材料科學(xué)屈服應(yīng)力應(yīng)變主應(yīng)力

會計學(xué)1材料科學(xué)屈服應(yīng)力應(yīng)變主應(yīng)力

5.1有關(guān)材料的一些基本概念

材料中沒有空隙裂縫，叫做“連續(xù)”；各質(zhì)點性能相同，叫做“均質(zhì)”；材料各個方向性能一樣，叫做“各向同性”，否則就叫“各向異性”。對于各向同性材料，可用與坐標(biāo)取向無關(guān)的不變量的函數(shù)來表示屈服準(zhǔn)則。實用金屬材料可以近似看成是連續(xù)均質(zhì)材料。經(jīng)過仔細退火的金屬材料可以近似看作是各向同性材料。理想彈性材料：彈性變形時應(yīng)力與應(yīng)變完全成線性關(guān)系。（a，b，d）理想塑性材料：塑性變形時不產(chǎn)生硬化的材料。（b，c）變形硬化材料：塑性變形時要產(chǎn)生硬化的材料。（d，e）第1頁/共74頁彈塑性材料：塑性變形之前及塑性變形時，都有彈性變形。剛塑性材料：塑性變形之前不產(chǎn)生彈性變形。（c，e）對于大塑性變形時，彈性變形很小，可以忽略不計，可以近似看成剛塑性材料.a實際金屬材料（①有物理屈服點②無明顯物理屈服點）b理想彈塑性c理想剛塑性d彈塑性硬化e剛塑性硬化本章重點討論兩個適用于各向同性理想塑性材料的屈服準(zhǔn)則。第2頁/共74頁5.2屈雷斯加屈服準(zhǔn)則(最大剪應(yīng)力不變條件)屈雷斯加通過對金屬擠壓研究，于1864年提出了一個屈服準(zhǔn)則。他提出這一準(zhǔn)則表述如下： 當(dāng)材料（質(zhì)點）中最大剪應(yīng)力達到某一定值時，材料就屈服。

或者說材料處于塑性狀態(tài)時，最大剪應(yīng)力始終為定值。該定值只取決于材料在變形條件下的性質(zhì)，而與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)。第3頁/共74頁

只要之中有一個達到某一定值，材料即屈服如設(shè)

則常數(shù)c可以通過實驗求得，屈服準(zhǔn)則適用于任何應(yīng)力狀態(tài)，故可用最簡單的應(yīng)力狀態(tài)，例如單向拉伸實驗求得常數(shù)，設(shè)在某一溫度和變形速度條件下，由材料單向拉伸實驗所得的屈服應(yīng)力為

應(yīng)力狀態(tài)為：得第4頁/共74頁于是屈雷斯加屈服準(zhǔn)則為：若事先不知道主應(yīng)力大小次序，則屈雷斯加屈服準(zhǔn)則普遍表達為：在事先知道主應(yīng)力次序的情況下，屈雷斯加準(zhǔn)則的使用是非常方便的。但是在一般的三向應(yīng)力條件下，主應(yīng)力是待求的，大小次序也是不能事先知道的，這時使用屈雷斯加準(zhǔn)則就不很方便。第5頁/共74頁5.3密席斯(Mises)屈服準(zhǔn)則（彈性變形能不變條件）

Mises1913年提出密席斯屈服準(zhǔn)則，密席斯認(rèn)為，為了便于數(shù)學(xué)處理，將式子的三個式子統(tǒng)一起來寫成平方和的形式，則左面就等于應(yīng)力偏張量第二不變量的6倍。所以密席斯屈服準(zhǔn)則可以表述為：

當(dāng)應(yīng)力偏張量第二不變量達到某一定值時，材料就會屈服。更為方便的表達是當(dāng)質(zhì)點應(yīng)力狀態(tài)的等效應(yīng)力達到某一與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)的定值時，材料屈服；或者說，材料處于塑性狀態(tài)時，等效應(yīng)力始終是一不變的定值，即第6頁/共74頁用單向拉伸屈服時的應(yīng)力狀態(tài)代入上式即可得到常數(shù)C

