排列教學(xué)設(shè)計(jì)-高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)

《排列》教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)通過(guò)解決實(shí)際的計(jì)數(shù)問(wèn)題，得到排列的定義，并能利用定義判斷排列問(wèn)題.二、教學(xué)重難點(diǎn)1、教學(xué)重點(diǎn)：排列的定義2、教學(xué)難點(diǎn)：將實(shí)際問(wèn)題中的具體對(duì)象抽象為元素，得到排列的定義.三、教學(xué)過(guò)程1、知識(shí)回顧加法原理：完成一件事有n類(lèi)不同方案,在第一類(lèi)方案中有n1種不同的方法，在第二類(lèi)方案中有n2種不同的方法……在第n類(lèi)方案中有nn種不同的方法，那么完成這件事共有n1+n2+……+nn種不同的方法。乘法原理：完成一件事情有n個(gè)步驟,在第一步中有n1種不同的方法，在第二步中有n2種不同的方法……在第n步中有nn種不同的方法，那么完成這件事共有n1×n2×……×nn種不同的方法。2、情景分析在上節(jié)課的學(xué)習(xí)中我們發(fā)現(xiàn)，用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題時(shí)，因做了一些重復(fù)性工作而顯得煩瑣.能否對(duì)這類(lèi)計(jì)數(shù)問(wèn)題給出一種簡(jiǎn)捷的方法呢？為此，先來(lái)分析兩個(gè)具體的問(wèn)題.問(wèn)題1從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，另1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有幾種不同的選法？此時(shí)，要完成的一件事是“選出2名同學(xué)參加活動(dòng)，1名參加上午的活動(dòng)，另1名參下午的活動(dòng)”，可以分兩個(gè)步驟：第1步，確定參加上午活動(dòng)的同學(xué)，從3人中任選1人，有3種選法；第2步，確定參加下午活動(dòng)的同學(xué)，當(dāng)參加上午活動(dòng)的同學(xué)確定后，參加下午活動(dòng)的同學(xué)只能從剩下的2人中去選，有2種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選法種數(shù)為3×2=6.這6種不同的選法如圖所示.如果把上面問(wèn)題中被取出的對(duì)象叫做元素，那么問(wèn)題可敘述為：從3個(gè)不同的元素a?，?b?，?c中任意取出2個(gè)，并按一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？所有不同的排列是ab?，?ac?，?ba?，?bc?，?ca?，?cb，不同的排列方法種數(shù)為3×2=6.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)分步乘法計(jì)數(shù)的具體問(wèn)題，即檢測(cè)與本節(jié)課內(nèi)容有關(guān)的計(jì)數(shù)原理的掌握情況，又引出排列問(wèn)題，為抽象得到排列的概念作準(zhǔn)備.問(wèn)題2從1，2，3，4這4個(gè)數(shù)字中，每次取出3個(gè)排成一個(gè)三位數(shù)，共可得到多少個(gè)不同的三位數(shù)？顯然，從4個(gè)數(shù)字中，每次取出3個(gè)，按“百位、十位、個(gè)位”的順序排成一列，就得到一個(gè)三位數(shù).因此有多少種不同的排列方法就有多少個(gè)不同的三位數(shù).可以分三個(gè)步驟來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題：第1步，確定百位上的數(shù)字，從1，2，3，4這4個(gè)數(shù)字中任取1個(gè)，有4種方法；第2步，確定十位上的數(shù)字，當(dāng)百位上的數(shù)字確定后，十位上的數(shù)字只能從余下的3個(gè)數(shù)字中去取，有3種方法；第3步，確定個(gè)位上的數(shù)字，當(dāng)百位、十位上的數(shù)字確定后，個(gè)位的數(shù)字只能從余下的2個(gè)數(shù)字中去取，有2種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，從1，2，3，4這4個(gè)不同的數(shù)字中，每次取出3個(gè)數(shù)字按“百位、十位、個(gè)位”的順序排成一列，不同的排法種數(shù)為4×3×2=24.