】設(shè)底面半徑為，圓柱的高為，則由題意可知（為定值，），因?yàn)?，所以，圓柱的體積為，則，令，則，得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，即取得最大值，高與底面圓的半徑之比為，故選：D例2、如圖，一個(gè)底面半徑為R的圓柱被與其底面所成角為的平面所截，截面是一個(gè)橢圓，當(dāng)為時(shí)，這個(gè)橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為a，短半軸為b，半焦距為c根據(jù)題意可知，所以橢圓的離心率，選項(xiàng)A正確。故選：A.例3、如圖，圓柱的底面半徑和高均為1，線段是圓柱下底面的直徑，點(diǎn)是下底面的圓心.線段是圓柱的一條母線，且.已知平面經(jīng)過，，三點(diǎn)，將平面截這個(gè)圓柱所得到的較小部分稱為“馬蹄體”.記平面與圓柱側(cè)面的交線為曲線.則（

）A．曲線是橢圓的一部分 B．曲線是拋物線的一部分C．二面角的大小為 D．馬蹄體的體積為滿足【答案】ACD【解析】將相同的圓柱按如圖方式拼接在一起，將兩個(gè)球放入圓柱內(nèi)，使每一個(gè)球既與圓柱相切，又與曲線C所在平面相切，球與曲線C的切點(diǎn)為，取曲線C上一點(diǎn)，過點(diǎn)的圓柱母線與兩球交于兩點(diǎn)，由于同是下面球的切線，同是上面球的切線，可得，，則，由橢圓定義知：曲線是橢圓的一部分，A正確；B錯(cuò)誤；連接，由，，知面，故，則為二面角的平面角，又，則，C正確；由補(bǔ)成的幾何體知馬蹄體的體積為小于圓柱體的，即為，又，所以，所以，D正確.故選：ACD.四、圓錐的截面注:傾斜于軸線得到的截面形狀為橢圓,但是這個(gè)橢圓不在中心位置,而是偏向某一側(cè)的。

例1、已知圓錐的軸截面是頂角為120°的等腰三角形，圓錐的母線長(zhǎng)為2，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)圓錐的高為h，底面半徑為r，因?yàn)?，，所以，，，所以圓錐的體積，故選：A.例2、用過圓錐的軸的平面去截圓錐得到的截面，叫做圓錐的軸截面，圓錐的軸截面是以圖錐的兩條母線為腰的等腰三角形，這個(gè)等腰三角形的頂角，叫做圓錐的頂角.已知過圓錐的兩條母線的截面三角形有無窮多個(gè)，這些截面中，面積最大的恰好是圓錐的軸截面，則圓錐的頂角的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，三角形頂角為，則過圓錐的兩條母線的截面三角形面積為，當(dāng)時(shí)取得最大值，此時(shí)，所以圓錐的頂角的取值范圍是.故選：B.例3、如圖，用一個(gè)平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓.在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面相切.橢圓截面與兩球相切于橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，.過橢圓上一點(diǎn)作圓錐的母線，分別與兩個(gè)球相切于點(diǎn).由球和圓的幾何性質(zhì)可知，，.已知兩球半徑分為別和，橢圓的離心率為，則兩球的球心距離為_______.【答案】【解析】作出圓錐的軸截面如圖所示，圓錐面與兩球相切于兩點(diǎn)，則，，過作，垂足為，連接，，設(shè)與交于點(diǎn)，設(shè)兩球的球心距離為，在中，，，；，，，，解得：，，；由已知條件，知：，即軸截面中，又，，解得：，即兩球的球心距離為.故答案為：.五、球的截面注：（1）用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是圓面；（2）球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓（3）球面被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做小圓，球心和截面圓心的連線與截面垂直。例1、已知三棱錐的所有棱長(zhǎng)均相等，四個(gè)頂點(diǎn)在球的球面上，平面經(jīng)過棱，，的中點(diǎn)，若平面截三棱錐和球所得的截面面積分別為，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)平面截三棱錐所得正三角邊長(zhǎng)為a，截面圓的半徑為r，則，由正弦定理可得，，，故選：B例2、若球是正三棱錐的外接球，，，點(diǎn)在線段上，，過點(diǎn)作球的截面，則所得的截面中面積最小的截面的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，其中是球心，是等邊三角形的中心，可得，，設(shè)球的半徑為，在三角形中，由，即，解得，在三角形中，，，由余弦定理得，在三角形中，因?yàn)椋?，設(shè)過且垂直的截面圓的半徑為，，故最小的截面面積為.故選：B例3、某四棱錐的底面為正方形，頂點(diǎn)在底面的射影為正方形中心，該四棱錐所有頂點(diǎn)都在半