則Mises屈服準(zhǔn)則表達式為即或

第7頁/共74頁漢基于1924年闡明了密席斯屈服準(zhǔn)則的物理意義：當(dāng)材料的質(zhì)點內(nèi)單位體積的彈性形變能（形狀變化的能量）達到某臨界值時，材料就屈服。對于絕大多數(shù)金屬材料，密席斯屈服準(zhǔn)則接近于實驗數(shù)據(jù)。第8頁/共74頁5.4屈服準(zhǔn)則的幾何表達屈服準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達式可以用幾何圖形形象化的表示出來。在坐標(biāo)系中，屈服準(zhǔn)則都是空間曲面，叫做屈服表面。如把屈服準(zhǔn)則表示在各種平面坐標(biāo)系中，則它們都是封閉曲線，叫做屈服軌跡。兩向應(yīng)力狀態(tài)的屈服軌跡以帶入密希斯屈服準(zhǔn)則公式即可得到兩向應(yīng)力狀態(tài)的密希斯屈服準(zhǔn)則上式在坐標(biāo)平面上是一個橢圓，它的中心在原點，對稱軸與坐標(biāo)軸成450，長半軸為，短半軸為，與坐標(biāo)軸的截距為。這個橢圓叫做平面上的屈服軌跡。屈服準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達式可以用幾何圖形形象化的表示出來。在坐標(biāo)系中，屈服準(zhǔn)則都是空間曲面，叫做屈服表面。如把屈服準(zhǔn)則表示在各種平面坐標(biāo)系中，則它們都是封閉曲線，叫做屈服軌跡。兩向應(yīng)力狀態(tài)的屈服軌跡以帶入密希斯屈服準(zhǔn)則公式即可得到兩向應(yīng)力狀態(tài)的密希斯屈服準(zhǔn)則上式在坐標(biāo)平面上是一個橢圓，它的中心在原點，對稱軸與坐標(biāo)軸成450，長半軸為，短半軸為，與坐標(biāo)軸的截距為。這個橢圓叫做平面上的屈服軌跡。第9頁/共74頁以帶入屈雷斯加屈服準(zhǔn)則公式即可得到兩向應(yīng)力狀態(tài)的屈雷斯加屈服準(zhǔn)則這是一個六邊形，內(nèi)接于密希斯橢圓。屈雷斯加六邊形內(nèi)接于密希斯橢圓，這就意味著，在六個角點上，兩個準(zhǔn)則是一致的。密希斯屈服準(zhǔn)則需要較大的應(yīng)力才能使材料屈服。第10頁/共74頁第11頁/共74頁5.5平面問題中屈服準(zhǔn)則的簡化

在平面問題中，一些應(yīng)力分量或為零或為常數(shù)，故屈服準(zhǔn)則的表達式可得到某些簡化。對于密席斯屈服準(zhǔn)則，其通式為

（1）或

（2）

平面應(yīng)力時，，故上兩式簡化為式

第12頁/共74頁或

平面變形時，

，故式（1）（2）簡化為

或

第13頁/共74頁第六章塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（本構(gòu)方程）

6.1彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

6.2塑性變形時應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的特點

6.3塑性變形的增量理論(流動理論)6.4最大散逸功原理第14頁/共74頁

塑性變形過程中應(yīng)力與應(yīng)變之間的函數(shù)關(guān)系稱為本構(gòu)方程，也叫物理方程。塑性本構(gòu)方程從本質(zhì)上反映了物體發(fā)生塑性變形時的特征，這一方程和屈服準(zhǔn)則都是求解塑性成形問題的基本方程。 對于理想塑性材料某些簡單問題，通過平衡微分方程及屈服準(zhǔn)則即可求解。但對于一般問題，可能有六個未知的應(yīng)力分量，而平衡微分方程和屈服準(zhǔn)則最多只能給出四個方程，所以為超靜定問題，這時就要用到本構(gòu)方程。第15頁/共74頁6.1彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

在單向應(yīng)力狀態(tài)下，彈性變形時應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系，由虎克定律表達式中:E為彈性模量