因而共可得到24個(gè)不同的三位數(shù)，如圖所示.由此可寫(xiě)出所有的三位數(shù)：123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432.同樣，問(wèn)題2可以歸結(jié)為：從4個(gè)不同的元素a?，?b?，?c?，?d中任意取出3個(gè)，并按照一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？所有不同的排列是abc?，?abd?，?acb?，?acd?，?adb?，?adc?，?bac?，?bad?，?bca?，?bcd?，?bda?，?bdc?，cab?，?cad?，?cba?，?cbd?，?cda?，?cdb?，?dab?，?dac?，?dba?，?dbc?，?dca?，?dcb.不同的排列方法種數(shù)為4×3×2=24.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)分布乘法計(jì)數(shù)的具體問(wèn)題，讓學(xué)生再次經(jīng)歷解決排列問(wèn)題的全過(guò)程，為抽象得到排列的概念作準(zhǔn)備.3、概念的形成上述問(wèn)題1，2的共同特點(diǎn)是什么？你能將它們推廣到一般情形嗎？問(wèn)題1和問(wèn)題2都是研究從一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的順序排成一列的方法數(shù).一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m???n)個(gè)元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m根據(jù)排列的定義，兩個(gè)排列相同的充要條件是：兩個(gè)排列的元素完全相同，且元素的排列順序也相同.例如，在問(wèn)題1中，“甲乙”與“甲丙”的元素不完全相同，它們是不同的排列，“甲乙”與“乙甲”雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列.又如，在問(wèn)題2中，123與134的元素不完全相同，它們是不同的排列；123與132雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列.指出定義中需要注意的信息：（1）元素不能重復(fù).（互異性）（2）“按一定順序”就是與位置有關(guān)，這是判斷一個(gè)問(wèn)題是否是排列問(wèn)題的關(guān)鍵.（有序性）（3）兩個(gè)排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)排列中的元素完全相同，而且元素的排列順序也完全相同.（4）.為了使寫(xiě)出的所有排列情況既不重復(fù)也不遺漏，最好采用“樹(shù)形圖”.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)分析、比較兩個(gè)實(shí)例，概括他們的共同特點(diǎn)，從特殊到一般得出排列的概念，并辨析概念.加深對(duì)定義的理解：判斷下列問(wèn)題是否為排列問(wèn)題．(1)北京、上海、天津3個(gè)民航站之間的直達(dá)航線的飛機(jī)票的價(jià)格(假設(shè)往返的票價(jià)相同)；(2)選2個(gè)小組分別去植樹(shù)和種菜；(3)選2個(gè)小組去種菜；(4)選10個(gè)人組成一個(gè)學(xué)習(xí)小組；(5)選3個(gè)人分別擔(dān)任班長(zhǎng)、學(xué)習(xí)委員、生活委員．解：(1)中票價(jià)只有3種，雖然機(jī)票是不同的，但票價(jià)是一樣的，不存在順序問(wèn)題，所以不是排列問(wèn)題．(2)植樹(shù)和種菜是不同的，存在順序問(wèn)題，屬于排列問(wèn)題(3)，(4)不存在順序問(wèn)題，不屬于排列問(wèn)題(5)中每個(gè)人的職務(wù)不同，例如甲當(dāng)班長(zhǎng)或當(dāng)學(xué)習(xí)委員是不同的，存在順序問(wèn)題，屬于排列問(wèn)題．根據(jù)以上的判斷，得出”判斷一個(gè)具體問(wèn)題是否為排列問(wèn)題的方法”變換元素的位置變換元素的位置結(jié)果有無(wú)變化有序無(wú)序排列問(wèn)題非排列問(wèn)題4、例題講解例1某省中學(xué)生足球賽預(yù)選賽每組有6支隊(duì)，每支隊(duì)都要與同組的其他各隊(duì)友在主、客場(chǎng)分別比賽1場(chǎng)，那么每組共進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？