G為剪切模量

v為泊松比如將它推廣到一般應(yīng)力狀態(tài)的各向同性材料，就叫做廣義虎克定律

第16頁/共74頁將正應(yīng)變相加將正應(yīng)變減去應(yīng)力球張量使物體產(chǎn)生彈性的體積改變第17頁/共74頁同理可得簡記為

表明：應(yīng)變偏張量與應(yīng)力偏張量成正比，即表明物體的形狀改變只是由應(yīng)力偏張量引起。第18頁/共74頁廣義虎克定律可以寫成張量的形式彈性變形時，應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系1)應(yīng)力與應(yīng)變成線性關(guān)系2)彈性變形是可逆的，與變形歷史無關(guān)，所以應(yīng)力與應(yīng)變之間是單值關(guān)系。3)應(yīng)力主軸和應(yīng)變主軸重合

4)應(yīng)力球張量使物體產(chǎn)生彈性體積變化，泊松比v<0.5

第19頁/共74頁6.2塑性變形時應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的特點 塑性變形時全量應(yīng)變與應(yīng)力之間的關(guān)系則完全不同：1)塑性變形可以認(rèn)為體積不變，應(yīng)變球張量為零，泊松比v＝0.5；

2)應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系是非線性的；3)全量應(yīng)變與應(yīng)力的主軸不一定重合；4)塑性變形是不可恢復(fù)的，應(yīng)力與應(yīng)變之間沒有一般的單值關(guān)系，而是與加載歷史或應(yīng)變路線有關(guān)。第20頁/共74頁對于后兩個特點，舉加以說明。最簡單的例子就是單向拉伸。在彈性范圍內(nèi)，應(yīng)變只取決于當(dāng)時的應(yīng)力。反之亦然，例如σc總是對應(yīng)εc，不管σc是由σa加載而得還是由σd卸載而的。在塑性范圍內(nèi)，如果是理想塑性材料（見上圖虛線），則同一σs可以對應(yīng)任意應(yīng)變；如果是硬化材料，則由σs加載σe，對應(yīng)的應(yīng)變?yōu)棣舉，如果從σf卸載到σe,對應(yīng)的應(yīng)變?yōu)棣舊’，所以不是單值關(guān)系。

第21頁/共74頁6.3塑性變形的增量理論（流動理論）

在塑性理論中，提出增量(流動)理論的年代要比全量理論早得多。圣維南(B．SaintVonant)早于1870年就提出應(yīng)力主軸與應(yīng)變增量主軸重合而不是與全量應(yīng)變主軸重合的見解，并發(fā)表了自己的應(yīng)力—應(yīng)變速率方程(塑性流動方程)。列維（M.Levy）1871年提出了應(yīng)力—應(yīng)變增量關(guān)系，但當(dāng)時不大為人所知。之后塑性理論經(jīng)歷了近四十年的停滯。直至1913年，密席斯獨立提出與列維相同的方程，才廣為人知，所以人們稱之為列維—密席斯方程。它適用于服從密席斯屈服準(zhǔn)則的理想剛塑性材料。增量理論又稱為流動理論，是描述物體處于塑性狀態(tài)時，應(yīng)力與應(yīng)變增量或應(yīng)變速率之間關(guān)系的理論，它是通過加載過程中的每一變形瞬間的應(yīng)力狀態(tài)來確定該瞬間的應(yīng)變增量。

第22頁/共74頁(1)材料是理想剛塑性材料，也即彈性應(yīng)變增量為零，塑性應(yīng)變增量就是總應(yīng)變增量；(2)材料符合密席斯屈服準(zhǔn)則，即(3)塑性變形時體積不變，即(4)應(yīng)力主軸和應(yīng)變增量的主軸重合；(5)應(yīng)變增量和應(yīng)力偏張量成正比，即式中為瞬時的非負(fù)比例系數(shù)．它在變形過程是變化的，但在卸載時，上式是密席斯方程的關(guān)鍵性的表達式

一、列維—密席斯方程列維－密席斯的理論包含以下的假定第23頁/共74頁利用等比定律就可得到（*）將上式寫成如下形式（**）第24頁/共74頁比例系數(shù)可按如下方法求得。將式（*）分成三個式子然后平方，得

將式中的三個式子平方并乘以6，得

第25頁/共74頁將上列六式相加，整理后可得所以

對于理想塑性材料，式中的于是式中i=j的三個式子都可按如下方式改寫第26頁/共74頁于是

上列前三式中的1/2就是體積不變時的泊松比。（***）

密席斯方程僅適用于理想剛塑性材料，所以它只給出了應(yīng)變增量和應(yīng)力偏量之間關(guān)系，對應(yīng)力球張量則沒有限制。因此，若已知，只能求得，這是剛塑性假設(shè)的一個弱點。另一方面，對于理想塑性材料，上式中的等效應(yīng)力等于常數(shù)，而實際上是不定的，所以若已知，則只能求得各分量之間的比值。而不能直接求得它們的實際數(shù)值。因此，對于理想剛塑性材料，應(yīng)變增量和應(yīng)力分量之間還不完全是單值關(guān)系。第27頁/共74頁下面利用密席斯方程來證明平面變形時的結(jié)論：塑性平面變形時，如設(shè)Z向沒有變形，則有：按體積不變條件有：由此可得：

將式（***）中的前兩式代入上式，有：第28頁/共74頁二、應(yīng)力－應(yīng)變速率方程（圣維南塑性流動方程）將式除以dt,可得式中，就是應(yīng)變速率張量，設(shè)以表示，則上式即為式中其中為等效應(yīng)變速率。卸載時上式就是應(yīng)力—應(yīng)變速率方程。（****）第29頁/共74頁應(yīng)力—應(yīng)變速率方程同樣可寫成式（****）最早由圣維南于1870年提出的，它和粘性流體的牛頓公式很相似，所以也叫塑性流動方程。密席斯方程實際上就是流動方程的增量形式，所以，如果不考慮應(yīng)變速率對材料性質(zhì)的影響，則兩者是一致的。第30頁/共74頁6.4最大散逸功原理一、塑性功增量設(shè)一剛塑性單元體，棱長為dx、dy、dz，它在x方向的正應(yīng)變增量為，則正應(yīng)力分量所作的塑性功增量為：單位體積的塑性功增量為第31頁/共74頁同樣，剪應(yīng)力分量所作的單位塑性功增量為：其他應(yīng)力分量所作的塑性功也可同樣處理，由此，單元體單位體積的塑性功增量為：設(shè)變形體積為V，則整個變形體的塑性功增量為：第32頁/共74頁二、最大散逸功原理一種應(yīng)力狀態(tài)可以用主應(yīng)力空間中的矢量來表示，塑性變形時，該矢量的端點一定在屈服表面上，則得到一個單位塑性功增量（1）與前述的符合同一屈服準(zhǔn)則，但不一定與前述符合應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的應(yīng)力狀態(tài)是很多的。用表示這樣的應(yīng)力狀態(tài)。將其與前述的相乘，同樣可以得到一個單位塑性功增量（2）將（1）減去（2）可得

第33頁/共74頁對上式可作如下的表述：對于一定的應(yīng)變增量場而言，在所有符合屈服準(zhǔn)則的應(yīng)力場中，與該應(yīng)變增量場符合應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的應(yīng)力場所作的塑性功最大。上述原理就叫最大散逸功原理。

第34頁/共74頁第七章真實應(yīng)力—應(yīng)變曲線

7.1拉伸圖和條件應(yīng)力－應(yīng)變曲線

7.2拉伸時的真實應(yīng)力－應(yīng)變曲線

7.3拉伸真實應(yīng)力應(yīng)變曲線塑性失穩(wěn)點的特

7.4真實應(yīng)力應(yīng)變曲線的簡化形式第35頁/共74頁根據(jù)上兩式可由拉伸圖作出條件應(yīng)力－應(yīng)變曲線。7.1拉伸圖和條件應(yīng)力－應(yīng)變曲線

1.拉伸圖及條件應(yīng)力－應(yīng)變曲線下圖所示為退火低碳鋼的拉伸圖。圖的縱坐標(biāo)表示載荷，橫坐標(biāo)表示標(biāo)距的伸長。將拉伸圖的縱坐標(biāo)除以試樣原始斷面積，即得條件應(yīng)力將拉伸圖的橫坐標(biāo)除以試樣標(biāo)距長度，即得相對伸長第36頁/共74頁

低碳鋼的拉伸圖或條件應(yīng)力－應(yīng)變曲線第37頁/共74頁

如果取的比例適當(dāng)，則條件應(yīng)力－應(yīng)變曲線與原來的拉伸圖完全一致。所以上圖既是拉伸圖又是條件應(yīng)力－應(yīng)變曲線，只是坐標(biāo)不同。其中符號說明如下第38頁/共74頁