分析：每組任意2支隊(duì)之間進(jìn)行的1場(chǎng)比賽，可以看作是從該組6支隊(duì)中選取2支，按“主隊(duì)、客隊(duì)”的順序排成的一個(gè)排列.解：可以先從這6支隊(duì)中選1支為主隊(duì)，然后從剩下的5支隊(duì)中選1支為客隊(duì).按分布乘法計(jì)數(shù)原理，每組進(jìn)行的比賽場(chǎng)數(shù)為6×5=30.例2一張餐桌上有5盤(pán)不同的菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中各取1盤(pán)菜，共有多少種不同的取法？解：可以先從這5盤(pán)菜中取1盤(pán)給同學(xué)甲，然后從剩下的4盤(pán)菜中取1盤(pán)給同學(xué)乙，最后從剩下的3盤(pán)菜中取1盤(pán)給同學(xué)丙.按分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為5×4×3=60.變式：學(xué)校食堂的一個(gè)窗口共賣(mài)5種菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中選一種，共有多少種不同的選法？解：可以先讓同學(xué)甲從5種菜中選1種，有5種選法；再讓同學(xué)乙從5種菜中選1種，也有5種選法；最后讓同學(xué)丙從5種菜種選1種，同樣有5種選法.按分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選法種數(shù)為5×5×5=125.變式：學(xué)校食堂的一個(gè)窗口共賣(mài)5種菜，現(xiàn)有3名同學(xué)在這個(gè)窗口中選菜，只要求每種菜都能被人選上，共有多少種不同的分菜方法？解：第一種菜可以被3名同學(xué)挑選，第二種菜也可以被3名同學(xué)挑選，第三種菜也可以被3名同學(xué)挑選，第四種菜也可以被3名同學(xué)挑選，第五種菜也可以被3名同學(xué)挑選，根據(jù)分步乘法計(jì)算原理，不同的分菜種數(shù)是3×3×3×3×3=3例3有4名大學(xué)生可以到5家單位實(shí)習(xí)，若每家單位至多招1名實(shí)習(xí)生，每名大學(xué)生至多到1家單位實(shí)習(xí)，且這4名大學(xué)生全部被分配完畢，則分配方案的個(gè)數(shù)。解法1：可以理解為從5家單位中選出4家單位，分別把4名大學(xué)生安排到4家單位，共有5×4×3×2×1＝120(個(gè))分配方案．解法2：理解為每個(gè)大學(xué)生來(lái)挑選單位，即大學(xué)生1有5個(gè)單位可選，大學(xué)生2有4個(gè)單位可選，大學(xué)生3有3個(gè)單位可選，大學(xué)生4有2個(gè)單位可選。這就是從5個(gè)不同的元素中抽取4個(gè)元素的排列，所以同樣有5×4×3×2×1＝120(個(gè))分配方案例4學(xué)校乒乓團(tuán)體比賽采用5場(chǎng)3勝制（5場(chǎng)單打），每支球隊(duì)派3名運(yùn)動(dòng)員參賽，前3場(chǎng)比賽每名運(yùn)動(dòng)員各出場(chǎng)1次，其中第1,2位出場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)員在后2場(chǎng)比賽中還將各出場(chǎng)1次。（1）從5名運(yùn)動(dòng)員中選3名參加比賽，前3場(chǎng)比賽有幾種出場(chǎng)情況？（2）甲、乙、丙3名運(yùn)動(dòng)員參加比賽，寫(xiě)出所有可能的出場(chǎng)情況。解：（1）依題意可得，是從5個(gè)元素中選取3個(gè)元素的排列，所以是5×4×3=60（2）解：①比3場(chǎng)結(jié)束，有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲6種情況；②比4場(chǎng)結(jié)束，有甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，乙丙甲乙，乙丙甲丙，乙甲丙甲，乙甲丙乙，丙甲乙丙，丙甲乙甲，丙乙甲丙，丙乙甲乙12種情況；③比5場(chǎng)結(jié)束，有甲乙丙甲乙，甲乙丙乙甲，甲丙乙甲丙，甲丙乙丙甲，乙甲丙乙甲，乙甲丙甲乙，乙丙甲乙丙，乙丙甲丙乙，丙甲乙丙甲，丙甲乙甲丙，丙乙甲丙乙，丙乙甲乙丙共12種。注意：在列舉結(jié)果的時(shí)候，按題意分類(lèi)