根據(jù)上圖條件應(yīng)力——應(yīng)變曲線來說明試樣從開始加載到斷裂過程中的力學(xué)特性。在作用于試樣上的應(yīng)力小于彈性極限以前，材料只產(chǎn)生彈性變形，只有在應(yīng)力達到屈服極限時，材料才產(chǎn)生明顯的塑性變形，在曲線的c處出現(xiàn)了一段所謂屈服平臺。但大多數(shù)工業(yè)用塑性金屬，如調(diào)質(zhì)處理的合金鋼，退火鋁合金，青銅，鎳等，則沒有明顯的屈服點，這時的屈服應(yīng)力規(guī)定用時的應(yīng)力表示。

試樣在屈服點以上繼續(xù)拉伸，應(yīng)力隨變形程度的增加而上升，直到最大拉力點b，這時的條件應(yīng)力即強度極限。b點以后繼續(xù)拉伸，試樣斷面出現(xiàn)局部收縮，形成所謂縮頸。此后，應(yīng)力逐漸減小，曲線下降，直至k點發(fā)生斷裂。第39頁/共74頁.試驗研究表明，單向拉伸試驗的初始屈服應(yīng)力和單向壓縮試驗的初始屈服應(yīng)力絕對值相等，如圖所示。但當(dāng)試樣在一個方向加載（例如拉伸）超過屈服點到達A點后,卸載到零，然后再在反方向加載（即壓縮），則發(fā)現(xiàn)反向加載時的屈服點s的應(yīng)力不但比A點的小，而且小于初始的屈服應(yīng)力。這一隨加載路線和方向不同而屈服應(yīng)力降低的現(xiàn)象，稱包申格效應(yīng)。

包申格效應(yīng)可用緩慢退火除去。

下面介紹一下材料的另一個特性——包申格效應(yīng).試驗研究表明，單向拉伸試驗的初始屈服應(yīng)力和單向壓縮試驗的初始屈服應(yīng)力絕對值相等，如圖所示。但當(dāng)試樣在一個方向加載（例如拉伸）超過屈服點到達A點后,卸載到零，然后再在反方向加載（即壓縮），則發(fā)現(xiàn)反向加載時的屈服點s的應(yīng)力不但比A點的小，而且小于初始的屈服應(yīng)力。這一隨加載路線和方向不同而屈服應(yīng)力降低的現(xiàn)象，稱包申格效應(yīng)。

包申格效應(yīng)可用緩慢退火除去。第40頁/共74頁7.2拉伸時的真實應(yīng)力－應(yīng)變曲線1.三種應(yīng)變表達式用真實應(yīng)力表示的應(yīng)力－應(yīng)變曲線，按不同的應(yīng)變表示方式，可以有三種型式：真實應(yīng)力和相對伸長組成的曲線、真實應(yīng)力和相對斷面收縮組成的曲線、真實應(yīng)力和對數(shù)應(yīng)變組成的曲線。真實應(yīng)力S是作用于試樣瞬時斷面積上的應(yīng)力，也即瞬時的流動應(yīng)力。表示為式中P----載荷

F----試樣瞬時斷面積

第41頁/共74頁相對伸長可表示為

—拉伸后標(biāo)距的長度。相對斷面收縮

—試樣原始斷面積；—拉伸后試樣的斷面積。

式中—試樣原始標(biāo)距長度；式中第42頁/共74頁對數(shù)應(yīng)變（真實應(yīng)變）定義為

式中—瞬時的長度改變量?！嚇拥乃矔r長度；當(dāng)試樣從拉伸至?xí)r，總的真實應(yīng)變?yōu)?/p>

在出現(xiàn)縮頸以前，試樣處于均勻拉伸狀態(tài)，因此上述三種應(yīng)變間存在以下關(guān)系（*）對數(shù)應(yīng)變（真實應(yīng)變）定義為

式中—瞬時的長度改變量?！嚇拥乃矔r長度；第43頁/共74頁因為而所以可推出第44頁/共74頁2、真實應(yīng)力－應(yīng)變曲線的繪制在金屬塑性成形理論中，較普遍的是采用對數(shù)應(yīng)變表示的真實應(yīng)力－應(yīng)變曲線。因為對數(shù)應(yīng)變反映了瞬時的變形。下面簡要介紹用對數(shù)應(yīng)變表示的真實應(yīng)力－應(yīng)變曲線的繪制方法。下圖是根據(jù)條件應(yīng)力－應(yīng)變曲線a)作出的真實應(yīng)力－應(yīng)變曲線b)。條件應(yīng)力－應(yīng)變曲線與真實應(yīng)力－應(yīng)變曲線第45頁/共74頁求出該瞬間的真實應(yīng)變。這樣就可以畫出曲線的段。

在屈服點c以前，兩種曲線幾乎沒有區(qū)別。在細頸點b以前的cb段是均勻變形階段，各點的對數(shù)應(yīng)變可用公式（*）求得。但在b點以后，由于出現(xiàn)縮頸，不再是均勻變形，所以上述公式不再成立。為了求得b點以后的真實應(yīng)變，必須記錄下每一瞬間細頸處的斷面積F，以求出其真實應(yīng)力，然后根據(jù)關(guān)系式

第46頁/共74頁

可見前面求得的段的應(yīng)力是斷面上應(yīng)力的平均值，它必然大于S。這一由于出現(xiàn)縮頸而產(chǎn)生的應(yīng)力升高現(xiàn)象，稱為“形狀硬化”。在繪制這一段時，這一硬化效應(yīng)必須去除。段經(jīng)修正后成。于是即為所求的真實應(yīng)力應(yīng)變曲線。但要指出，作出的段還必須加以修正，因為由于出現(xiàn)縮頸，細頸處斷面上已不再受均布的單向拉伸應(yīng)力，而是處于不均勻的三向拉伸應(yīng)力作用下。細頸邊緣處受單向拉伸應(yīng)力，離開邊緣的部分，則逐漸受加大的三向拉伸應(yīng)力，越近中心，拉伸應(yīng)力越大。邊緣上的拉伸應(yīng)力為S,中心則達第47頁/共74頁

和條件應(yīng)力－應(yīng)變曲線相比，真實應(yīng)力－應(yīng)變曲線在塑性失穩(wěn)點b’處沒有極大值，b’點以后的曲線仍是上升的。這說明材料抵抗塑性變形的能力隨應(yīng)變的增加而增加，就是不斷的產(chǎn)生硬化，所以真實應(yīng)力－應(yīng)變曲線有時也稱硬化曲線。第48頁/共74頁7.3.拉伸真實應(yīng)力-應(yīng)變曲線塑性失穩(wěn)點的特性如某一瞬間的軸向力為P，試樣斷面積為F，真實應(yīng)力為S，則有：因為故第49頁/共74頁當(dāng)在塑性失穩(wěn)點時，P有極大值，所以dP=0即因在塑性失穩(wěn)點，所以上式表示在曲線失穩(wěn)點所做的切線的斜率為這樣，此切線和橫坐標(biāo)軸的交點到失穩(wěn)點橫坐標(biāo)間的距離必為這就是真實應(yīng)力-應(yīng)變曲線在塑性失穩(wěn)點上所作切線的特征。第50頁/共74頁第51頁/共74頁7.4真實應(yīng)力-應(yīng)變曲線的簡化型式

實驗所得的真實應(yīng)力-應(yīng)變曲線一般都不是簡單的函數(shù)關(guān)系。為了實際應(yīng)用，常希望能將此曲線表達成某一函數(shù)形式。根據(jù)對真實應(yīng)力-應(yīng)變曲線的研究，可將它歸成四種類型，第52頁/共74頁a)對于立方晶格的退火金屬（如鐵、銅、鋁等），它的真實應(yīng)力-應(yīng)變曲線可相當(dāng)精確的用指數(shù)方程表示。式中B---與材料有關(guān)的常數(shù)

n---硬化指數(shù)第53頁/共74頁b)對于有初始屈服應(yīng)力的冷變形金屬材料，可較好地表達為這里略去了彈性變形階段，式中B1、m需要根據(jù)實驗曲線求出。第54頁/共74頁c)有時為了簡單，可將真實應(yīng)力-應(yīng)變曲線視作直線，其表達式為：這一直線是硬化曲線的簡化，故稱為硬化直線。第55頁/共74頁d)對于幾乎不產(chǎn)生硬化的材料，可認(rèn)為真實應(yīng)力-應(yīng)變曲線是一水平線。這時的表達式為在室溫下，只有純度極高的鉛可認(rèn)為不產(chǎn)生加工硬化。高溫下的鋼，也可采用這一無硬化的假設(shè)。第56頁/共74頁第九章塑性成形問題的主應(yīng)力解法9.1主應(yīng)力法的實質(zhì)9.2幾種金屬流動類型變形公式的推導(dǎo)9.3拉延凸緣變形區(qū)應(yīng)力分布第57頁/共74頁9.1主應(yīng)力法的實質(zhì)

塑性成形力學(xué)的基本任務(wù)之一就是確定各種成形工序所需的變形力，這是合理選擇加工設(shè)備、正確設(shè)計模具和制定工藝規(guī)程所不可缺少的。由于塑性成形時，變形力是通過工具表面或毛坯的彈性變形區(qū)傳遞給變形金屬的，所以為求變形力，需要確定變形體與工具的接觸表面或變形區(qū)分界面上的應(yīng)力分布。聯(lián)解平衡微分方程和塑性條件，可求得變形體內(nèi)的應(yīng)力大小及分布，進而求得變形力。但是，這種數(shù)學(xué)解析法只在某種特殊情況下能解，而對于一般的空間問題，數(shù)學(xué)上及其困難，甚至不可解。因此，引進了各種簡化假設(shè)，以使平衡方程和塑性條件得到簡化，在此基礎(chǔ)上建立起來的計算方法，稱為主應(yīng)力法。第58頁/共74頁這樣我們可以直接沿變形體整個高度截取基元體，并對其求靜力平衡.則得

主應(yīng)力法的實質(zhì)是平衡方程與塑性條件聯(lián)解，但為了計算簡化，采用了下述基本假設(shè)：

1.把問題簡化成平面問題或軸對稱問題。對于形狀復(fù)雜的變形體，則根據(jù)金屬流動的情況，將其劃分成若干部分，每一部分分別按平面問題或軸對稱問題處理，最后“拼合”在一起，即得到整個問題的求解。

2.假設(shè)變形體內(nèi)的法向應(yīng)力分布與一個坐標(biāo)軸無關(guān)，結(jié)果使平衡微分方程縮減至一個，而且可將偏微分方程改為常微分方程。例如：對于平面應(yīng)變鐓粗，法向應(yīng)力與一個坐標(biāo)軸無關(guān)的假設(shè)，就表示法向應(yīng)力沿變形體高度均勻分布，

第59頁/共74頁目前所說的主應(yīng)力法大都就是這樣處理的，并形象化地稱為切塊法或板塊法。第60頁/共74頁3.在對基元體或基元板塊列塑性條件時，通常假設(shè)其上的正應(yīng)力為主應(yīng)力，即忽略了摩擦切應(yīng)力的影響。這樣就使塑性條件簡化為線性方程。例如平面應(yīng)變問題的塑性條件(屈服準(zhǔn)則)4.將上述的近似平衡微分方程與塑性條件聯(lián)解，以求接觸面上的應(yīng)力分布，這就是主應(yīng)力法。變成第61頁/共74頁9.2幾種金屬流動類型變形公式的推導(dǎo)一、平面應(yīng)變的橫向流動（鐓粗型）變形力公式的推導(dǎo)右圖表示平行砧板間的平面應(yīng)變鐓粗，第62頁/共74頁利用邊界條件確定積分常數(shù)C:第63頁/共74頁1.軸對稱狀態(tài)的一些知識特點：在塑性成形中經(jīng)常遇到旋轉(zhuǎn)體。當(dāng)旋轉(zhuǎn)體承受的外力為對稱于旋轉(zhuǎn)軸的分布力而且沒有周向力時，則物體內(nèi)的質(zhì)點就處于軸對稱應(yīng)力狀態(tài)。由于變形體是旋轉(zhuǎn)體，所以采用圓柱坐標(biāo)。